Расчёт участка цепи, содержащего э. д. с.

51

Г. Я. Мякицев

Расчет учаска цепи, содержащого Э. Д. С.

Наибольшие трудности при решении задач на построный электрический ток возникают, когда на учаске цепи, рассматриваемом в задаче, имеется источник тока.

Закон Ома

Если учасок цепи содержит только общное сопротивление $R$, то закон Ома имеет следующий вид:

$$I = \frac{U}{R}$$

(1)

Грубейшая, но тем не менее довольно часто встречающаяся ошибка состоит в том, что этот закон применяют для нахождения силы тока на учаске цепи, содержащем источник тока, или других словами, Э. Д. С. В действительности сила тока на таком учаске зависит не только от напряжения $U_{12}$ на концах учаска (1 — начальная, 2 — конечная точки учаска), но и от Э. Д. С. €:

$$I = \frac{U_{12} + €}{r}$$

(2)

(r — внутреннее сопротивление источника тока).

Это и есть закон Ома для учаска цепи, содержащого Э. Д. С.

Входящие в формулу (2) величины: сила тока $I$, напряжение $U_{12}$ и Э. Д. С. € — алгебраические, т. е. могут быть и положительные, и отрицательные. Только сопротивление $r$ всегда положительное. Главный источник ошибок при использовании этого закона заключится в неправильном выборе знака той или иной величины. Чтобы избежать ошибок при расстановке знаков, надо придерживать общих правил, справедливых во всех без исключения случаях.

Сначала нужно выбрать (произвольное) положительное направление обхода в контуре. Сила тока на рассматриваемом учаске будет положительной, если направление тока (т. е. направление движения положительных зарядов) совпадает с выбранным направлением *. Э. Д. С. будет положительной, если работа стороны丝 по перемещению единичного положительного заряда на данном учаске цепи положительного. (В случае галванческого элемента или аккумулятора Э. Д. С. положительная, если этаряд перемещается внутри источника отрицательного электрода к положительной). Наконец, под напряжением $U_{12}$ на учаске цепи надо помнить разность потенциалов между начальной 1 и конечной 2 точками учаска: $U_{12} = \varphi_1 - \varphi_2$.

Чтобы лучше понять смысл формулы (2), разберем подробно два при-

*) Если заранее (до решения задачи) направление тока не известно, то можно выбрать его произвольное. После решения задачи получится положительное или отрицательное значение силы тока. В первом случае это означает, что мы правильно выбрали направление тока. Во втором случае — направление тока противоположно выбранному.

52

Рис. 1.

мера — разрядку и зарядку аккумулятора.

Р а з р я д к а а к к у м у л я т о р а. На рисунке 1 пунктирной рамкой выделен участок цепи с э. д. с. При выбранном направлении обхода против часовой стрелки $I>0$, $\mathscr{E}>0$, а $U_{12}<0$ (ибо потенциал точки 1 — отрицательного полюса аккумулятора меньше потенциала точки 2 — положительного полюса), т. е. электрические силы совершают отрицательную работу *). Поэтому уравнение (2) для модулей запишется так:

$$|I| = \frac{|\mathscr{E}| - |U_{12}|}{r},$$

или

$$|U_{12}| = |\mathscr{E}| - |I|r.$$

---

*) Если бы в рассматриваемой цепи были и другие источники, включенные соответствующим образом, то был бы возможен случай $U_{12}>0$.

Рис. 2.

Рис. 3.

Напряжение равно э. д. с. источника минус падение напряжения на сопротивлении участка.

Полученная формула, в частности, показывает, что для разомкнутой цепи ($I=0$) э. д. с. по модулю равна напряжению на клеммах источника тока. Поэтому э. д. с. можно измерить с помощью вольтметра, подключенного к источнику с разомкнутой внешней цепью. Надо только помнить, что при этом будет допущена некоторая неточность. Обычный вольтметр имеет хотя и очень большое, но все же не бесконечно большое сопротивление, поэтому через вольтметр идет ток и $Ir \neq 0$, так что на самом деле измеряемое напряжение несколько меньше, чем э. д. с.

З а р я д к а а к к у м у л я т о р а. Схема зарядки аккумулятора показана на рисунке 2. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке. Тогда $I>0$, $U_{12}>0$, но $\mathscr{E}<0$. При этом

$$|I| = \frac{|U_{12}| - |\mathscr{E}|}{r}, \quad \text{или} \quad |U_{12}| = |\mathscr{E}| + |I|r.$$

Напряжение на аккумуляторе больше его э. д. с. на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении аккумулятора.

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

З а д а ч а 1. Два элемента, электродвижущие силы которых $\mathscr{E}_1 = 6$ в и $\mathscr{E}_2 = 4$ в и внутренние сопротивления $r_1 = 0{,}25$ ом и $r_2 = 0{,}75$ ом,

Рис. 4.

Рис. 5.

соединены по схеме, показанной на рисунке 3. Чему равна разность потенциалов между точками 1 и 2? Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Условимся считать положительным направление обхода против часовой стрелки. Полная э. д. с. цепи равна $\mathscr{E} = |\mathscr{E}_1| - |\mathscr{E}_2|$, а сила тока в цепи

$$I = \frac{\mathscr{E}}{r_1 + r_2} = \frac{|\mathscr{E}_1| - |\mathscr{E}_2|}{r_1 + r_2}\ .$$

Закон Ома для верхнего участка цепи между точками 1 и 2 запишется в виде

$$U_{12} = Ir_1 - \mathscr{E}_1 = -\frac{|\mathscr{E}_1| r_2 + |\mathscr{E}_2| r_1}{r_1 + r_2} =$$
$$= -5,5\ в.$$

Знак минус указывает на то, что потенциал точки 1 меньше потенциала точки 2.

Тот же результат можно получить, применяя закон Ома к нижнему участку цепи:

$$U_{21} = Ir_2 - \mathscr{E}_2 =$$
$$= \frac{|\mathscr{E}_1| r_2 + |\mathscr{E}_2| r_1}{r_1 + r_2} = 5,5\ в,$$

З а д а ч а 2. Изобразить графически примерный ход потенциала вдоль замкнутой цепи с гальваническим элементом, изображенной на рисунке 1.

Пусть сначала цепь разомкнута, поэтому ток и падения напряжения во внешней цепи и внутри источника

равны нулю. На границах электрод—электролит в источнике существуют скачки потенциалов $\Delta U_1$ и $\Delta U_2$ (см. рис. 4). Сумма этих скачков равна э. д. с. элемента: $\mathscr{E} = \Delta U_1 + \Delta U_2$.

При замыкании цепи скачки потенциалов на границах электрод—электролит не изменяются. Но потенциал электролита теперь не остается постоянным, а уменьшается в направлении тока, т. е. от отрицательного электрода к положительному. Величина падения напряжения на внутреннем сопротивлении $U_r = Ir$.

На рисунке 5 приведен примерный график распределения потенциала в замкнутой цепи. Отрезок $AC$ изображает потенциал положительного электрода относительно некоторого произвольно выбранного нулевого уровня. Отрезок $BF$ соответствует потенциалу отрицательного электрода. Расстояние между электродами равно $AB$. Отрезки $AE$ и $BD$ — потенциалы электролита вблизи положительного и отрицательного электродов. Наклонная линия $DE$ изображает падение потенциала внутри элемента. Его величина $U_r$ представлена отрезком $DK$. Кривая $CMF$ дает представление о падении потенциала во внешней цепи на сопротивлении $R$. Это падение напряжения $U_R = IR$ изображается отрезком $LF$. Отрезки $CE = LK = \Delta U_1$ и $DF = \Delta U_2$ соответствуют скачкам по-

53

54

тенциаль на границах электрод — электролит*).

Линия CMFDEC, изобразяющая ход потенциаль во всей цепи, является замкнутой. Это означает равенство нулю полной работы электростанческого поля на замкнутом пути. Действительно, поле совершает положительное работу на участках CMF и DE и отрицательную в тех местах, где имеются скачки потенциальы вверх (FD и EC). По абсолотной величины положительная работа равна отрицательной. При перемещении единичного положительного заряда вдоль цепи положительная работа равна $U_r + U_R = DK + LF$, а отрицательная работа равна $\Delta U_1 + \Delta U_2 = \mathcal{E} = LK + DF$. Но $DK + LF = LK + DF$, т. е. $U_r + U_R = \mathcal{E}$, что представляет собой закон Ома для всей цепи.

Может возникнуть вопрос — за счет чего же происходит выделение теплла в цепи? На всех участках, кроме границ электрод — электролит, действуют лишь электростанческие силы. На границах, где есть скачки потенциальа, действуют еще и стороны (в данном случае химические) силы, причем отрицательная работа электростанческих сил равна положительной работе сторонних сил. Поэтому положительная работа электростанческих сил во всей остальной части цепи оказывается некомпенсированной. За счет этой работы и присходит выделение теплла.

Рисунок 5 позволяет найти источковать закон Ома для участка цепи, содержащого э. д. с. Как видно из рисунка, модель направления $|U_R| = LF = LK - FK = LK - (DK - DF) = (LK + DF) - DK = |\mathcal{E}| - |I|r$, т. е. направление на клеммах источка равно э. д. с. минус padence направления внутреннего источника.

*) На рисунке 5 изображен случай, когда скачок потенциальа CE больше скачка потенциальа DF. Возможен, конечно, и противоположный случай.

Мощность тока

По определению мощность тока на участке цепи 1—2 равна

$$P = IU_{12}.$$

Эта формула справедлива для любого участка цепи (далее содержащого источник тока). Другие выражения для мощности:

$$P = I^2R \text{ и } P = \frac{U_{12}^2}{R}$$

годятся только для однородного участка с общим сопротивлением $R$. Однако довольно часто встречаются ошибки, когда формулы (4) записьют для участка, содержащого э. д. с.

Обратим внимание еще на одну особенность участка цепи с источником тока. Для однородного участка мощность всегда положительная (действительно, $P = I^2R > 0$). Энергия, поступающая на этот участок извне, увеличивает его внутреннюю энергию и затем передается окружающим телам в виде теплла (выполняется закон Джоуля — Ленца).

При наличии э. д. с. на участке мощность может быть как положительной, так и отрицательной. Для наглядности обратимся еще раз к процессам зарядки и разрядаки акмумулятора.

Как мы уже говорили, при зарядке акмумулятора ток и направление одинаковы по знаку (так идет в направлении убили потенциальа, как и на однородном участке цепи), а знак э. д. с. противоположен знаку силы ток. Следовательно, мощность $P = IU_{12}$ положительная, т. е. акмумулятор потребляет мощность извне. На что же она расходит? Перепишем выражение для мощности в другом виде. Так как $U_{12} = Ir - \mathcal{E}$, то

$$P = I^2r - I\mathcal{E} = I^2r + |I||\mathcal{E}|.$$

Первоое слагаемое — это известное из закона Джоуля — Ленца выражение для количества теплоты, выделяющегося в акмумуляторе в единицу времени. А второе слагаемое — это работа в единицу времени, совершаемая

55

против сторонних (химических) сил; за счет этой работы увеличивается химическая энергия аккумулятора. Таким образом, потребляемая извне энергия частично выделяется в виде теплла, а частично идет на увеличение энергии аккумулятора.

Коеда аккумулятор разряжается, знаки тока и напряжения противоположны (так в аккумуляторе идет в сторону возрастания потенциала), а знаки силы тока и э. д. с. одинаковы. Поэтому мощность

$$P = IU_{12} = -|I| |U_{12}| = I^2r - |I| |E|$$

отрицательна. Это означает, что мощность не поступает на этот участок извне, а наоборот, аккумулятор поставляет мощность во внешнюю цепь. При этом, конечно, часть мощности $(I^2r)$, расходуемой аккумулятором, выделяется в виде теплла на его внутреннем сопротивлении. Остальная мощность отдается внешней цепи.

Следует поддержнуть, что приведенные расчёжения (в частиности, формулы (5) и (6)) справедливы независимо от того, каково происходение э. д. с. на рассматриваемом участке.

Теперь разберем такую задачу.

Задача 3. Какую максимальную механическую мощность $P_m$ может развить серийный *) motor постоянного тока, включенный в сеть с напряжением $U = 120$ в, если сопротивление его обмоток $r = 20$Om?

При вращении якоря motor в магнитном поле в его обмотке возникает э. д. с. индуктивности $E$, поэтому (аналгорично случаю зарядки аккумулятора)

$$|U| = |I|r + |E|.$$

Тогда полная мощность $P$, потребляемая motorом, равна

$$P = IU = I^2r + |I| |E|.$$

Частую мощности $P_T = I^2r$ — это количество теплоты, выделенное в об-

*) Серийным motorом называется электромотор, у которого обмотки стора и ротора соединены последовательно.

Рис. 6. a) $E_1 > E_2$, $r_1 < r_2$; б) $E_1 = E_2$, $r_1 = r_2$.

мотках в единицу времени. Второе слагаемое в выражении (8) представляет собой механическую мощность $P_{mex}$. Выразим силу тока $I$ из (7):

$$|I| = \frac{|U| - |E|}{r}$$

Подставив полученное значение в выражение для механической мощности, получим:

$$P_{mex} = |I| |E| = \frac{|U| |E| - E^2}{r}.$$

Напряжение $U$ и сопротивление обмоток $r$ заданы, а э. д. с. индуктивности $E$ может изменяться, например, в зависимости от скорости вращения motora. В задаче требуется найти максимальную механическую мощность $P_m$ motorа, а выражение (9) имеет максимум при $E = \frac{U}{2}$ (см., например, «Квант» 1974, № 5, с. 65). Поэтому окончательно

$$P_m = \frac{U^2}{4r} = 180 \text{ bm}.$$

Рис. 7. a) $E_1 > E_2$; б) $E_1 = E_2$.