Антье

43

1. Определение

Во многих задачах алгебры, теории чисел, математического анализа, теории вероятностей прихождения целое число, не превосходящие данного числа (впомните, например, определение характерастики десятичного логарифма). Такое целое число получило специальное название: «целая часть числа».

Итак, целой часть системы наибольшее целое число $n$, не превосходящие $x$; целая часть числа $x$ обозначает символьом $[x]$ или (реже) $E(x)$ (от французского Entier («антече») — «целый»). Например, $[2,3]=2$, $[-2,3]=-3$.

Если $n \leqslant x < n+1$, а $n$ — целое, то $[x]=n$. Поскольку $[x] \leqslant x < [x]+1$, имеем $0 \leqslant x-[x] < 1$. Число $\alpha=x-[x]$ называют дробной частью числа $x$ и обозначает $\{x\}$. Итак, $0 \leqslant \{x\} < 1$. Очевидно, $x=[x]+\{x\}$.

График функции $y=[x]$ изображен на рисунке 1, а функция $y=\{x\}$ — на рисунке 2.

2. Некоторые свойства

$1^\circ$. Если $p$ — целое число, то $[x+p]=[x]+p$.

$2^\circ$. Для любых действительных чисел $x$ и $y$: $[x+y] \geqslant [x]+[y]$.

Доказательство. Имеем $x=[x]+\alpha, 0 \leqslant \alpha < 1; y=[y]+\beta, 0 \leqslant \beta < 1$. Тогда $x+y=[x]+\alpha+[y]+\beta=[x]+[y]+\gamma$, где $\gamma=\alpha+\beta$. Значит, $0 \leqslant \gamma < 2$.

Если $0 \leqslant \gamma < 1$, то $[x+y]=[x]+[y]$.

Если же $1 \leqslant \gamma < 2$, т. е. $\gamma=1+\gamma'$, где $0 \leqslant \gamma' < 1$, то $x+y=[x]+[y]+1+\gamma'$ и $[x+y]=[x]+[y]+1>[x]+[y]$.

Заметание. Свойство $2^\circ$ распространяется на любое конечное число слагаемых: $[x_1+x_2+\ldots+x_n] \geqslant [x_1]+[x_2]+\ldots+[x_n]$.

Рис. 1. Рис. 2.

44

3°. Если $[x] = [y]$, то $|x - y| < 1$.
4°. Если $n$ — натуральное число, то $\left[\frac{x}{n}\right] = \left[\frac{x}{n}\right]$.

Доказательство. Положим $\left[\frac{x}{n}\right] = a$. Тогда $a \leqslant \frac{[x]}{n} < a + 1$, или $a \leqslant [x] < n (a + 1)$.

Поскольку числа $an$ и $n (a + 1)$ целые, число $x$ также должно удовлетворять неравенству $an \leqslant x < n (a + 1)$, откуда $a \leqslant \frac{x}{n} < a + 1$, т. е. $\left[\frac{x}{n}\right] = a$.

3. Антые в уравнениях
   Решение уравнения с переменной под знаком «целой части» обычно совпадается к решению неравенств или систем неравенств.
   Рассмотрим несколько примеров.
   Задача 1. Решить уравнение
   $$\left[\frac{5 + 6x}{8}\right] = \frac{15x - 7}{5}.$$
   Решение. Положим $\frac{15x - 7}{5} = t$. Тогда $x = \frac{5t + 7}{15}$, и уравнение принимает вид
   $$\left[\frac{10t + 39}{40}\right] = t.$$
   Из определения целой части следует, что $0 \leqslant \frac{10t + 39}{40} - t < 1$. Решив эти неравенства, находим
   $$-\frac{1}{30} < t \leqslant 1, 3.$$

Рис. 3.
Рис. 4.

46

Задание 5. Доказать, что число $C_{1976}^{976}$ делится на $76^2$.

Решение. Поскольку $76 = 2^2 \times 19$, то для делимости на $76^2$ необходимо и достаточно, чтобы $C_{1976}^{976}$ делилось на $2^4$ и $19^2$.

Имеем $C_{1976}^{976} = \frac{1976!}{976! \cdot 1000!}$. Найдем, чему равны показатели степени $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ и $\beta_1, \beta_2, \beta_3$, с которыми входят числа 2 и 19 в разложения на простые множители чисел 1976!, 976! и 1000!. Имеем

$$\alpha_1 = \left[ \frac{1976}{2} \right] + \left[ \frac{1976}{2^2} \right] + \dots$$

$$\dots + \left[ \frac{1976}{2^{10}} \right] = 1969,$$

$$\alpha_2 = \left[ \frac{976}{2} \right] + \left[ \frac{976}{2^2} \right] + \dots$$

$$\dots + \left[ \frac{976}{2^{9}} \right] = 971,$$

$$\alpha_3 = \left[ \frac{1000}{2} \right] + \left[ \frac{1000}{2^2} \right] + \dots$$

$$\dots + \left[ \frac{1000}{2^9} \right] = 994$$

и $\alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3 = 4$, то есть $C_{1976}^{976}$ делится на $2^4$.

Аналогично

$$\beta_1 = \left[ \frac{1976}{19} \right] + \left[ \frac{1976}{19^2} \right] = 109,$$

$$\beta_2 = \left[ \frac{976}{19} \right] + \left[ \frac{976}{19^2} \right] = 53,$$

$$\beta_3 = \left[ \frac{1000}{19} \right] + \left[ \frac{1000}{19^2} \right] = 54$$

и $\beta_1 - \beta_2 - \beta_3 = 2$, то есть $C_{1976}^{976}$ делится на $19^2$.

Таким образом, $C_{1976}^{976}$ делится на $76^2$.

5. «Цельные точки»

Под целыми точками мы будем понять точки $(x, y)$ координатной плоскости с целочисленными координатами $x$ и $y$. Спрашиваем, как подсчитать число целых точки, лежащих внутри данной плоской фигуры?

Задание 6. Сколько целых мочека расположено на сторонах и внутри треугольника, образованного прямым $y = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$, $x = 10$ и осью абсцисс (рис. 5)?

Решение. Найдем значения функции $y = \frac{2}{3} x - \frac{1}{2}$ при целых $x = 1, 2, \dots, 10$ (заметим, что $y = 0$ при $x = \frac{3}{4}$); получим ordinаты $\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{3}{2}, \frac{13}{6}, \frac{17}{6}, \frac{7}{2}, \frac{25}{6}, \frac{29}{6}, \frac{11}{2}$ и $\frac{37}{6}$. Легко сообщить, что общее число целых точки, лежащих в данной треугольнике (считая и на границе), равно сумме целых частей этих ordinаторов плоскости точек, лежащих на оси абсцисс:

$$\left[ \frac{1}{6} \right] + \left[ \frac{5}{6} \right] + \left[ \frac{3}{2} \right] + \left[ \frac{13}{6} \right] + \left[ \frac{17}{6} \right] + \left[ \frac{7}{2} \right] + \left[ \frac{25}{6} \right] + \left[ \frac{29}{6} \right] + \left[ \frac{11}{2} \right] + \left[ \frac{37}{6} \right] + 10 = 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 10 = 37.$$

Ответ: 37 целых точки.

Заметим, что внутри данной треугольника лежит всего 37-10-6=21 целая точка.

Оказывается, целые точки могут быть полезны при доказательстве точек действи!

47

Задание 7. Доказать можде-
ство

$$\left[ \frac{q}{p} \right] + \left[ \frac{2q}{p} \right] + \left[ \frac{3q}{p} \right] + \dots$$

$$\dots + \left[ \frac{(p-1)q}{p} \right] = \frac{(p-1)(q-1)}{2}$$

(р и q—возимно простые натуральные числа).

Решение. Рассмотрим прямо-
угольник с вершинами $O = (0; 0)$, $A = (p; 0)$, $B = (p; q)$, $C = (0; q)$ (рис. 6). Отметим внутри прямоугольника все целые точки $(x, y)$: $1 \leqslant x \leqslant p-1$, $1 \leqslant y \leqslant q-1$ (красные точки на рисунке). Число этих точки равно произведению $(p-1)(q-1)$.

Проведем диагональ $OB$ нашего прямогоугольника; ее уравнение — $y = \frac{q}{p} x$. Так как $p$ и $q$ взимно просты, а $x = 1$, …, $p-1$, то числа вида $\frac{q}{p} x$—не целые, т. е. на диагонали $OB$ нет целых точки, и таким образом в треугольнике, лежащем под диагональ $OB$, будет $\frac{(p-1)(q-1)}{2}$ красных (целых) точки.

С другой стороны, способом, описанным в задание 6, получаем, что число этих точки равно сумме $$\left[ \frac{q \cdot 1}{p} \right] + \left[ \frac{q \cdot (p-1)}{p} \right],$$ и, значит, нужно тожество доказано.

Рис. 6.

Упражнения

1. Постройте графики функций $y = [-x]$, $y = [2x]$, $y = [\sin x]$.
2. Докажите точки действия:
   a) $$\left[ \frac{n}{k} \right] + \left[ \frac{n+1}{k} \right] + \left[ \frac{n+2}{k} \right] + \dots$$
   $$\dots + \left[ \frac{n+k-1}{k} \right] = n,$$
   где $n$ и $k$—натуральные числа.
   b) $(n+1)(n+2)(n+3) \dots (2n-1)2n = 2^n \cdot (2n-1)!!$.
   (Через $S!!$ обозначается произведение натуральных чисел от 1 до $S$ одинаковой четности с $S$: например, $8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8; 9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9$.)
3. Пусть $a, b, \dots, l$—натуральные числа, $a+b+\dots+l=n$. Докажите, что дробь $$\frac{n!}{a!b! \dots l!}$$—целое число.
4. Докажите, что если $[nx] + [ny] = [n(x+y)]$ при всех натуральных $n$, то либо $x$, либо $y$—целое число.
5. С каким показателем простое число $p$ входит в разложение числа
   a) $(2n)!!;$ 6) $(2n+1)!!$.
6. Решите уравнения:
   a) $$\left[ \frac{8x+19}{7} \right] = \frac{16(x+1)}{11};$$
   b) $$\left[ \frac{x^2-2}{3} \right] = [x];$$
   b) $x^4 - [x+1] = 2$.
7. Пешекод идет со скоростью 5 км/час, останавливаясь на отдельных каждой 4 км. Продолжительность каждой остановки, кроме четвертой, 10 минут, а продолжительность четвертой остановки 1 час. Какое расстояние прошел пешекод, если, отправившись в путь в 4 часа утра, он пришел на место в полдень?
8. Сколько целых точки заклоно в кривolinейной трапеции $a \leqslant x \leqslant b$, $0 \leqslant y \leqslant f(x)$, где $a$ и $b$—натуральные числа, $a = f(x)$—функция, непрерывная и положительная на отрезке $[a, b]$ (целые точки, лежащие на границе трапеции, тоже считаются)?
9. Сколько целых точки лежит в круге радиуса 6,5 с центром в начале координат?
10. В urine находится 500 шаров, произведенных от 1 до 500. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар будет иметь номер, кратный какому-нибудь из чисел 10, 14, 21?