VI Математическая олимпиада МЭСИ

66

VI Математическая олимпиада МЭСИ

Московский экономик-статстический институт в настоящее время занимает ведущшее положение в стране по подготовке специальностей в экономике. В этом году МЭСИ б-й раз проводит математический олимпиаду для школьников.

Олимпиада проводится в 2 тура: I тур — заочный и II — очно-заочный.

К участю во второмочного типа будет допущены школьники, успешно сравнившиеся с задачи I тура и приславшие решения не позднее 25 февраля 1976 года (по штемпелю почты). Школьники Москвы для очно-го участия будут пригласаться в МЭСИ. Иногородные школьники участвуют во втором tipo заочно. Каждый участик олимпиады, допущенный ко второму тура, будет извлечен об этом. Чтобы ускорить получение ответа из института, приложите к письму конверт с вашим адресом.

Адрес МЭСИ: 119435, Москва, Б. Саввинский пер., 14, «Олимпиада-76».

Решение задач выполняется на русском языке в ученческойтеради. Проверка всех работ, представляемых на олимпиаду, будет производится ЭВМ. Поэтому просим в конце тетради помещить ответы к задачам, заполив следующую таблицу.

| Номера задач | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Ответы | | | | | |

Задачи первого тура:

1. Найти остаток от деления $19^{1975}-2^{1976}+6^{3950}$ на 17.
2. Вычислить произведение:
   $$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\times \left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{1976^2}\right).$$
3. Найти максимум выражения $2\cos x+3\cos y-4\cos (x+y)$.
4. На стороне AD вписаного в окружность четырехугольника находится центр окружности, касаощеся трех других сторон четырехугольника. Найти $|AD|$, если $|AB|=2$ см и $|CD|=3$ см.
5. В успешный конус, площадь полной поверхности которого равна $200\text{ cm}^2$, вписан шар. Второй шар касаощеся боковой поверхности конуса по границе нижнего основания конуса. Площадь поверхности второго шара, находшееся внутри первого шара, равна $9\pi\text{ cm}^2$. Найти объем успешного конуса.

Н. Г. Венецкий, Ю. Н. Соркин, Н. В. Шкундина