Зачем трансформатору сердечник?

14

Вспомним, как устрой трансформатор и по какому причины работает.

Простейший трансформатор (см. рисунок) представляет собой две катушки (обмотки), намотанные на общий стальной сердечник. Одана обмотка (первичная) подключается к источнику переменного тока. Устройство, потребляющее электрозергию (так называемая нагрузка), подключается ко второй обмотке (вторичной). И первыйную, и второйную обмотки пронизывают один и тот же переменный магнитный поток, созданный переменным током источника. В первыйной обмотке с числом витков $n_1$ возникает Э.Д. с. индукции $e_1 = -n_1 \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ (ΔΦ — изменение магнитного потока через один виток за время $\Delta t$), а во вторичной — Э.Д. с. индукции $e_2 = -n_2 \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$.

Предположим, что вторичная обмотка разомкнута, т. е. расмотрим режим холодного хода трансформатора. Будем также считать, что активное сопротивление первичной катушки очень мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением. По закону Ома сумма всех Э.Д. с. в замкнутом контуре равна сумме паедений напряжения в этом контуре (часто закон Ома, записанный в таком виде, называют правилом Кирхгофа):

$$u_1 + e_1 = i_1 R_1.$$

Здесь $u_1$ — напряжение источника тока, $i_1$ — ток и $R_1$ — активное сопротивление perвичной обмотки. Поскольку $R_1$ очень мало ($R_1 \rightarrow 0$), $u_1 + e_1 = 0$, или

$$u_1 = -e_1.$$

При разомкнутой вторичной обмотке ($i_2 = 0$) напряжение на ее концах

$$u_2 = -e_2.$$

Таким образом, относение напряжения $\frac{u_2}{u_1} = \frac{e_2}{e_1}$, или для действия шначки

$$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\mathcal{E}_2}{\mathcal{E}_1} = \frac{n_2}{n_1}.$$

Это соответствие и порождает вопрос, сформированный в заголовке. Действительно, относение напряжения зависит только от отношения числа витков в обмотках, а параметры сердечника в соответствии (1) отсутствуют. Могут ли эти параметры быть произвольными? Можно ли трансформатор работать вообще без сердечника? Если да, то при каких условиях?

При выводе соответствия (1) подразумеваюсь, что магнитные потоки через perвичную и вторичную катушки равны. Однако это условие может и не выполняться: часть магнитного потока, создаваемого perвичной катушки, может рассеивать и не пронизывать вторичную обмотку трансформатора, что с неизбежностью должно уходить техническую цен-

15

ность трансформатора. Так, может быть, основное назначение сердечника — уменышать рассеяние магнитного потока? Но расселяния можно избежать и другими способами! Например, намотав вторичную обмотку пряmo на первичную или намотав обмотки на тор (баранку). И снова возникает вопрос, формирование в заголовке: зачем трансформатор нужен тяжелый сердечник, в котором, кроме всего прочего, возникают энергетические потери — токи Фуко, гистерезис? В обшем, у сердечника масса недостатков. Так зачем же он нужен?

Итак, вопрос сформирован и осужden; пора переходить к ответу на него.

Реальные устройства, как правило, обладают худшими свойствами по сравнению с теми идеальным моделями, которые описывают теория, особенно простейшая. Это относится к трансформатору. Какой же трансформатор разумно называть идеальным? Попробуем качественно разобраться в этом. В трансформаторе электромагнитная энергия передается из первичной катушки во вторичную. В лучшем случае энергия, выделяемая в цепи вторичной обмотки, будет равна энергии, потребляемой первичной обмоткой от источника. Можно говорить не об энергии, а о мощности. Желательно, кроме того, чтобы мощность была максимальной, т. е. коэффициент мощности с ф≈1. Математически эти требования записьваются в системе коэффициентов.

Рассмотрим длинную катушка с большим числом витков (солеонд). Иndукция магнитного поля, созданного проводником с током, всегда пропорциональная силе тока и зависит также от конфигурации проводника, от местоположения точки, магнитное поле в которой нас интересует, от магнитных свойства среды. Внутри соленода магнитное поле однородно. Можно показать, что индукция этого поля равна $B = \mu_0 \mu I n/l$. Здесь $\mu_0$ — магнитная постоянная, $\mu$ — относительная магнитная проницаемость среды, $n$ — число витков соленода, $l$ — его длина. Тогда из равенства (3)
$$\Phi = B S n = \mu_0 \mu I n^2 S/l.$$

Сравнивая это выражение с (4), най-

16

дем индуктивность соленона:
$$L = \mu_0 \mu n^2 S/l. \quad (5)$$

Аналогичным образом вводится понятие коэффициента взаимной индуктивности (ваимной индуктивности) $M$ двух контуров. В нашем случае — понятие взаимной индуктивности первичной и вторичной обмоток трансформатора. При замыкании вторичной обмотки на нагрузку во вторичной цепи появляется ток. Обозначим его действующее значение $I_2$. Одновременно с этим изменяется ток в первичной обмотке. Теперь его действующее значение $I_1$ уже не такое, как в режиме холодного хода трансформатора. Магнитный поток $\Phi_2$ через вторичную обмотку, создаваемый током $I_1$ первичной обмотки, пропорционален этому току:
$$\Phi_2 \sim I_1, \text{ или } \Phi_2 = MI_1.$$
Аналогично магнитный поток $\Phi_1$ через первичный обмотку, вызванный током $I_2$ вторичной обмотки,
$$\Phi_1 \sim I_2, \text{ или } \Phi_1 = MI_2.$$
Коэффициент пропорциональности $M$ — коэффициент взаимной индуктивности, или взаимная индуктивность обмоток трансформатора. Аналогично выводу величины индуктивности соленона можно получить выражение для $M$:
$$M = \mu_0 \mu n_1 n_2 S/l. \quad (6)$$
Из выражений (5) и (6)
$$M = \frac{n_2}{n_1} L_1 = \frac{n_1}{n_2} L_2. \quad (7)$$

Заметим, что на самом деле магнитный поток в сердечнике трансформатора, конечно, один. Практический он целиком определяется напряжением источника тока, включенного в цепь первичной обмотки. Однако для наглядности можно рассматривать по отдельности магнитные потоки, созданные токами $I_1$ и $I_2$.

Вернемся теперь снова к трансформатору и продолжим обсуждение его работы в рабочем режиме. Запишем закон Ома (правило Кирхгофа) сначала для замкнутой цепи первичной обмотки, а затем — вторичной. В пер-

17

Здесь $A, B, \alpha$ и $\beta$ — постоянные величины.
Скорость изменения первого тока

$$\frac{\Delta i_1}{\Delta t} = \frac{i_1(t + \Delta t) - i_1(t)}{\Delta t} =$$

$$= A \frac{\sin [\omega(t + \Delta t) - \alpha] - \sin (\omega t - \alpha)}{\Delta t} =$$

$$= 2 \frac{A}{\Delta t} \sin \frac{\omega \Delta t}{2} \cos \left(\omega t - \alpha + \frac{\Delta t}{2}\right).$$

Устремляя $\Delta t$ к нулю $\left(\sin \frac{\omega \Delta t}{2} \approx \frac{\omega \Delta t}{2}\right)$,

$$\cos \left(\omega t - \alpha + \frac{\Delta t}{2}\right) \approx \cos (\omega t - \alpha)),$$

получим

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta i_1}{\Delta t} = A \omega \cos (\omega t - \alpha).$$

Аналогично

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta i_2}{\Delta t} = B \omega \cos (\omega t - \beta).$$

После чего уравнения (8) и (9) превращаются в тригонометрические:

$$U_0 \sin \omega t - p MA \omega \cos (\omega t - \alpha) - MB \omega \cos (\omega t - \beta) = 0,$$

(8a)

$$- \frac{1}{p} MB \omega \cos (\omega t - \beta) -$$

$$- MA \omega \cos (\omega t - \alpha) = RB \sin (\omega t - \beta).$$

(9a)

Каждеое из этих уравнений после элементов преобразования (раскрытия скобок) можно записать в виде

$$a \sin \omega t + b \cos \omega t = 0,$$

(10)

где коэффициенты $a$ и $b$ не зависит от времени.

Уравнение (10) справедливо в любой момент времени $t$ только в том случае, если $a=0$ и $b=0$ одновременно. Таким образом, два уравнения преобразуют в четыре:

$$\begin{cases} U_0 - p MA \omega \sin \alpha - MB \omega \sin \beta = 0, \\ p A \cos \alpha + B \cos \beta = 0, \\ - \frac{1}{p} MB \omega \sin \beta - MA \omega \sin \alpha = RB \cos \beta, \\ \frac{1}{p} MB \omega \cos \beta + MA \omega \cos \alpha = RB \sin \beta. \end{cases}$$

Решив эту систему, найдем амплитуды токов в первичной и вторичной цепях и сdwги токов по фазе относительно внешнего напряжения.

Окончательно получим

$$I_{0_1} = A = \frac{U_0}{p^2 R} \sqrt{1 + \left(\frac{p R}{M \omega}\right)^2},$$

$$I_{0_2} = B = \frac{U_0}{p R},$$

$\alpha = \arctg \frac{p R}{M \omega}, \beta = \pi$.

Удовлетворяет ли найденное нами решение требованием идеального трансформатора (соответственно (2))? Проверим. Найдем отношение амплитудных значений токов:

$$\frac{I_{0_1}}{I_{0_2}} = \frac{A}{B} = \frac{1}{p} \sqrt{1 + \left(\frac{p R}{M \omega}\right)^2}.$$

Посленее выражение совпадает с соответствием (2), если под корнем второе слагаемое стремится к нулю:

$$\frac{R}{M \omega} = \frac{R l}{\mu_0 \mu S n_1 n_2 \omega} \rightarrow 0$$

(отношение числа витков $p$ должно оставаться постоянным). Таким образом, трансформатор можно считать идеальным, если

a) магнитная проницаемость среды $\mu$ достаточно велика,

b) частота переменного напряжения $\omega$ достаточно велика,

b) число витков в первичной и вторичной обмотках велико,

г) активное сопротивление вторичной обмотки мало,

d) длина катушки минимальная, т. е. обмотки намотаны плотно.

Для создания трансформатора, близкого к идеальном, нужно выбрать наиболее удобное в практическом смысле преобразование. Таковым является, прежде всего, преобразование большой магнитной проницаемости среды. Для вакуума $\mu=1$, а для ферромагнитков $\mu \approx 10000$. Увеличение числа витков практическими невыгодно (резко возрастают размеры и стоимость трансформатора), а увеличение частоты ток в несколько тысяч раз связано со значительными техническими проблемами. Существующие же высокочастотные трансформаторы действительно применяются без сердечника, а их свойство близки к свойству идеального трансформатора.