[Ответ на вопрос читателя В. Красина по статье «Электрон излучает фотоны»]

45

Спрашивайте — отвечаем

В этом номере журнала мы помещаем ответ на вопрос нашего читателя В. Красина, ученика 10 класса московской школы.

Уважаемая редакция!

В статье «Электрон излучает фотоны» («Квант», 1974, № 12) рассказывается о том, что ускоренно движущаяся заряженная частица излучает электромагнитную энергию, и приводится формула для подсчета интенсивности этого излучения:

$$I = 2e^2a^2/3c^3 \quad (*)$$

(е — заряд, а — ускорение частицы).

С другой стороны, приводится пример с постоянным током, текущим по криволинейному контуру, и говорится, что «такой ток создает постоянное магнитное поле, но не излучает».

Прочитанное вызвало у меня два вопроса:

1. Почему, двигаясь по искривленному проводнику, а значит, с ускорением, электроны не излучают?

2. Не противоречит ли отсутствие излучения даже в случае тока, текущего по прямолинейному проводнику, классической электронной теории металлов? Согласно этой теории носителями тока в металлах являются свободные электроны, которые в отсутствие электрического поля движутся хаотически. Под влиянием электрического поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение, такое, что средняя скорость электронов отлична от нуля. Движущийся по проводнику электрон испытывает столкновения с ионами кристаллической решетки, отдавая им полностью энергию, накопленную при движении между столкновениями (эта энергия выделяется в виде тепла). Средняя скорость электронов не изменяется со временем, если по проводнику течет постоянный ток. Но ведь в промежутках между столкновениями электрон движется ускоренно, и следовательно, он должен излучать.

Ниже мы публикуем ответ авторов статьи «Электрон излучает фотоны».

Эти вопросы возникли из-за не совсем точной формулировки, допущенной в статье.

Начнем со второго вопроса. В. Красин кратко и правильно описал процесс прохождения тока через металл. Мы, воспользовавшись именно теми представлениями, которые он изложил, проведем небольшой расчет.

Рассмотрим прямолинейный проводник, по которому течет постоянный ток. Выделим 1 $см^3$ этого проводника, посчитаем энергию, излучаемую за 1 секунду $N$ электронами, движущимися в этом участке проводника, и сравним ее с количеством тепла, выделяемого ежесекундно в этом объеме. Так как между столкновениями каждый электрон движется с ускорением $a = eE/m$ (е — заряд электрона, m — его масса, E — напряженность электрического поля), то он излучает энергию. Согласно формуле (1) цитируемой статьи интенсивность этого излучения равна

$$I = \frac{2e^2a^2}{3c^3} = \frac{2e^4E^2}{3c^3m^2},$$

а интенсивность излучения N электронов равна соответственно

$$NI = \frac{2Ne^4E^2}{3c^3m^2}.$$

Согласно закону Джоуля — Ленца количество тепла, выделяющегося в проводнике с сопротивлением R за 1 с, равно $i^2R$. Величину тока i

45

46

можно выразить через плотность тока $j$: $i=jS$ ($S$ — площадь поперечного сечения проводника). Плотность тока связана с напряженностью электрического поля: $j = \lambda E$, где $\lambda$ — удельная электропроводность. (Напомним, что $\lambda = \dfrac{1}{\rho}$, где $\rho = \dfrac{RS}{L}$ — удельное сопротивление проводника длины $L$ и поперечного сечения $S$.) Тогда количество тепла, выделяющегося ежесекундно в 1 $см^3$ проводника, объем которого $V$, равно

$$Q = \frac{i^2 R}{V} = \lambda E^2 .$$

Выразим $\lambda$ через параметры электронов, исходя из классической теории проводимости. Если средняя скорость направленного движения электронов $\bar v$, то плотность тока $j = eN\bar v$. С другой стороны, $j = \lambda E$, так что $\lambda = \dfrac{eN\bar v}{E}$.

Найдем, чему равна скорость $\bar v$.

Двигаясь с ускорением $eE/m$, к концу свободного пробега электрон приобретает скорость $v_{max} = a\tau = \dfrac{eE}{m}\tau$ ($\tau$ — время свободного пробега). Среднее значение скорости направленного движения равно $\bar v = \dfrac{1}{2} v_{max} = \dfrac{1}{2}\dfrac{eE}{m}\tau$.

Время $\tau$ можно найти как отношение длины свободного пробега электрона $l$ к скорости $v_{\text{т}}$ его теплового движения (скорость направленного движения $\bar v$ во много раз меньше скорости хаотического движения $v_{\text{т}}$), то есть

$$\tau = \frac{l}{v_{\text{т}}} . \qquad \text{Поэтому} \qquad \bar v = \frac{1}{2}\frac{eE}{m}\frac{l}{v_{\text{т}}} .$$

Следовательно, $\lambda = \dfrac{1}{2}\dfrac{e^2 Nl}{mv_{\text{т}}}$. В 1 $см^3$ проводника ежесекундно выделяется тепло

$$Q = \frac{1}{2}\frac{e^2 Nl}{mv_{\text{т}}} E^2 .$$

Найдем теперь отношение энергии, излучаемой электронами, к выделившемуся теплу: $\dfrac{NI}{Q} = \dfrac{4}{3}\dfrac{e^2 v_{\text{т}}}{mc^3 l}.$

Придадим этому выражению более

наглядный вид, введя классический радиус электрона $r_e = e^2/mc^2$:

$$\frac{NI}{Q} = \frac{4}{3}\frac{r_e}{l}\cdot\frac{v_{\text{т}}}{c} .$$

Оценим величину этого отношения. Так как $r_e = 2,5\cdot 10^{-13}$ см, длина свободного пробега $l$ не менее $10^{-6}см$, а средняя скорость теплового движения электрона $v_{\text{т}} \approx 10^8$ $см/с$, то

$$\frac{NI}{Q} \approx 10^{-9} (!)$$

Видно, сколь мало излучение, обусловленное ускоренным движением электронов между столкновениями. В принципе оно может быть обнаружено, однако в большинстве практических вопросов это излучение не играет никакой роли.

Теперь обратимся к первому вопросу письма В. Красина. Рассмотрим криволинейный проводник, например, проводящий контур, имеющий форму окружности радиуса $r$. Для хаотического движения электронов форма проводника, естественно, не существенна, так как длина свободного пробега, как правило, значительно меньше его наименьшего размера, тем более радиуса окружности $r$ (электрон между столкновениями «не знает», искривлен проводник или нет). А вот в среднем электрон, конечно, движется по окружности, и значит, с ускорением $\bar v^2/r$. Однако это ускорение очень мало, меньше даже, чем ускорение $a = eE/m$ между столкновениями. Проверим это утверждение. От неравенства $\dfrac{eE}{m} \gg \dfrac{\bar v^2}{r}$ можно перейти к неравенству $\bar v \ll v_{\text{т}}\dfrac{r}{l},$

которое заведомо выполняется, так как $r \gg l$, а $v_{\text{т}} \gg \bar v$ (величину $\bar v$ легко оценить, воспользовавшись выражением для плотности тока и тем, что $N \approx 10^{22} \div 10^{23}$ $см^{-3}$).

Ясно, что излучение, связанное с ускоренным движением на искривленных участках, конечно можно не учитывать.

М. Ц. Каганов, Г. Я. Любарский