Математика биллиарда

17

А. Земляков

МАТЕМАТИКА
БИЛЛИАРДА

Посвящаемся
светлой памятии
Александра Абрамовича
Шерцевского,
Учимеля математики.

Биллиарды, о которых рассказывает в этой статье, не очень похожи на обычные. Отличный много: Биллиардный стол не всегда прямогольный, шар только один и нет ни луз, ни кия. Но не расстраивает мы постараемся показать, что и один шарик на Биллиардном поле может задать немало головоломок любительям математики.

§ 1. Общая проблема Биллиарда
Согласно законм механики, при отражении абсолотно упругого Биллиардного шара от прямолинейного борта MN «угол падения» шара равен «углу его отражения» — более точно, угол APM равен углу BPN.
Ниже мы будем ссылаться на этот факт как на закон упруgeo отражения.
Уже здесь мы предположили, что Биллиардный шарик мочечный, т. е., как говорят физики, «размерами шарака в данных расстояниях можно пренебречь». Таким образом, мы считаем, что Биллиардный шар — это движущаяся точка, и поэтому можно говорить о траектории Биллиардного шара — о ломаной линии, по которой движется шар в соответствии с законом упруго отражения (рис. 1). Точки излома этой ломаной лежат на «бортах Биллиардного столла». Мы будем рассматривать Биллиардные столы произвольной формы.
В принципие борты Биллиарда могут быть и кривolinейными — тогда закон упруго отражения формулируется, как и раньше, только под углами падения и отражения следует понимать углы между соответствующими («падающий» и «отраженным») звеньями траектории и касательной MN к кривolinейному борту в точке P соударения шара с бортом. Мы не даем обещало определения касательной к кривой — достаточно интуитивно

22

Рис. 9.

и его качеки тесно связаны с так называемыми собственными колебаниями упругой_memбраны, имеющей форму области Q. Грубо говоря, если сделать барабан в форме области Q (с каркасом в форме кривой Γ), то издаваемые этим барабаном музikalные звуки как раз и связаны с соответствующим билиардом! К сожалению, чтобы обьясить этот позазительный факт, нам пришлось бы углубиться в слишком сердезные для «Кванта» разделы математики. Занитересовавшемся читателю можно только посоветовать изучить математку в таком объеме, чтобы самому обьясить связь между билиардом и барабаном.

§ 3. Экстремальные свойства траекторий билиарда

Способ построения билиардной траектории, ведущей из одной данной точки A в другую данную точку B после одного отражения от прямолинейного борта MN, вытекает из закона упругого отражения: стронм точку B′, симметрично точке B относительно прямой MN, и соединяем A с B′ (рис. 9); точка P пересечения прямых AB′ и MN и будет точкой соударения шара с бортом MN, а ломана APB — это искомая траектория (поясните). Из построения оченьindo, что билиардная траектория APB — кратчайшая из всех ломанных вида AP′B с точкой P′ на прямой MN, ведущих из A в B! (Дайте подробное доказательство.) Это утверждение есть часть и простейший случай фундаментального принципа классического механики — принцип наименьшего действия (в оптике он называется принципом Ферма)*. В нашей ситуации этот принцип можно сформировать так: билиардный шарик «умный» и из всех возможных путей выбирает самый короткий. Пока «приицп наикратчайшего пути» установлен нами лишь в случае одного отражения от прямолинейного борта. В задачах 5—7 предлагается проверить его в тех случаях, когда шар отражается не один раз, а несколько, но от прямолинейных бортов.

Задача 5. Внутри острою угла MON даны точки A и B. Постройте кр ачайшую ломанную AP₁P₂B с вершинами P₁ на [OM) и P₂ на [ON). Докажите, что эта ломанная является траекторией билиарда внутри угла MON, ведущей из A в B.

Задача 6. (А). В данной острой угол МON впишите треугольник ABC наименьшего периметра, вершина A которого находится в данной внутрении угла точке, а две другие лежали на сторонах угла.

(Б). «Задача Фаньяно». В данной острой треугольник MLN впишите треугольник ABC наименьшего периметра. Докажите, что этот треугольник ABC дает периодическую траекторию билиарда внутри треугольника MLN.

Задача 7. На прямогольном билиардном столе KLMN лежат два шара A и B. В каком направлении нужно толкнуть шар A для того, чтобы после четырех последовательных отражений от бортов KL, LM, MN, NK он ударился бы о шар B? При любых ли положениях шаров A и B задача имеет решение? Будет ли эта траектория AP₁P₂P₃P₄B кратчайший из всех ломанных такого вида (начинаяшихся в точке A, заходящих на борты стола в указанной последовательности и кончшихся в точке B)?

Оказывается, что замена прямолинейного борта кривой нёмбраны настолько «сбивает с тольку» билиардный шарик, что он иногда движется не самым коротким, а, напротив, самым длиным путем! Рассмотрим эту ситуацию подробно.

Теорема 2. Если ломаная APB с кончами A и B и с точкой из

*) Подробно об этом см. в статье С. Г. Верова «Брахистохрона, или еще одна майна циклопы», «Квант», 1975, № 12.

23

Заметание. Далее для краткости слова «локальный» мы опускаем. При доказательстве формулированного «причина экстремального» (т. е. минимального или максимального) пути для билиардных траекторий мы воспользовемся распространенным примем исследования задач на максимум и минимум; его описание в общем случае можно найти в книжке Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Прямы и кривы», § 7, или в статье В. Г. Болтянского и И. М. Яглома «Геометрические задачи на максимум и минимум» в V томе «Энциклопедии элементарной математики».

Доказательство теоремы 2. Для каждой числа $c > |AB|$ рассмотрим множество $\Gamma_c$, состоящее из тех точек $M$, для которых $|AM| + |MB| = c$. Как известно (см., например, упомянутую выше книгу «Прямы и кривы», § 5, или статью И. Н. Бронштейна «Эллипс», «Квант» № 1 за 1975 год), множество $\Gamma_c$ — это эллипс с формумированием точках $A$ и $B$; они образуют семейство софокусных эллипсов $\{\Gamma_c\}$. Нетрудно видеть, что если ломанная $APB$ минимальная или максимальная, то точка $P$ является точкой касания кривой $\Gamma$ с одним из эллипсов семейства $\{\Gamma_c\}$ — докажите это с помощью рисунков 10, а и б. (Отметим, что не все точки касания дают максимум или минимум — см. рис. 10, в.) В такой точке $P$ кривая $\Gamma$ и касающейся ее эллипс $\Gamma_c$ имеют общую касательную $MN$. Согласно оптическому свойству эллипса *), отрезки $PA$ и $PB$, соединяющие точку $P$ с формуми эллипса $\Gamma_c$, образуют равные углы с касательной $MN$ к $\Gamma_c$ в точке $P$ (рис. 11). Поскольку прямая $MN$ одновременно является и касательной к кривой $\Gamma$ в точке $P$, ломанная $APB$ — билиардная траектория, идущая из $A$ в $B$ после отражения от $\Gamma$ в точке $P!$ Теорема 2 доказана.

Обращение к приоритетным читателям. Если наша рассуждение показались вам сликом нестрогими — например, из-за отсутствия точных определений $P$.

*) См., например, статью В. Г. Болтянского в «Кванте» № 12 за 1975 год.

24

Рис. 11.

лейный касания кривых, локальные экстремумов и т. д., — то мы советем обратиться к упоминавшейся выше статьи В. Г. Болтянского и И. М. Яглома в том том «Энциклопедии элементарной математики» (с. 270—346).
В свое оправдание заметим, что строое обсуждение всех этих понятный увело бы нас слишком далеко от билиардов.

Пример. Пусть Г — окружность, А и В — точки внутри Г. Рассматривая семейство {Γ_c} софокусных эллипсов с фокусами А и В, можно показать, что существуетровно четыре траектории, ведущих из А в В после одного отражения от Г, причем две из них отвецют минимум, а две другие — максимум суммы |AP| + |PB| (см. рис. 12).

Задча 8. Утверждение, обратное принципиу экстремального пути, гласит: билиардная траектория APB, удущая из точки А в точку В после отражения от кривой Г, является либо минимальной, либо максимальной. Приведите пример, показывающий, что для невеликих кривых Г это утверждение неверно. Будет ли оно верно для великих кривых Г (т. е. для кривых, лежащих целиком по одному сторону от любой своей касательной)? Докажите этот «обратный принципи» в том случае, когда кривая Г выпуклая и обращена свойей выпуклостью к точкам А и В (как на рисунке 10, а).

Приименим теперь принципи экстремального пути к упомянутой в §2 теореме Биркого:

если Q — выпуклая область, ограниченная кривой Γ без точки излома, то для произвольного n≥3 существуют хотя бы одна периодическая траектория билиарда в области Q, состоящаяровно из n звенев.

Рис. 12.

Доказательство. Рассмотрим всевозможные несамопересекающие замкнутые n-звенные ломаны P_1P_2…P_nP_1, вписанные в области Q (т. е. с вершинами P_i на кривой Γ). Выберем среди их ломаню наибольшей длины (подумайте, почему такая ломанная существует?).

Задча 9. Докажите с помощью принципиэ экстремального пути, что эта самая длинная ломанная является билиардной траекторией в области Q.

Из задачи 9 следует, что «наидлиннейшая» ломана P_1P_2…P_nP_1 и будет замкнутой перiodической траекторией, и теорема Биркофа доказана (мы не хотим лишать читателя удовлетворяния от самостояльного решения задачи 9).

Задача 10. (А) Проанализируйте утверждение теоремы Биркофа при n=2.

(B). Подумайте, будет ли настоящего n-звенной перiodической траекторией ломанная, «наидлиннейшая» среди всех (в том числе и самопересекающихся) n-звенных ломанных, вписанных в кривой Γ? (Рассмотрите случай n=4 и n=5.)

(B). Какие затруднения возникнут при доказательстве теоремы Биркофа, если вместо самой длиной ломанной P_1P_2…P_nP_1 взять самую коротку?

Задача 11. Какой из вписанных в окружность n-угольников имеет наиболее периметр?

Сформируем две задачи про билиард внутри эллипса Γ с фокусами А и В. Согласно оптическому свойству эллипса (см. выше), если выпустить билиардную траекторию из фокуса, то ее звенья будут поочередно проходит через фокусы А и В, причем эта траектория будет неограннично приближаться к большой

25

оси эллипса — к отрезку $A_1B_1$ (рис. 13, а).

Задача 12. Пусть начальное звено билиарной траектории в эллипсе $\Gamma$ не пересекаем отрезок $AB$ между фокусами. Докажите, что и все следующие звены этой траектории не будут пересекаать отрезок $AB$. Более того, если построить меньший эллипс $\Gamma_1$ с теми же фокусами, касающийся начального звена траектории, то $\Gamma_1$ будет касаться и всех остальных звенев $^*$ (см. рис. 13, б).

Задача 13. Докажите, что если начальное звено билиарной траектории в эллипсе $\Gamma$ пересекаем отрезок $AB$ между фокусами, то и все следующие ее звены пересекают отрезок $AB$. Более того, если построить гиперболу с теми же фокусами $A$ и $B$, касающийся начального звена $P_1P_2$ (или прямой $P_1P_2$), то ветви этой гиперболы будут касаться и всех остальных звенев $P_kP_{k+1}$ (или их продолжений — прямых $P_kP_{k+1}$)**.

Задачи 12 и 13 показывают, что для билиарда в эллипсе с фокусами $A$ и $B$ качественные задачи, относится к об-

*) Задача 12 уже была опубликована в «Кванте» — см. № 12 за 1975 год, в разделе «Задачник «Кванта». Ее решение, а также решения остальных задач мы приведем в следующем номере журнала.

**) Определение и нужные свойства гиперболы см. в статье И. Н. Бронштейна «Гипербола», «Квант», 1975, № 3, а также в вышепомняют статье В. Г. Болтянского.

шей проблеме билиардов в многоугольниках.

Задача 14. Докажите, что любая неперiodическая траектория билиарда в прямогольнике всюду плотно заполняет весь (!) прямогольник (сравните с задачей 2; отметим, что отпудь не всегда неперiodическая траектория всюду плотно заполняет неоторую область — например, траектория билиарда в эллипсе, проходящая через фокусы, этим свойством не обладает!).

Задача 15. Докажите то же самое для билиарда в равностороннем треугольнике.

Дополнитель к § 2

(A) Теорема Якоби.
Напомним, как она формулируется.

Пусть $\alpha$ — несоизмеримое с $\pi$ число, $\{P_0, P_1, P_2, \dots\} = \{P_k\}$ — последовательность мочек окружности $\Gamma$ макая, что каждая следующая мока последовательно $P_{k+1}$ получается из предыдущей моки $P_k$ повтором на угол $\alpha$ радиан. Тогда для любой дуги $\Delta$ окружности $\Gamma$ хотя бы одна мока последовательно $\{P_k\}$ лежит на этой дуги $\Delta$.

Доказательство. Пусть $\Delta$ — произвольная дуга, $\varepsilon$ — ее радианная мера. Выберем натуральное число $N$ такое, что $2\pi/N < \varepsilon$. Разобъем окружности $\Gamma$ на $N$ равных по длине дуги $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_N$; радианная мера каждой из них равна $2\pi/N$ и меньше $\varepsilon$. Расмотрим первые $N+1$ точки последовательности $\{P_k\}$, т. е. точки $P_0, P_1, P_2, \dots, P_N$. Согласно принципу Дирихле, хотя бы на одной из $N$ дуг $\Delta_1, \dots, \Delta_N$ лежат по крашней мереве из этих точок. Пусть, например, точки $P_n$ и $P_m$, где $m=n+1>n$, лежат на дуге $\Delta_i$. Так как $\alpha$ несоизмеримо с $\pi$, то $P_m \neq P_n$ (поясните!). Пусть радианная мера дуги $P_nP_m$ равна $\delta$; тогда $\delta < 2\pi/N$ и тем более $\delta < \varepsilon$.

26

Рассмотрим теперь точки последовательности $P_n$ с номерами $n, n+l, n+2l, \dots$ (рис. 14). Они образуют подпоследовательность $\{P_n, P_{n+l}, P_{n+2l}, P_{n+3l}, \dots\}$, каждый следующий точка которого $P_{n+(r+1)l}$ получается из предыдущей точки $P_{n+rl}$ поворотом на угол $l\alpha$, т. е. точно так же, как точка $P_{n+l}=P_m$ получается из точки $P_n$. Таким образом, соседние точки выделенной подпоследовательности отстояют друг от друга на дугу радианной меры $\delta$. Так как $\delta < \varepsilon$, хотя бы одна из точек $P_n, P_{n+l}, P_{n+2l}, \dots$ обязана попасть на дугу $\Delta$. Тем самым теорема Якоби доказана.

(Б) ВЫВОД ТЕОРЕМЫ 1 ИЗ ТЕОРЕМЫ Якоби.

Пусть $\alpha$ — несоизмеримое с $\pi$ число, $\Gamma_1$ — окружность, который касаются звены каждой отвечающей углу $\alpha$ траектории билиарда внутри окружности $\Gamma$. Пусть $K$ — колюц между $\Gamma_1$ и $\Gamma$, а $D$ — произвольный кругок внутри колюца $K$. Проведем через его центр хорду $MN$ окружности $\Gamma$, касающийся окружности $\Gamma_1$ (рис. 15). Очевидно, что если взять достаточно малую дуг $\Delta$ окружности $\Gamma$ с серединой в точке $M$, то для любой другой точки $M'$ дуги $\Delta$ касательная к окружности $\Gamma_1$, проведенная из точки $M'$ по ту же сторону от $\Gamma_1$, что и $MN$, обязаательно пересекает кругок $D$ (поясните!).

Рассмотрим теперь любую траекторию $P_0 P_1 P_2 \dots$ билиарда внутри окружности $\Gamma$, отвечашую углу $\alpha$. Требуется доказать, что хотя бы одно из ее звенев пересекает кругок $D$. Согласно теореме Якоби, точки $P_0, P_1, P_2, \dots$ вседу плотно заполняют окружность $\Gamma$, и поэтому хотя бы одна из них, скажем, $P_n$, лежит на выбранной выше дуге $\Delta$. В силу выбора этой дуги $\Delta$ одно из двух звенев траектории, выходящих из точки $P_n$, обязаательно пересекает кругок $D$. Тем самым теорема 1 доказана.

Кроме теоремы 1 теорема Якоби имеет и много других интересных следствий*). Мы сформулируем два из них как задачи.

Задание 16. Докажите, что если число $d$ играющего, то для любого числа $a$ последовательность дробных частей членов арифметической прогрессии $a, a+d, a+2d, \dots$, т. е. последовательность чисел $a_n={a+nd}$, всюду плотно заполняет отрезок $0 \leq x \leq 1$ на числовой оси. ($\{x\} = x-[x]$).

Задание 17. Докажите, что если десятичный логарифм числа $c$ играющий, то десятичная запись натуральных степеней $c$, т. е. чисел $c, c^2, c^3, \dots, c^n, \dots$, может начинаться с любого наперед заданного набора цифр. (Например, найдется такая натуральная степень числа 17, которая начинается с семнадцати идущих подряд наборов цифр 1976!)

*) Некоторые приложения теоремы Якоби можно найти в статье А. А. Егорова «Решетки и правильные многоугольники». «Квант», 1974, № 12.