Нильс Хенрик Абель

2

В центре Осло, в Королевском парке, установлен памятник выдающему норвежскому математику Нильсу Хенрику Абелю. Но сам Абель воздвигся себе более впечатляющий памятник. Теоремы Абеля, абелевы интегралы, уравнения Абеля, абелевы группы, преобразования Абеля навечно вошли в различные разделы математики, причем все свои результаты Абель получил за семь лет творчества: он умер, когда ему еще не было двацати семи лет.

Абель родился 5 августа 1802 года в небольшей деревушке Финнейна юге Норвегини, в семье пастора. Нильс был вторым сыном; онросупитим болеененным мальчиком.

Осенью 1815 года пастор Абель отправил двух своих старших сыновей в Христаню (так называлось тогда Осло), в Кафедральную школе. До тех пор он учил их сам.

Школа не оправдала ожиданий Нильса. Еще в 1811 году лучшие учителя ушли в только что организованный университет. Новые преподаватели не отличались глубокими знаниями. Зачастую они избивали учеников. Особенно жесток был преподаватель математики Бадер. Недивительно, что вскоре Нильс охладел к учебе и перестал получить отличные отметки даже по математике. Только посещения театра, который Абель горяче полюбил, игра в шахматы и беседы с друзьями скрашивали жизнь подростка.

Все изменилось в один из дней 1818 года. Бадер так сильно избил одного ученика, что тот через несколько дней скончался. Бадера увоилли, и в школьный новый учитель математики Бернт Микель Хольмбое. Сам Хольмбое почти ничего не сделал в математике, заго он первым заметил и выпестовал математический талант Нильса Абеля.

Основная цель Хольмбое заключалась в том, чтобы заинтересовать

4

по математике, которые смог достить, и неустанно размышлял над математическими проблемами. Вскоре у него появились печатные работы. К несчастью, они остались незамеченными, так как были написаны на норвежском языке, а этого языка не знал никто из выдающихся математиков того времени. Однако из работы была посвящена нахождение линии, по которой матерIALная точка падает по заранее предписанному закону. Абель свел решение этой задачи к уравнению, в котором искомая функция находится под знаком интеграла. Теперь также уравнения называют интегральными.

Никто до Абеля интегральных уравнений не решал: математики того времени интерсовались дифференциальными уравнениями, т. е. уравнениями, содержащими произведение от искомых функций. Лишь в конце XIX века стала развивать общая теория интегральных уравнений, и тогда поняли, что Абель на многое десятилетия предвосчитил будущее математические исследования.

Зимой 1822—1823 годов Абель написал работу, посвященную интеграровию функций.

Если продиференцировать любую элементарную функцию, то снова получится элементарная функция. А вот с интерированным дело остолонте сложнее. Проинтегрировать какую-то функцию — значит найти новую функцию, производная от которой равна данной. Поиск этой функции обычно влись, как писал сам Абель, на основе; ученый жdal озарения, позволяющего ему вычислить тот или иной интеграл. Результаты проведенных поисков были подъитены вfundamentalном социнении одного из величайших математиков XVIII века Леонарда Эйлера «Интегральное исчисление». Но мно-

5

гне интегралы все же не подавались вычислению. И неопонятно было, в чем тут дело: в недостаточной проэрловости учены или в том, что эти интегралы невозможно выразить через элементарные функции.

Абель подошел к вопросу с совершению новой точки зреня. Он решил выяснить, при каких условиях интеграл от данной функции можно выразить через элементарные функции.

Его работа, по-видимому, содержала очень интересные математические идеи; дать же ей точную оценку невозможно: рукопись впоследствии бесследно исчезла, и мы можем судить о ней лишь по сухим строкам протоколов ученого совета и намекам, разбросанным в других рукописях Абеля.

В жизни Абеля она сыграла важную роль: после девятимесячного изучения (видно, жива была еще память о неудание Абеля с уравнениями пяной степени) профессора одобрил эту работу и решил, что Абель заслуживает математной поддержки от государства. Кроме того, его последний провести каникулы в Копенгагене и обещали по окончании университета послать за границу для продолжения образования.

Копенгагенские каникулы (1823 год) были полны незабываемых впечатений. Абель встречался с местными математиками и думал над Великой теоремой Ферма («Квант», 1972, № 8 и 1974, № 5, с. 29).

Хотя Абель и не удалось доказать эту теорему (она не доказана и понятно!), он получил ряд интересных результаты. Например, он доказал, что если натуральные числа a, b, c являются решением уравнения $a^n = b^n + c^n$ (n > 2), то a должно иметь одну из формул $\frac{1}{2} (x^n + y^n + z^n)$, $\frac{1}{2} (x^n + y^n + n^{n-1} z^n)$, где x, y, z — взаимно простые числа. Эти результаты были опубликованы лишь после смерти Абеля.

Профессор Деген посоветовал Абелю заняться теорий так называемых эллиптических интегралов.

Matematики уже давно разделили все функции на алгебраические и transcendentные. Алgebraические называют функции $y = f(x)$, которые удовлетворяют какому-нибудь уравнению вида (1), называют transcendentными. К ним относятся, в частности, изучаемые в школе показательная, логарифмическая, trigonometрическая и обратные тригонометрические функции.

При дифференцировании некоторых transcendentные функции превращаются в алgebraические, например

$$\ln x)' = \frac{1}{x}, \arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Действие, обратное дифференцированию, называют интеграрованием. Значит, при интеграровании из некоторых алgebraических функций получается transcendentные функции. Однако не для всех алgebraических функций их интегралы выразяются через элементарные функции, изучаемые в школе. Например, при вычислении длинны других эллипса получается интеграл вида

$$\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}.$$

Если $k=0$, получается интеграл, равный arcsin x (дело в том, что служебю $k=0$ отвечает эллипс с равными полусимми, то есть окружность, а arcsin x связана с длиной других окружности). При других же значениях $k$ выразить этот интеграл через элементарные функции не удалось. Пришлось ввести класс transcendentных функций — эллиптические интегралы. Так называют интегралы, содержащие квадратные корни из многочленов четвертой степени. Цель ряда заменять выходов о таких интеграх получили Эйлер, Гаусс, Лежандр.

Абель удовлетворяет всему общую формулу, частными случаями которой были многочлены известные соотношения для таких интегралов. Вскоре он пришел к идее, позволившей коренным образом изменить его тематку этого направления: вместо эллиптических интегралов изучать обратные им функции

6

При $k=0$ это соответствует переходу от изучения функций $y=\arcsin x$ к изучению обратной функции $y=\sin x$. Новые функции получили название эллиптических. Так как $(\sin x)'=\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}$, функция $y=\sin x$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y'=\sqrt{1-y^2}$. Абель поставил перед собой задачу получения дифференциальных уравнений для эллиптических функций и блестящие справился с ней. Он доказал также, что эллиптические функции являются перiodическими. Оказалось, что, в отличие от trigonometрических функций, эллиптические функции имеют два периода, причем один из них—действительный, а другой — компликсный. Это потребовал углубления в только что созданную в то время теории функций компликсной переменной.

Вернувшись из Копенгагена, Абель снова занялся алгебраическим уравнениями. Анализируя свое решение уравнения пятой степени, он понял, что ложным было не только это решение, но и сам подход к задаче. Вот что написал он об этом позже:

«Одной из интереснейших проблем алгебры является алгебраческое решение уравнения. Почти все выдалишееся математики исследовали этот вопрос. Без труда были получены общее выражения для корней уравнений perвых четырех степени *). Для решения этих уравнений был открыт единый способ, и найдился, что он применим к уравнением любой степени; но, несмотря на все условия Лагранжа и других выданнойшихся математков, поставленная цель не была достигнута… Предполагали решать уравнение, не зная, возможно ли это решение. В случае существования решения могли его получить, ничего о нем предварительно не зная; но если, к несчастью, решения не существовало, то его могли бы шестино искать целую вещеность. Для того чтобы получить наверняка некоторые результаты по этому вопросу, надо было выбрать иную дорогу, придав probleme такой вид, чтобы она была всегда разрешима, а это можно сделать с любой проблемой. Вместо того чтобы искать не

*) «Квант», 1971, № 11, c. 20 или 1973, № 3, c. 30.

которое соответствие не зная, существует оно или нет, надо просить, возможно ли такое соответствие… Этот метод, который без сомнения является единственной научным, поскольку лишь он позволяет быть заранее уверенным в достижении поставленной цели, мало применяется в математике только потому, что его применение связано с исключительно трудностями…»

Абель удалилось предложить эти трудности: он доказал, что общее уравнение пятой степени неразрешимо в радиках — решения такого уравнения нельзя выразить через его коэффициенты с помощью арифметических действия и известения корней.

Таким образом, проблемы, над которой математики были исследованы, чтобы скорее сделать полученный результат достоянием математков, Абель отпечал брошюру с доказательством на французском языке за свой счет; из-за отсутствия средств ему пришлось сократить изложение до 6 страниц и предоставить читателю доступать детали многохиссужdenей. Неудивительно, что лишь немного математики смогли полностью разобраться в содержании этой работы. Далее Гаусс, больше всех интересоващийся теорией алгебраических уравнений, затерял брошюру Абеля среди своих бумаг. Воспследствии Абель опубликовал развитие доказательство своей теоремы, занявшее несколько десятиков страниц.

Вскоре выяснили, что за несколько лет до Абеля аналогичный результат получил и инальянский ученый Паоло Руффини. И хотя доказательство Руффини было непополным, все же теорему о неразрешимости уравнения пятой степени в радиках теперь называют теорему Руффини — Абеля.

Но, хотя общее уравнение пятой степени и нельзя решить в радиках, существует целый ряд частных случаев.

7

чавв, в которых такое решение возможно. Например, разделить угол $\alpha$ на $n$ равных частей значить cos $\alpha$ через cos $\frac{\alpha}{n}$ и решить получшеся уравнение относительно cos $\alpha/n$. Так как cos $\alpha = 4\cos^3\alpha/3$ — 3 cos $\alpha/3$, то при $n = 3$ получаем кубищеское уравнение $4x^3 - 3x = \cos \alpha$, которое, как и в случае кубищеское уравнение, решается в радикалах. Оказывается, такие уравнения решаются в радикалах при любых значениях $n$. Аналогичные уравнения получаются и при переходе от тригонометрических функций к эллиптическим. Абель удалость написать эти уравнения, выразив эллиптические функции аргумента $x$ через функция аргумента $x/n$.

Абель знал, что вопрос о разрешимости уравнения в радикалах связаан с соответствием между корнями уравнения. Например, все корни уравнения

$$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = 0,$$

возникающего при делении круга на $n$ частей (позному уравнению (2) называется уравнением деления круга), можно выразить через один из них следующим образом:

$$x_2 = x_1^2, \quad x_3 = x_1^3, \quad \dots, \quad x_{n-1} = x_1^{n-1}.$$

Функции $y = x, y = x^2, \dots, y = x^{n-1}$ рациональны. При этом они обладают следующим замечательным свойством: если взять любые две такие функции, заменить в одной из них $x$ другой функции и вместе $x$ подставить $x_1$, то полученное число снова будет одним из корней уравнения. В самом деле, из уравнения (2) следует, что $x_1^n = 1$, а потом $(x_1^k)^l = x_1^{kl} = x_1^m$, где $m$ — остаток от деления $kl$ на $n$.

Абель понял, что именно с этим свойством связана разрешимость в радикалах уравнения деления круга. Поэтому он рассмотрел такие уравнения, что:

a) все корни каждого из них могут быть представлены в виде рациональных функций от одного из корней, например, от $x_1$:

$$x_1 = \theta_1(x_1), \quad x_2 = \theta_2(x_1), \quad \dots, \quad x_n = \theta_n(x_1);$$

б) функция $\theta_1(x)$, $\dots, \theta_n(x)$ таковы, что для любых $k$ и $l$ найдется такое $m$, что $(l \theta_k(x_1)) = \theta_m(x_1)$.

Оказалось, что для разрешимости уравнения в радикалах достаточно выполнения еще одного условия: для любых $k$ и $l$ $\theta_k(\theta_l(x_1)) = \theta_l(\theta_k(x_1))$. Иными словами, нужно, чтобы не имело значения, подставим для мы $\theta_k(x_1)$ в $\theta_l(x)$ или $\theta_l(x_1)$ в $\theta_k(x)$. С тех пор совершности преобразования, результат после

довательного выполнения которых не зависит от порядка выполнения преобразования, называют абелевым (или коммутитивным).

При изучении эллиптических функций и интерполяков Абель широко использовал теорию степениных рядов. (Степеньм рядом называется выражение вида $\sum a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n + \dots$)

Он доказал, что множество значений $x$, для которых сходится ряд $^*$)

$$a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + \dots,$$

является или промежутком вида $(-l, l)$ (где $l$ может также равнять нулю или бесконечности), или таким же промежутком, к которым присоединены один или оба конца. Он доказал, что на промежутке сходимости степенной ряд можно получить дифференцировать и интеррировать, и использовать поведение суммы ряда при приближении $x$ к концам промежутка сходимости. Все эти результаты после их опыликования стали классическими и вошли во все курсы вычислений математики.

Описанный круг и Абель разрабатывают на протяжении 1824—1826 годов, когда, окончив университет, отправился за границу для продолжения образования. Он повышал в Германии, Австрии, Италии, Швейцарии, Франции, Бельгии, позначокомлся с Якобом Штейнером, Андриеном Лежандром, Огюстеном Коши и многими другими математками.

30 октября 1826 года на очередном заседении французской Академии наук ее бессменный секретарь Фурье представил собственным норвежского математика Нильса Хенрика Абель и его «Мемуар об общих свойствах весы широкого класса трансцендентных функций». Заключение о представлении работе было поручено дать Лежандру и Коши.

*) Это значит, что существует

$$\lim_{n \to \infty} \left( a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n \right).$$

8

Памятник Абелю в Осло

Докладчиком утвердили Коши. Трудно было найти менее подходящую кандидатуру: Коши был настоящо увлечен собственными исследованиями, что у него не оставалось времени на что другое. «Мемуар» Абеля затерлялся среди рукописей, загромождающих кабинет Коши. Напрасно Абель жadal признания французских ученых: «Мемуар» нашелся только после его смерти *).

К сожалению, встречи с французскими математиками мало что дал Абелю. Некоторые из них, прекратив научные исследования, занимались собственной карьерой. Другие интересовались лишь прикладной математикой — исследование Абеля казались им совершенню неприменимыми на практике. Они не могли предвидеть, что через сто лет теоретически встречи с французским роль Коши сыграл в судьбе другого молодого гения — Эвариста Галуа («Квант», 1973, № 10, с. 5).

тико-групповые методы, ведущие свое начало от работ Лагранжа, Абеля и Галуа, станут основой всех расчетных методов квантовой механики.

Сохранились воспоминания одного математика о париском перiode жизни Абеля: «Абель одинаково хорошо говорил на французском, немецком, датском и норвежском языках. Он был немного выше среднего роста, на его худошавом, болеененном лице лежала печать утомления и тревоги. Держался он с необычайной скоростью и легко терялся, проявляя удивительное мягкость характера. Судя по простоте, с которой он одевался, по тому, что он позволял покупать себе какую-нибудь еду не более одного раза в день и довольствовала весма бедной квартирой на улице Сент-Маргерит, он располагаал очень скудными средствами. Однако Абель встретил какого-то человека, который показал ему следы побеев на своей теле и посоветовал остерегаться грабителей.

9

«Мне нечего бояться. Что могу отнять у меня грабители?» — с улыбкой ответил ему Абель.

Он в самом деле пожодил на того мудреца, все сокровища которого хранились в голове. Если говорить о таком богатстве, Абель действительно владел несметным состоянием.

Оставаясь в Париже, Абель продолжал работать над общей теории эллиптических функций. В письме к Берntу Хольмбое он сообщал: «Я открыл столкко замечательных теorem, что просто не верится».

Скоро Абель понял, что денег, отпущенных ему на загранничную командировку, не хватит на все время, и решил вернуть домой. На обратном пути он заболел туберкулезом. Эта болезнь впоследствии свела его в могилу.

20 мая 1827 года Абель вернулся в Осло. После восторженной встречи и торжественных приемов наступил разочаровывающее будни. Нильс понял, что он никогда не нужден; ему даже не представили места с постоянным заработком, например, преподавателя в университете или хотя бы школьного учителья. Абель был вынужден обратиться срошением в Коллегию: «В настоящий момент я не располагаю никакими средствами к существованию. В этом положении я находусь с момента возврашения на родину и буду оставаться до тех пор, пока не получначеня. Для того чтобы как-то заработать себе на жизнь, мне придется почти полностью отказыться от научных занятий… Вот почему я осмеливаюсь обратиться в высоковажаемую Коллегию с просбой оказать мне помощь в той форме, которая будет сочета наиболее удобной». 4 сентября 1827 года Коллегия приняла решение выплачивать Абель 200 далеров в год —ровно столько, сколько он получал в студенческе годы.

В марта 1828 года профессор Кристофер Ханстин, руководивший научными занятиями Абеля в университете, отправился в экспедицию в Сибирь. Своим заместителем на время научной командировки Ханстин рекомендовал Абеля.

Нильс начал вести занятия по механике и астрономии в университете и в Военной академии, где ранее преподавал Хацстин. Теперь Абель получал значительное по тем временамжалование: 533 далера в год, но жил по-прежнему очень бедно. Все деньги уходили на погашение накопившихся долгов.

В этом же году Нильса Хенрика Абеля избрали в Королевское научное общество Норвегии. Это было единственным официальным признанием заслужги Абеля, которое он удостолился при жизни.

Но март 1828 года принес Абель не только радости: перелистывающая журнал «Астрономические известия», он обнаружил, что его тематикой очень успешно занимается еще один ученый — немецкий математик Карл Густав Якоби.

Весь 1828 год прошел в содержимое变速ive двух молодых ученых. За этим «состязанием» с большим интересом следил геттингенский отшельник Гаусс: ведь в его юношеских дневниках, написанных, когда ни Абеля, ни Якоби еще не было на свете, содержащим многое совершаемые имноткрытия. Но Гаусс не торопился печать своей результаты: о них узнали только после посмертной публикации его дневников. Ни Абеля, ни Якоби в этом время уже не было в живых. Они и не подозревали о работах своего великого предшественника, хотя не только их теоремы, но даже иногда и обозначения совпадали с гауссовскими. Все же в одной области АбельPrevзошел не только Якоби, но и Гаусса. Он разработал общую теорию интерголов от алгебраических функций, частным случаем которого является эллиптических функций. Именно этот темуар лежал непрочитанным среди бумаг Коши.

10

Соперничество с Якоби было нелегким для Абеля. Он недосыпал, неодедал; все это сказавалось на его здоровье. Абеля часто лихорадило, усилился кшель.

В середине декабря 1828 года Абель решил поехать нарождественские праздники к своим друзьям во Фроланд. Хотя вчая Абеля возражал против этого путешествия, Нильс все же решил ехать.

Он приехал во Фроланд 19 декабря. В дороге Абель сильно простудился. Его беспокойл кашель, озноб, но Нильс продолжал заниматься математикой.

Отъезд из Фроланды был назван на 9 января. В этот день с утра Абеля ожидали запряженные сани. Но перед самым отъездом Нильсу стало плохо. Вызванный вчая предписал постельный режим и полный покой.

Недели через две-три настоящие, но оно оказалось недолгим. 21 февраля по просбеме Нильса вчая написал в письме в Коллегию, что в связи с болезнью Абель не может приступить к исполнению своих обязанностей в университете ранее весны 1829 года.

Надеждам вчая на вызововление Абеля не суждено было бы сбыться. Нильс слабел все больше и больше. В марте он уже почти не встал с постели. 6 апреля в 4 часа дня Абель умер.

Признание гения Абеля произшло лишь после его смерти. 11 июня 1829 года на засеединении французской Академии наук Лежандр объявил о смерти Абеля. Теперь Коши потребовалсь всего неделя, чтобы подготовить свое заключение. На очередном засеединении Академия заслушала сообщение Коши и приняла решение опубlikовать «Мемуар» Абеля в серии работ иностранных ученых и нагрить Абеля вместе с Якоби Большой премией за выдающиеся математические открытия.

В заключение приведем несколько высказываний выданной математикой об Абеле.

Из письма Гаусса к Шумахеру: «…Я не видел в газетах ни одного сообщения о смерти Абеля. Это большая потеря для науки. Если где-нибудь будет опубlikована биография этого в высшей степени замещательного человека и Вам попадется в руки экземпляр, дайте мне знать.»

Из письма Лежандра к Якоби: «…К своему величайшему огорченю, получил известие, что Ваш достойный соперник, господин Абель, умер в Осло от более лигких, который он страдал уже неокоторое время и которая обстрилась из-за суровой зимы. Это тяжелая потеря для всех, кому дорого развить высших разделов математического анализа. Прохив совсем короткую жизни, он успел сделать так много, что этого вплоне достанет на то, чтобы оставить о нем долгую памяти; легко представить себе, чего бы он достиг, если бы судьба решила иначе.»

Из письма Якоби к Лежандру: «…Пришла печальная весть о смерти Абеля… Как妒азительно широк круг вопросов, которые он занимался! Находение необходимого и достаочного условия, позволяющего предложить, может ли данное алгебраической уравнение быть разрешено в радиках, подобное же условия для определения возможностей выражения произвольного интервала в замкнутом виде, заменаеловое открытие общего свойства всех функций, являющихся интерраlamми алгебраических функций и т. д. и т. п. Все эти проблемы краянехаактерны для Абеля, до него ихникто не осмеливался даже ставить. Он ушел от нас, но след, который он оставил, неизгладим.»

Об Абеле можно прочитать в книге О. Оре «Замечательный математик Нильс Хенрик Абель» (М., Физматиз, 1961).