Год 1975

18

Рис. 8.

положения $A_0$, а в момент времени $t$ — в положении $A_t$ (рис. 8). Дуга $A_0A_t$ имеет длину $t$, то есть центральный угол $A_0OA_t$ содержит $t$ радиан. По определениям синуса и косинуса ordinata точки $A_t$ равна $\sin t$, абсцисса точки $A_t$ равна $\cos t$. Значит, проекция $B_t$ точки $A_t$ на ось абсциссы движения по закону $x = \cos t$, а проекция $C_t$ точки $A_t$ на ось ordinат — по закону $y = \sin t$. Найдем скорсти этих движений.

Заметим, что линейная скорость точки $A_t$, как и угловая скорость, равна 1. Разложим линейную скорость на две составляющие — горизонтальную и вертикальную. Вектор $\vec{v}$ скорости точки $A_t$ (имеющий длину 1) направлен по касательной к окружности, проведенной в точке $A_t$, и потому образует с осью $Ox$ угол $t + \frac{\pi}{2}$, а с осью $Oy$ — угол $t$. Следовательно, проекция вектора $\vec{v}$ на ось $Ox$ (то есть скорость движения точки $B_t$) равна $v_x = \cos (t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t$, а его проекция на ось $Oy$ (то есть скорость движения точки $C_t$) равна $v_y = \cos t$.

Так как скорость есть произведение от путь по времени, то, учитывая, что закон движения точки $B_t : x = \cos t$, а скорость $v_x = -\sin t$, получаем, что $(\cos t)' = -\sin t$.

Для точки $C_t : y = \sin t$, $v_y = \cos t$, откуда $(\sin t)' = \cos t$.