Этот удивительный параболоид

24

В статье В. Г. Болтянского (см. с. 19) рассказано об оптических свойств конических сечений, в частности — параболы. «Физические» определяние оптического свойства параболы можно сформировать так: луч света, падающий на параболу парапельно ее оси симметрины, после отражения проходит через фокус параболы. Из свойства обратности световых лучей следует, что луч, идущий из фокуса параболы, после отражения от нее становится парапельным ее оси симметрины.

В настоящей статье мы расскаем о некоторых числах «физических» особенностей отражения света от параболида — поверхности, образованной врашением параболы вокруг оси симметрины.

Параболический зеркало — это параболид, внутренняя поверхность которого зеркально отражает падающий на нее свет. Если свет падает на такое зеркало парапельно оси симметрины параболида, то после отражения все лучи проходят через его фокус, как бы собираются в нем. И наоборот, лучи от точного источника, расположенного в фокусе, отразившись от поверхности параболида, выходят парапельным лучом.

Важно отметить, что каждый из упомянутых эффектов является результатом только одного отражения лучей от поверхности параболида. Но если сделать параболический зеркало достаточно глубоким, то большеинструменты в него лучей испытает два отражения (рис. 1). После первого отражения каждый луч, пройдя через фокус, снова отражается от «противоположной» стороны зеркала. Иначе говоря, фокус становится как самостояльным точечным источником света *). Но лучи от

*) В действительности определяние «точный» для такого источника подходит лишь частично — в смысле малости размеров. О том, чем отличается этот источник от точного, мы расскаем далее.

Рис. 1.

Рис. 2. а) Картина распределения интенсивности в поперечном сечении выходящего пучка. б) График изменения интенсивности в зависимости от расстояния до оси пучка.

те на рисунок 2. Он иллюстрирует результаты следующего несложного опыта. На оси симметрии зеркала перпендикулярно ей установлена фотопластинка. Светочувствительная поверхность ее обращена «внутрь» параболоида. Зеркало освещается пучком света, параллельным оси симметрии, причем, распределение энергии в поперечном сечении падающего пучка однородно, то есть через единичную площадку, перпендикулярную распространяющемуся пучку, в любом месте проходит за одно и то же время одно и то же количество энергии. Это означает, что падающий свет засвечивал бы фотопластинку равномерно. Но на светочувствительную по-

верхность пластинки попадают отраженные лучи. И пластинка оказывается засвеченной так, как показано на рисунке 2.

Сначала объясним этот факт с помощью наглядных соображений. Пусть $OZ$ — ось симметрии, $r'$, $r''$ — расстояния от оси до падающего и соответствующего ему выходящего луча (рис. 3). Чем дальше от оси $OZ$ падает луч, тем ближе к ней он выходит, то есть чем больше $r'$, тем меньше $r''$. Поэтому энергия «периферийных» областей входящего пучка «перебрасывается» к оси выходящего. Если падающий пучок достаточно широкий (большой радиус зеркала), то это приведет к существенной концентрации энергии вдоль оси. В результате наружу энергия выходит практически в виде узкого «светового шнура», причем, чем шире входящий пучок, тем уже выходящий шнур.

Итак, мы приходим к выводу: параболоид может концентрировать энергию не только в фокусе, но и вдоль оси симметрии.

Нетрудно произвести количественный расчет этого эффекта. Рассмотрим параболу, вращением которой относительно оси $OZ$ создается поверхность параболоида. Если начало координат находится в фокусе, то уравне-

Рис. 3.

25

26

Рис. 4.

ние параболи имеет вид
$$z = \frac{r^2}{4f} - f,$$
(1)

где $f$ — фокусное расстояние, а $r$ и $z$ — «абсцисса» и «ордината» произвольной точки параболи. Входящий луч, «встретивший» парабoly в точке $a'$ на расстоянии $r'$ от оси симметрины, отражется, пройдет через фокус и снова встретит парабoly в точке $a''$ на расстоянии $r''$ от оси $OZ$ (см. рис. 3). Обозначим через $\theta$ угол между $OZ$ и «промежутным» отрезком $a'a''$ нашего луча. Уравнение прямой $a'a''$ записывается в виде
$$z = -r \text{ ctg } \theta.$$ (2)

Точки $a'$ и $a''$ принадлежат одновременно и параболе (1), и прямой (2). Поэтому для них мы можем приравнять правые части (1) и (2):
$$r^2 + 4fr \text{ ctg } \theta - 4f^2 = 0.$$ (3)

Решая это уравнение, находим:
$$r_1 = -2f \text{ ctg } \frac{\theta}{2}, \quad r_2 = 2f \text{ tg } \frac{\theta}{2}.$$ (4)

Корни $r_1$ и $r_2$ — это значения координаты $r$ для точки $a'$ и $a''$. Таким образом, $r' = |r_1|, r'' = r_2$. Из (4) следует
$$r'r'' = 4f^2.$$ (5)

Формулу (5) можно получить с помощью теоремы Виета, не решая уравнения (3). Этот результат подтверждает вывод, полученный выше из качественных соображений: расстояния парабoly и выходшего лучей от оси $OZ$ обратно пропорциональны друг другу.

Формулу (5) можно «прочитать» следующим образом. Представим себе плоскость $A$, перпендикулярную оси $OZ$. Пусть каждый

три кольца шириной $\Delta r''$ с внешним радиусом $r''$. То есть внешнему радиусу $r' + \Delta r'$ «падающего» кольца соответствует внутренний радиус $r'' - \Delta r''$ «отраженного» кольца. Согласно (5) произведение этих радиусов равно $4f^2$ *), то есть

$$(r' + \Delta r')\,(r'' - \Delta r'') =$$
$$= r'r'' + r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 4f^2.$$

Учитывая, что $r'r'' = 4f^2$, получим:

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' - \Delta r'\Delta r'' = 0.$$

Так как $\Delta r' \ll r'$ и $\Delta r'' \ll r''$, последним членом в этом выражении можно пренебречь и записать

$$r''\Delta r' - r'\Delta r'' = 0.$$

Отсюда следует, что

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{r''}{r'} = \frac{4f^2}{r'^2},$$

или

$$\frac{\Delta r''}{\Delta r'} = \frac{4f^2}{r'^2}, \quad \Delta r'' = \Delta r'\ \frac{4f^2}{r'^2}. \qquad (6)$$

Таким образом, энергия, которая в падающем пучке проходила через кольцевую площадку шириной $\Delta r'$, после двойного отражения лучей от зеркала проходит через кольцевую площадку $\Delta r'' < \Delta r'$. Это означает, что количество энергии, проходящей за единицу времени через единицу площади (эту характеристику называют интенсивностью), в «отраженном» кольце больше, чем в «падающем». Мы рассматривали случай, когда $r' > 2f$. Если $r' < 2f$, то «отраженное» кольцо шире «падающего», и значит, интенсивность отраженного света меньше, чем интенсивность падающего.

Итак, в результате отражения света от параболического зеркала происходит перераспределение интенсивности света. Найдем, как изменяется интенсивность в зависимости от расстояния до оси симметрии параболоида. Пусть интенсивность падаю-

---

*) Не будем загромождать запись знаками модулей и будем под $r$ подразумевать численное значение расстояния.

щего света равна $J_0$. Тогда количество энергии, проходящей за единицу времени через кольцевую площадку шириной $\Delta r'$ (то есть световой поток через кольцо), равно произведению $J_0$ на площадь кольца, то есть

$$\Delta \Phi = J_0 2\pi r' \Delta r',$$

где $r'$ — внутренний радиус кольца *). После двойного отражения света от зеркала весь этот поток выйдет через площадку $2\pi r''\Delta r''$. Поэтому в выходящем пучке интенсивность равна

$$J = \frac{\Delta \Phi}{2\pi r''\,\Delta r''} =$$
$$= J_0\ \frac{r'\,\Delta r'}{r''\,\Delta r''} = \frac{16f^4}{(r'')^4}\ J_0. \qquad (7)$$

Формула (7) описывает резкое возрастание интенсивности по мере уменьшения $r''$, то есть по мере приближения к оси симметрии параболоида.

Однако, это не означает, что на самой оси интенсивность становится бесконечно большой. Ведь ближе всего к оси выходят те лучи, которые находились на периферии падающего пучка. Очевидно, что максимальное расстояние $r'_{\max}$ от падающего луча до оси симметрии равно радиусу зеркала. Ему соответствует минимальное расстояние $r''_{\min}$ в выходящем пучке. При уменьшении $r''$ до $r''_{\min}$ интенсивность в выходящем пучке возрастает по закону (7), а при $r'' < r''_{\min}$ интенсивность становится практически равной нулю *). Именно поэтому на рисунке 2 образуется «провал» интенсивности вблизи оси пучка. Однако максимальное значение интенсивности, наблюдаемое вблизи «края провала», может во много раз

---

*)Площадь кольца, ограниченного окружностями радиусов $r$ и $r+\Delta r$, равна $S=\pi(r+\Delta r)^2-\pi r^2=2\pi r\Delta r+\pi(\Delta r)^2$. Если $\Delta r \ll r$, то членом с $(\Delta r)^2$ можно пренебречь и считать $S=2\pi r\Delta r$.

**) Фактически интенсивность в выходящем пучке меняется несколько сложнее из-за дифракции на краях зеркала.

27

28

превышать интенсивность $J_0$ padающего пучка.

Вот сколько информации мы извлекли из простой формулы (5)!

Обратимся теперь к соответствиям (4). Они описываютход лучей «внутри» параболона между двумя отражениями. Именно эти лучи, сходясь в фокусе и расходясь из него, как бы образуют здесь фиктивный точчный источник света. Однако, этот источник отличается от реального точного. Он излучает неизotropно, то есть сила света, испускаемого им в разных направлениях, различна.

Есть что-то мистический красное во всех этих свойств параболона!

Однако, сделанные нами выводы справедливых лишь в рамках идеализированных представлений, которые не точно соответствуют действительности. Мы говорили о параболоне как о математически идеальной поверхности. Реальное зеркало лишь приближенно соответствует этому «идеалу». Его поверхность не строго симметрина, имеет шероховатости и т. п.

Далее, мы оперировали понятиями луча и параболного пучка лучей. На самом деле всякий пучок лучей распространяется внутри некоторого telescopного угла, не равного нулю. Мы можем говорить лишь о практически параболном пучке, то есть о пучке, который хотя и расходится, но настолько незначительно, что этой расходимость внутри определяемой области пространства можно пребежать. Например, пучок лучей, упавший на параболид от какой-либо звезды, можно считать практически параболным. Но даже в этом случае выходящий пучок подвергнется так называемой дифракционной расходимость, обусловленной волновой природой света*). Причем чем уже этот пучок (то есть чем больше

$$\alpha \approx \frac{\lambda}{r_{\min}^2},$$

где $\lambda$ — длина волны параболшего света. Таким образом, чем тонше и концентрированнее «световой шнур», тем больше он расходится. Оценим расстояние $z$, на котором увелищение радиуса шнра из-за расходимости равно самому радиусу $r''_{\min}$ «в начале пучки» (вплоть до этого расстояния выходящей шнур можно считать практически параболным). Очевидно,

$$z \approx \frac{r''_{\min}}{tg\alpha} \approx \frac{r''_{\min}}{\alpha} \approx \frac{(r''_{\min})^2}{\lambda}.$$

Согласно этой формуле, чем тонше и интенсивнее пучок, тем меньше, при прочих равных условиях, его «длина параболности». Следовательно, создание очень глубокого параболона не только невозможно практически, но бессмысленно и с теоретической точки зрения. Волновая природа света не позволяет получить скольгу годно сильный и параболный пучок лучей, подобный описанному в романе А. Толстого «Гиперболонд инженера Гарина».

Таким образом, красные и неожиданные эфективы, связанные с двумя кратным отражением света от параболона вращения, возникли в тех пределах, в которых допустимо ингорировать волновой характер света, а именно, когда даже наименьший из всех размеров системы — радиус $r''_{\min}$ — во много раз больше длины волны. Это условия накладывает ограничение на степень «усиления» света.

*) Более подробно об этом можно прочитать, например, в «Кванте» № 4 за 1972 г. в статусе В. Е. Белонучкина и С. М. Козела «Отичский телефон».