«Ключ» к решению — подобные треугольники

57

Любая задача (не только математическая!) кажется нам более или менее трудной лишь до тех пор, пока не удается найти «ключ» к решению. При решении геометрических задачи таким «ключом» часто является подобные треугольники. В одной задаче подобные треугольники заданы в условиях, в других они «замаскированы» и поэтому сразу не бросаются в глаза; встречаются и такие задачи, в которых подобных треугольников вообще нет, чтобы их получить, нужно сделать неокоторые дополнительные построения.

«Наччится «видеть» подобные треугольники очень полезно — обично они облегчают решения задачи.

Прежде чем читать решения расматриваемых ниже задач, постарайтесь каждую из них решить самостоятельно.

Задание 1. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и через нее проведены три прямы, параллельные сторонам треугольника. Эти прямы делят треугольник ABC на шесть частей, при из которых является треугольник А’B’C'.

Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны $r_1, r_2, r_3$; радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r. Доказать, что $r = r_1 + r_2 + r_3$.

Сразу видно, что построенные треугольники подобны треугольнику ABC (см. рис. 1), поэтому

$$\frac{r_1}{r} = \frac{FO}{AC}; \quad \frac{r_2}{r} = \frac{ED}{AC}; \quad \frac{r_3}{r} = \frac{OH}{AC}.$$

Сложив эти равенства почленно, получим

$$\frac{r_1 + r_2 + r_3}{r} = \frac{FO + ED + OH}{AC} = \frac{AE + ED + DC}{AC} = 1,$$

откуда $r_1 + r_2 + r_3 = r$.

Задача 2. Доказать, что высоты остроугольного треугольника являются bicсектрисами треугольника, образованного отрезками, соединяющими основания высот.

Из подобнятся треугольников $AB'B$ и $AC'C$ (см. рис. 2) следует, что $\frac{AC'}{AB'} = \frac{AC}{AB}$, поэтому и треугольники $AC'B'$ и $ABC$ подобны, так как угол A у них общий, а стороны, заключющие этот угол, пропорциональны. Аналогично можно доказать, что подобнятся треугольники $CA'B'$ и $ABC$, $BA'C'$ и $ABC$. Следовательно, $\triangle AB'C' = \triangle CB'A' = \triangle ABC$, откуда $\triangle C'B'B' = \triangle A'B'B'$. Аналогично доказывается, что $A'A$ и $C'C$ являются bicсектрисами треугольника $A'B'C'$.

60

Рис. 8.

Задача 8 (МФТИ, 1970). В грапеции ABCD (АВ и CD—основания) AB = a, CD = b (a < b). Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD. Найти диагональ AC.

Заметим, что $\Rightarrow ACD = \Rightarrow BAC$ (как накрест лежащие), $\Rightarrow ABC = \Rightarrow CAD$ (оба они изменяются положной дуги AEC, см. рис. 8). Следовательно, треугольники ABC и CAD подобны. Поэтому $\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{DC}$, откуда $AC = \sqrt{ab}$.

Задача 9 (МАИ, 1972). В грапеции ABCD проведены диагонали AC и BD, пересекающие в точке F. Из вершины C проведена прямая CK, параллельная боковой стороне AD, комора пересекаем BD в точке L так, что DF = BL. Найти отношение AB:CD.

Обозначим искомое отношение через $x$. Тогда из подобия треугольников AFB и CFD (см. рис. 9) получим $\frac{AB}{CD} = \frac{AF}{CF} = \frac{FB}{DF} = \frac{FL + LB}{DF} = \frac{FL + DF}{DF}$, откуда $\frac{FL}{DF} = x - 1$. С другой стороны, из подобия треугольников ADF и CLF

$$\frac{FL}{DF} = \frac{FC}{AF} = \frac{1}{x}.$$

Следовательно, для определения $x$ получаем квадратное уравнение $x^2 - x - 1 = 0$, откуда $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (поскольку $x > 0$).

Задача 10 (МФТИ, 1973). В треугольнике ABC через основание D высотны BD проведена прямая параллельно стороне AB до пересечения со стороной BC в точке K. Найти отношение BK:KC, если площадь треугольника BDK составляет $\frac{3}{16}$ площади треугольника ABC.

Обозначим искомое отношение через $x$. Проведем DL || BC (см. рис. 10) и заметим, что $x = \frac{BK}{KC} = \frac{AD}{DC}$. Далее решаем задачу, пользоваться подобным треугольников ABC, ALD и DKC: с одной стороны, $S_{\triangle ALD} + S_{\triangle DKC} = S_{\triangle ABC} - 2S_{\triangle BDK} = \frac{5}{8} S_{\triangle ABC}$, а другой $S_{\triangle ALD} + S_{\triangle DKC} = S_{\triangle ABC} \cdot \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2}$, отсюда получаем уравнение $\frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} = \frac{5}{8}$, или $3x^2 - 10x + 3 = 0$, $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{3}$.