Задачи наших читателей

29

неожиданные шаги в непредсказуемом направлении; и размах этих шагов изменяет талант человека.

Нам остается повторить: не торопитесь, выполив домашнее задание, захлопнуть учебник и тетрадь. Просмотрите задание еще раз: что они вам сообщили нового? частный ли факт кроется в них или же он допускает обобщение? какие задания решались аналогично? можно ли, не меняя способа решения, условиять задачу? а что будет, если избавиться от части условий задачи? или заменить их противоположными? усилить требования задачу? добавить новые ограничения? Все это — прекрасный способ привести в движение фантазию, договоравость и любознательность, быть может, dremlюшие в вас.

Уражнения

1. Найдите, при каких коэффициентах $a_1, b_1, \dots, c_3$ уравнение
   $$\frac{1}{a_1x + b_1y + c_1z} + \frac{1}{a_2x + b_2y + c_2z} + \frac{1}{a_3x + b_3y + c_3z} = 0$$
   принимает форму $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$.

2. Решите в целях числа уравнения $6x^2 = 2y^2 + z^2$. Попытайте найти другие уравнения типа $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$, решемые в целях числа, а также способы их решения.

3. Попытайте найти уравнения типа $Ax^2 + By^2 + Cz^2 = 0$, не решаемые в целях числа (не считая нульового решения).

4. Решите в целях числа уравнение $xyz = yzv + xzv + xyv$.

5. Придумайте обобщение следующей задачи: «Известно, что при любых значениях $x$
   $$a_1x^2 + b_1x + c_1 > a_2x^2 + b_2x + c_2$$.
   Докажите, что $a_1 \geq a_2$, $c_1 \geq c_2»$.

6. Придумайте обобщение такой задачи: «Найти сумму всех несократимых дробей со значением 3, заключенных между целыми положительными числами $m$ и $n > m$».

7. То же для задачи: «Найти арфметическое программирование, у которой среднее арфметическое $n$ первых членов при любом $n$ равно их числу».

Задания

1. На рисунке вы видите две касающиеся окружности $l_1$ и $l_2$ радиусов $R$ и $r = R/2$ соответствующего $AB \perp O_1O_2$, $BC \perp O_1O_2$, касательная к окружности $l_1$, $AC \perp$ касательная к окружности $l_2$.

Доказать, что длина отрезка $BC$ равна длине окружности $l_1$ с относительной ошибкой менее 0,005.

Л. М. Дубинский

2. Дана парабола — график функции $y = x^2$. На оси $Oy$ взята точка $A$. Найти кратчайшее расстояние от точки $A$ до параболя.

Можно пользоваться таким определением: парабола — это множество точки, равноудаленных от некоторой точки $F$ и некоторой прямой $l$.

М. Л. Преезер

3. Доказать, что числа вида
   $$7^{2n+1} + 2^{2n+1} + 5,$$
   где $n$ — натуральное, нельзя представить в виде суммы трех кубов натуральных чисел.

Н. И. Михайлов