Задачи М341—М345; Ф353—Ф357

32

Задачи

M341—M345; Ф353—Ф357

M341. В чемппонате мира участуют 20 команд. Среди них $k$ европейских команд, результаты встречи между которых на чемппонате мира идут в зачет чемппоната Европы. чемппонат проводится в один круг. При каком направлении $k$ может оказаться, что европейская команда, набравшая строго наибольшее количество очков в чемппонате Европы, набрет строго наименьшее количество очков в чемппонате мира, если это а) чемппонат по хоккею (допускаются ничьи),
б) * чемппонат по волейбoly (ничных не бывают)? Какими будут ответы на эти вопросы, если команд не 20, а $n$?

Ю. А. Шрейдер

M342 *. a) Докажите, что из цифр 1 и 2 можно составить $2^{n+1}$ чисел, каждое из которых $2^n$-значно и каждое из которых различаются не менее чем в $2^{n-1}$ разрядах.

6. Докажите, что больше чем $2^{n+1}$ таких $2^n$-значных чисел составляет нельзя.

C. В. Фомин

M343. В некоторых государстве города сединины дорогами. Длина любои дороги меньше 500 км и из любого города в любои другой можно попасть, проехав по дорогам менее 500 км. Когда одну дорогу закрыли на ремонт, выяснили, что из любого города можно проехать в любои другой по оставшимся дорогам. Докажите, что это можно сделать, проехав не более 1500 км.

C. Л. Елисеев

M344. На шахматной доске отмечены центры всех 64 полей. Можно ли проверсти на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на которые эти прямые делят доску, оказалась не более одной отмеченой точки? (Прямы не должны проходить через центры полей, рис. 1).

А. Н. Печковский

M345. В последовательности 197523… каждая цифра, начиная с пятой, рав-

33

Рис. 1.
на последней цифре суммы предыдуших четырех цифр. Встретается ли в этой последовательности подряд
a) четыре цифры 1 2 3 4?
b) вторично цифры 1 9 7 5?
b) цифры 8 1 9 7?

Г. А. Гуревич

Ф353. Фокусное расстояние вогунто-феррического зеркала равно F. Каким оно становится, если зеркало нагреть на t градусов? Во сколько раз увеличится при этом световой поток Ф от Солнца, который можно сокусировать зеркалом?
Козффициент линейного расширения металла, из которого сделано зеркало, равен α.
И. Ш. Слободецкий

Рис. 2.

Ф354. Необходимо сконструировать печь, на нагревательном элементе которой должны выделяться мощность 2,1 кВт. Напряжение сети равно 220 В, сопротивление подводящих проводов 1 ом. Каким необходимо сделать сопротивление нагревательного элемента печи?

О. Ф. Кабардин

Ф355. На pV-диаграмме (рис. 2) изображен замкнутый процесс, проведенный с одним молем газа. Участики 1—2 и 3—4 графика — прямы, проходящие через начало координат, а участики 2—3 и 4—1 — изотермы. Нарисовать график этого процесса на TV-диаграмме. Найти объем V₃, если известны объемы V₁ и V₂ = V₄ = V.

Ф356. С какой скоростью движется тень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения? Заттение наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что земная ось перпендикулярна земной и лунной орбитам.

Рис. 3.

Ф357. Кубик массы m прикреплен к двум пружинам с жесткостьми k₁ и k₂ и длинами в недеформированном состоянии l₁ и l₂ соответственно. Пружины закреплены другими концами (рис. 3), так что кубик может движаться по горизонтальной плоскости. Козффициент треня между кубиком и плоскостью μ, расстояние между точки закрепления пружин L, размер кубика мал и им можно пренебреть. Найти область, в которой кубик может находиться в равновесии.