Решения задач М351—М353; Ф358—Ф361

30

Какую максимальный часть массы спутника может составлять масса межпланетной станции? (Потенциальная энергия тела массы $m$ в поле тяготения тела массы $M$ равна $U = -\gamma \frac{mM}{r}$). (10кл.)

Ф407. Машинист пассажирского поезда, дивигвшегося со скоростью $v_1 = 108$ км/час, заметил на расстоянии $s_0 = 180$ м вперед движущейся в ту же сторону со скоростью $v_2 = 32,4$ км/час товарный поезд. Машинист сразу включил тормоз, благодаря чему пассажирский поезд начал движаться сускорением $a = -1,2$ м/сек². Достаточно ли этогоускорения для того, чтобы поезда не столкнулись? (8 кл.)

Решения задач

M351—M353, Ф358—Ф361

М351. Восстановите мречеловик, если на плоскости отмещены три точки: $O$ — центр описанной окружности, $P$ — центр тяжестями и $H$ — основание одной из высот эмгого треугольника.

Рис. 1.

Рис. 2.

Пусть $ABC$ — искомый треугольник. Расмотрим конгрузный ему треугольник $AB_1C$ (рис. 1). Заметим, что:

1. Примая $BB_1$ паралельна прямой $AC$.
2. Точка $B_1$ лежит на окружности, описанной вокруг треугольника $ABC$.
3. Точка $B$ лежит на окружности с диаметром $B_1H$.
4. Точка пересечения медианы $BM$ треугольника $ABC$ с отрезком $B_1H$ совпадает с точкой $P$ и делит отрезок $B_1H$ в отношении 2:1.

Первые три свойства оченьидны. Докажем четвертое свойство. Пусть отрезки $BM$ и $B_1H$ пересекаются в некоторой точке $N$. Треугольники $BB_1N$ и $MHN$, очевидно, подобны. Кроме того, нетрудно установить, что $|BB_1| = 2|MH|$. Отсюда следует, что $|BN| = 2|NM|$ и $|B_1N| = 2|NH|$. А поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC$ и точка $N$ делит ее в отношении 2:1, то эта точка является центром тяжестями треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к построению треугольника $ABC$.

Пользовать свойством 4), построим точку $B_1$. Для этого проведем прямую $PH$ и отложим от точки $P$ отрезок $PB_1$, равный по длине 2|PH|.

Проведем окружность с центром в точке $O$ радиусом $|OB_1|$. На основании свойства 2) эта окружность будет описанной вокруг треугольника $ABC$. В частности, на ней лежит точка $B$. На основании свойства 3) точка $B$ лежит на окружности с диаметром $|B_1H|$. Проведем эту окружность. Точка пересечения построенных окружностями будет точки $B$ и $B_1$ (рис. 2).

Следним точки $B$ и $B_1$ и проведем через точку $H$ прямую, паралельную отрезку $BB_1$. На основании свойства 1) на этой прямой лежат точки $A$ и $C$, которые являются точками ее пересечения с уже построенной окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$. Таким образом, треугольник $ABC$ построен. Покажите самостояльно, что по заданным тем точкам $O$, $P$ и $H$ треугольник $ABC$ восстанавливается однозначно.

А. Савин

32

Для доказательства пункта в) воспользовемся понятным скалярного произведения векторов: $a \cdot b = |a| \cdot |b| \cos(\alpha, \beta)$ (его свойства см. на с. 21). Из определения следует, что произведение единичных векторов равно косинусу угла между ними. Обозначим через $e_a, e_b, e_c$ и $e_d$ единичные векторы, имеющие те же направления, что и векторы $a, b, c$ и $d$ соответственно. Легко видеть, что

$$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \phi + \cos \psi = -\frac{1}{2}((e_a + e_b + e_c + e_d) \cdot (e_a + e_b + e_c + e_d)) + 2 = -\frac{1}{2}k \cdot k + 2 = -\frac{|k|^2}{2} + 2,$$

(1)

где $k = e_a + e_b + e_c + e_d$.

Из равенства (1) следует, что сумма косинусов двумя углов tetraэдра не превыходит 2 и равна 2 тогда и только тогда, когда $k = e_a + e_b + e_c + e_d = 0$. Но поскольку всегда $a + b + c + d = 0$, в случае $k = 0$ мы получаем, что длины векторов $a, b, c$ и $d$ равны, т. е. что все грани равновеликки. Из равновеликости граней tetraэдра следует их конгрузностость (см. решение задачи М319, «Квант», 1975, № 12). Поэтому для завершения доказательства утверждения пункта в) осталось показать, что написанная в левой части равенства (1) сумма косинусов положительного, или что $|k| < 2$.

Для удобства будем считать, что $|a| = 1, |b| \leq 1, |c| \leq 1$ и $|d| \leq 1$. Тогда $e_a = a, |k| = |a + b + c + d| + (e_b - b) + (e_c - c) + (e_d - d)| \leq |e_b - b| + |e_c - c| + |e_d - d| = 3 - |b| - |c| - |d| \leq 3 - |b + c + d| = 3 - |a| = 2$. Равенство может иметь место лишь в том случае, когда все векторы $a, b, c$ и $d$ колlinearны; поскольку это не так, $|k| < 2$, и все утверждения пункта в) доказаны.

Для доказательства пункта г) заметим, что условие $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$ является необходимым и достаточно для существования шара, касающейся ребер $AB, BC, CD$ и $DA$ (доказательство этого факта совершено аналогично доказательству необходимости достационного условия $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$ для того, чтобы вокруг плоского четырехугольника $ABCD$ можно было бы описать окружность). Пусть $O$ — центр этого шара (предположим, что точка $O$ внутри tetraэдра). Имеем (рис. 5):

$$(n.l. OAB, \hat{n.l. ABC}) = (n.l. OBC, \hat{n.l. ABC}),$$
$$(n.l. OAB, \hat{n.l. ABD}) = (n.l. OAD, \hat{n.l. ABD}),$$
$$(n.l. ODC, \hat{n.l. BCD}) = (n.l. OBC, \hat{n.l. BCD}),$$
$$(n.l. ODC, \hat{n.l. ACD}) = (n.l. OAD, \hat{n.l. ACD}).$$

Сложив эти равенства, получаем утверждение г).

Случай, когда точка $O$ внутри tetraэдра, рассматривается аналогично.

И. Шарыщин

Ф358. Неодородный стержебель длины $l$ может стоять у вертикальной стены, образуя угол не менее $45^\circ$ с полом. Козффициент трения

33

стержня о пол и о стену равен 1/√3. На какой высоте находится центр мяжке стержня?

Прис. 6.

Прис. 7.

они должны преястивовать врашению стержня против часовой стрелки. Поэтому эти силы направлены так, как показано на рисунке 6. Будем считать, что сила тяжестестия mg приложена в точке, находящейся на искомой высоте h.

Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех приложенных к телу сил на любое направление и сумма моментов этих сил относительно любой неподвижной оси были равны нулю. Запишем условия равновесия для проекций сил на горизонтальное и вертикальное направления и для моментов сил относительно оси, проходящей через нижнюю точку стержня перpendикулярно к плоскости рисуника:

$$N_2 - F_1 = 0,$$

$$F_2 + N_1 - mg = 0,$$

$$mgh \text{ ctg} \alpha - F_2 l \cos \alpha - N_2 l \sin \alpha = 0.$$

В случае покоя абсолотные величины сил сухого треня связаны с абсолотными величинами сил нормального давления следующими неравенствами:

$$F_1 \leqslant \mu N_1, \quad F_2 \leqslant \mu N_2,$$

где $\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$ – коэффициент треня стержня о пол и о стену. Для предельного случая, когда $\alpha = 45^\circ$,

$$F_1 = \mu N_1 \text{ и } F_2 = \mu N_2.$$

Из равенств (1)—(4) получаем

$$h = l \frac{\mu (\mu + tg \alpha) \sin \alpha}{\mu^2 + 1} = \frac{\sqrt{2} (1 + \sqrt{3})}{8} l \approx 0,48 l.$$

Если же $\mu = \sqrt{3}$, как было ошибочно указано в условиям задачи, то $h = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{2} \frac{l}{8} \approx 0,84 l$, между тем как верхиной конец стержня расположен на высоте $H = l \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71 l.$

Данную задачу можно решить проше, если воспользоваться «правилом трех сил». Это правило заключается в том, что при равновесии тела, к которой приложены три силы, лежащие в одной плоскости, линнией действия этих сил должны пересекаться в одной точке. В противном случае суммарный момент этих сил относительно любой оси, перpendикулярной к упомянутой плоскости, будет отличен от нуля, и тело не будет в равновесии.

Тремя силами, действующими на стержень, являются силы $Q_1 = F_1 + N_1, \quad Q_2 = F_2 + N_2$ и сила тяжестестия mg. Вектор $Q_1$ направлен под углом $\beta \leqslant \text{arctg} \mu$ к вектору $N_1$ (рис. 7). Вектор $Q_2$ составляет такой же угол с вектором $N_2$, т. е. векторы $Q_1$ и $Q_2$ перpendикулярны друг друга. В предельном случае $\beta = \text{arctg} \mu$. Из рисунка 7 видно, что $h = (AB - AC) \sin \alpha$. Но $AC = AD / \cos \alpha = AO \cos \beta / \cos \alpha = AB \cos (\alpha + \beta) \cos \beta / \cos \alpha$. Тогда

$$h = AB \sin \alpha - AB \cos (\alpha + \beta) \cos \beta \text{tg} \alpha = l \sin \alpha \sin \beta (\sin \beta + \text{tg} \alpha \cos \beta).$$

Подставляя $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = \text{arctg} \mu = 30^\circ$, получаем тот же ответ: $h = \frac{\sqrt{2} (1 + \sqrt{3})}{8} l \approx 0,48 l.$

34

Ф359. В цилиндрическом соусе под поршнем находится насыщенный водяной пар при температуре t = 20 °C. При изменении скорости в цилиндр было отведено количество меняла Q = 20 ккал. Какая работа была совершена при этом внешними силами, действующими на поршень?

При медленном вдвигании поршня в цилиндрической сосуд насыщенный пар конденсируется. Чтобы процессы вызотermическим, выделяющиеся при конденсации количественно теплоты необходимо отводить. Если первоначально масса водыного пара в сосуд была $m_1$, а затем $m_2$, то количество выделившейся теплоты

$$Q = L \left( m_1 - m_2 \right),$$

где $L = 539$ ккал/кг — удельная теплота парообразования воды.

Известная из таблиц величины $L$ получена опытным путем, при этом испарение воды производится в условиях постоянного давления. Следовательно, потребление количественно теплоты равно сумме приращения внутренней (потенциальной) энергии воды и работы расширения водыного пара. При конденсции пара также же количество теплоты выделяется.

Массу пара в сосуд можно выразить через его объем с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона:

$$m_1 = \frac{\rho \mu}{RT} V_1, \quad m_2 = \frac{\rho \mu}{RT} V_2.$$

Здесь $p$ — давление насыщенного пара при температуре $T = 293 °C$ ($t = 20 °C$), $V_1$ и $V_2$ — соответственно первоначальный и последующий объемы сосуда, $\mu = 0,018$ ккал/моль — молярная масса водыного пара. Таким образом,

$$Q = \frac{\rho \mu L}{RT} \left( V_1 - V_2 \right).$$

Работа, совершенная над паром внешними силами,

$$A = p \left( V_1 - V_2 \right).$$

Решая систему уравнения (1) и (2), получаем

$$A = \frac{QRT}{L\mu} \approx 5020 \text{ дж.}$$

Ф360. Для изменения ускорения использется изогнутая трубка, заполненная водой, в котором имеется пузьрек воздуха (рис. 8). Трубка изогнута по душе окружности. Как связано положение пузьрька с ускорением трубки?

Сила Архимеда представляет собой результат решения сил давления, приложенных к телу, нахождения в жидкости. Следовательно, эта сила всегда направлена perpendicularно к поверхности равного давления, в сторону уменшенной давления. Чтобы поверхности равного давления, расстоянием несколько инную задачу. Пусть сосуд прямогольного сечения движения с постоянным ускорением $a$ (рис. 9). Покажем, что в этом случае поверхности равного давления, а значит и поверхность жидкости в сосуд, представляют собой плоскости, составляющие угол $\alpha = \arctg (a/g)$ с горизонтом.

Выделим в жидкости два очень тонких столбика жидкости $AC$ и $CB$ таких, что точки $A$ и $B$ лежат на линии, наклоненной к горизонту под углом $\alpha$. Сравним давления в точках $A$ и $B$. Для этого запишем второй закон Ньютона для столбика $AC$ в проекции на вертикальную ось, а для столбика $CB$ – в проекции на горизонтальную ось:

$$p_C S - \rho gh S - p_A S = 0, \quad p_C S - p_B S = \rho lSa.$$

Здесь $p_A$, $p_B$, $p_C$ — давления в соответствии их точках, $S$ — площадь поперечного сечения каждого из столбков, $h$ — высота столбика $AC$, $l$ — длина столбика $CB$. С учетом того, что $tg \alpha = h/l = a/g$, получаем

$$p_A = p_B.$$

35

Таким образом, сила Архимеда, перpendикулярная к поверхности равного давления, составляет с вертикально угодл $\alpha = \text{arctg} (a/g)$ (см. рис. 9).

В изогнутой трубке поверхности равного давления расположены также. Поэтому пузырек будет покопаться относительно трубки, когда касательная к ней составляющая силы Архимеда станет равной нулю. Окончательное положение пузырька показано на рисунке 8, где

$$\alpha = \text{arctg} (a/g).$$

Ф361. Прямолинейный проводник длины $l$ и массы $m$ подвешен на двух пружинах жесткостями $k$ в горизонтальном однородном магнитном поле с индукцией $B$ (рис. 10). При замыкании ключа К конденсатор емкости $C$, заряженный до разности помещаемой $U$, замыкается на проводник и разряжается. При этом вознikuатом колебания проводника. Определить амплитуду этих колебаний, если время разряда конденсатора много меньше перiodа колебаний проводника.

При протекании тока $I$ по проводнику длины $l$, находящемуся в магнитном поле с индукцией $B$, на проводник действует сила $F = IBl$, направленная в нашем случае вверх или вниз. За малый промежуток времени $\Delta t$, в течение которого ток можно считать приблизительно постоянным, на проводник действует импульс силы

$$F \Delta t = IBl \Delta t = Bl \Delta q,$$

где $\Delta q = I \Delta t$ — заряд, протекший по проводнику за тот же малый промежуток времени. Импульс силы изменяет количество движения (импульс) проводника на величину

$$\Delta p = m \Delta v = F \Delta t = Bl \Delta q.$$

За все время протекания тока, т. е. за время разряда конденсатора, проводник прибретает импульс

$$p = mv = \sum m \Delta v = \sum Bl \Delta q = Blq.$$

Здесь $q = CU$ — общий заряд, прошедший через поперечное сечение проводника (заряд конденсатора).

По условию задачи импульс $p$ проводник получает за также короткое время, что его смешением за это время можно пребречь. Силы натяжения пружин также остаются неизменными и уравновешивают силу тяжестей проводника. Следовательно, за время начального тока работы всех сил, кроме электрической силы $F$, можно пребречь. Все последующие движения определяется состоянием системы в конце тока. Такой режим движения обычно называют баллистическим (известны, например, баллистический мятник, баллистический галванометр и т.п.).

Проводник на пружинах представляет собой пружинный магниток. Считая его исходное положение за положение равновесия с нулевой потенциальной энергейой, запишем закон сохранения энергии для начального состояния и состояния набольшего отклонения при колебании с амплитудой $A$:

$$\frac{mv^2}{2} = 2 \frac{kA^2}{2}.$$

Это уравнение совместно с уравнением

$$mv = BlCU$$

определяет амплитуду колебаний:

$$A = \frac{BlCU}{\sqrt{2km}}.$$

Б. Буховце