Советуем купить

50

Второе решение. Описем около четырехугольника $ABCD$ параллелограмм $E_1F_1K_1L_1$ так, чтобы его стороны были параллельными диагоналям четырехугольника $ABCD$ (рис. 7). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Тогда $\overrightarrow{OE}_1 = 2\overrightarrow{OE}$, $\overrightarrow{OF}_1 = 2\overrightarrow{OF}$ и т. д. Следовательно, параллелограммы $E_1F_1K_1L_1$ и $EFKL$ готовятся, коэффициент готовится равен 2. Поэтому площадь параллелограмма $E_1F_1K_1L_1$ в 4 раза больше площади параллелограмма $EFKL$. Далее воспользуемся задачей 13.

Задача 19. Доказать, что если диагонали выпуклого четырехугольника конгузенты, то площадь этого четырехугольника равна произведению длины его средних линей.

Задача 20. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна произведению длины его средних линей на синусу угла между ними.

Тепер предлагаем вам решить несколько задач на вычисление площадей.

Задача 21. Из вершины $C$ треугольника $ABC$ проведена медиана $CM$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $|AC|=13$, $|BC|=11$, $|CM|=10$.

Задача 22 (МГУ, мехмат, 1973). Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен 5, а длины диагоналей трапеции равны 10 и 12. Вычислить площадь трапеции.

Задача 23. Найти площадь выпуклого четырехугольника, если длина диагонали равна $d$, длина средней линии равна $m$ и угол между ними равен $\varphi$.

В заключение приведем более сложную задачу.

Задача 24. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторона $AB$ и $CD$. Прямые $AN$ и $DM$ пересекаются в точке $P$, прямые $BN$ и $CM$ — в точке $Q$. Известно, что $|AP| = |PN|$. Доказать, что площадь четырехугольника $MQNP$ равна одной четверти площади четырехугольника $ABCD$.

Следующей направляйте по адресу: 103773, Москва, Петровка, 15, магазин № 8 «Техническая книга».