Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской

45

у которой боковая сторона $a$ равна меньшей стороне основания, а острый угол равен $a$. Найти объем призмы, если высота равна диагонали основания.

2. Решить уравнение
   $$\log_2(5 \cdot 2^{x+1} - 1) = 2x + 4.$$

3. Решить уравнение
   $$1 + \mathrm{tg} 2x = \frac{1 - \sin 2x}{\cos^2 2x}.$$

4. Решить неравенство
   $$\sqrt{\frac{1 + 4x}{x}} < 1.$$

Физика.

Устный экзамен по физике для построих на физической факультет МГПИ им. В. И. Ленина проводится в точном соответствии с программой по физике.

Экзаменационный билет состоит из двух вопросов и одной задачи. Каждый из билетов составлен так, чтобы охватить проверкой возможность большей число разделов физики. Для примера приводим текст одного из билетов:

1. Понятие об абсцилотном нуле. Абсцилотная температура шкала. Объедининый закон Бойля — Маринта — Гей-Люсака.

2. Световой поток. Сила света. Освещенность.

3. Задание. Медный шар с внутренней полостью весит в воздухе 2,64 н, в воде — 2,21 н. Определить объем внутренней полости шара. Плотность меди принять равной 8,8 е/см³.

4. Плоское тело массой 4 кг движется по круговому железу, расположному в вертикальной плоскости (см. рисунок). Определить силу давления тела на железе в точке $B$, если оно отпушено с нулевой скоростью из точки $A$.

5. По наклонной плоскости длиной 18 м, образующей с горизонтом угол 30°, скольент тело массой 2 кг. Какое количество теплы выделяется при тренни тела о плоскость, если начальная скорость тела была равна нулю, а у основания — 6 м/ сек?

6. В баллоне емкостью 36 л находится кислород под давлением 20 атм при температуре 20 °C. Какое объем занимаем этот газ при нормальных условиях?

7. Найти э.д. с. и внутреннее сопротивление батареи аккумуляторов, если при силе тока 5 а потребляемая во внешней цепи мощность равна 12,5 вт, а при силе тока 8 а она равна 16,8 вт.

8. Какой силы ток потребляет электрический кипятельник емкостью 8 л, если при к.п.д., равном 80%, вода в нем нагревается от 20 °C до 100 °C за 25 мин? Напряжение в сети 220 вт.

9. Какое количество алюминия выделится на катоде за 6 час при электролизе Al₂(SO₄)₃ при пропускании через электролит тока силой 1,5 а? Атомный вес алюминия 27.

10. Приемный контур состоит из катушки с индуктивностью $2 \cdot 10^{-6}$ ен и из конденсатора с емкостью 1800 nф. На какую длину волны расчитан контур?

11. Экран находится от coincюшей линии на расстоянии 2,45 м. Фокусное расстояние линии 25 см. На каком расстоянии от линии следует расположить предмет, чтобы на экран получить отчетливое изображение?

Г. Шадрин, Д. Мур

Московский областной педагогический институт
им. Н. К. Крупской

Московский областной педагогический институт был основан в 1931 году по инцизации Н. К. Крупской, и в 1958 году ему было присвоено ее имя.

В составе института много факультетов, мы расскажем о математическом и физическом. Оба факультета готовят в основном учитель для работы в средней школе.

Современный учитель должен очень высокий уровень подготовки, и новые учебные программы предусматривают подготовку специальностей высма высокой квалификации. Значительное место в программах занимают курсы педагогики, психологии, естестики, а также методики преподавания ма-

46

театики и физики. На всех курсах студенты работают с учениками (в пиноплагерях, кружках). На двух последних курсах в рамках педагогической практики студенты самостоятельно проводят уроки в школе.

На математическом факультете студенты изучают математический анализ, теории функций действительного переменного, комплексного переменного, вычислю алгебру, анализческую геометрию, другие разделы геометрии, теории вероятности, программрование для электронно-вычислительных машин, курс физики, астрономию.

Будущее физики изучают теоретическую механику, другие разделы теоретической физики, электroteхнику, акустику, астрономию, а также специальные разделы математики: математический анализ, аналитическая геометрия. На физическом факультете есть отдельные физики на иностранном языке; окончившие это отделение могут преподавать физики не только на своей родном, но также и на иностранном языке (англійском).

В институте много лабораторий с современным оборудованием: электroteхники, радиотехники, молекулярной акустики и др. Имеется лаборатория, в котором студенты занимаются программированием и работой на ЭВМ «БЭСМ-4». В рамках студенческого научного общества (HCO) студенты ведут научные исследования, в той или иной мере самостоятельные. Для тех, кто хорошо проявил себя в этом отношении, имеется аспирантура.

Выпускники института работают учительами средних школа, окончившие аспирантуру преподают также в высшей школе. Выпускники отделения физики на иностранном языке работают за рубежом, в школе развивающихся стран, а также в советских школе с увеличенным объемом преподавания иностранного языка.

При МОПИ имеется подготовительное отделение со сроком обучения 1 год.

Ниже приведены варианты письменного экзамена по математике и задачи из билетов устного экзамена по физике в МОПИ в 1975 году (задчи по математике составил М. Д. Бронфман, по физике — В. В. Никитин).

Математика
Mathematical факультет

Вариант 1

1. В основании параллелепипеда — ромб $ABCD$ с углом $60^\circ$ при вершине $A$. Перpendикуляр к плоскости основания, восставленный в вершине $A$, проходит через точку пересечения диагоналей другого основания. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $\alpha$. Сторона основания равна $\alpha$. Определить объем параллелепипеда.

2. Решить систему уравнений
   $$\begin{align*} x^2 - 12xy + 13y^2 + 18x - 2y - 18 &= 0, \\ x + 4\sqrt{xy} + 3y &= 0. \end{align*}$$

3. У подножья горы, по разные стороны от перевала $C$, расположены пункты $A$ и $B$, расстояние между которых по соединяющей их дороге равно 8 км. Перевал считается точкой. Скорость трактора на спуске на 1 км/час превозходит скорость его на подъеме. Время, затрачиваемое трактором на переход от $A$ к $B$, равно $t_1$, а время, затрачиваемое на обратный переход от $B$ к $A$, равно $t_2$.

a) Определить скорость трактора на спуске, если известно, что $t_1 = 5$ час 3 мин 17 сек, а $t_2 = 6$ час 56 мин 43 сек.

b) Полягая, что на переход туда и обратно трактор затрачивает в общей сложности 12 час, указывает предельы, в которых можно задавать параметр $t_1$ для того, чтобы задача имела решение.

Вариант 2

1. В основании параллелепипеда со стороны $a$. Высота параллелепипеда проходит через середину высоты треугольника, лежащого в основании. Наибольшая по площине боковая грань наклона к плоскости основания под углом $\alpha$. Определить объем параллелепипеда.

2. Решить систему уравнений
   $$\begin{align*} 3x + \sqrt{xy} - 14y &= 21, \\ x + 12\sqrt{xy} - 28y &= 56. \end{align*}$$

3. Огнобая остров, река у пункта $A$ разделяется на два рукава $ACB$ и $ADB$, а у пункта $B$ снова сходится. Скорость течение в обихках рукавых одинаковова и равна 3 км/час. На обход остров в направлении $ACBDA$ motorная лодка затрачивает время $t_1$, а на обход его в направлении $ADBCA$ — время $t_2$. Один из рукавов на 6 км длине другого.

a) Определить скорость лодки в стоячей воде, полагая $t_1 = 7$ час, $t_2 = 7$ час 10 мин.

b) Считая $t_2 - t_1 = 10$ мин, указывает область возможных значений параметра $t_1$, при которых задач может иметь решение.

Физический факультет

Вариант 3

1. Нанбольший угол между двумя боковым ребрами правной шестугольной параллелем равен $\alpha$, а сторона основания равна $\alpha$. Определить объем параллелепипеда.

2. Дано уравнение
   $$x^4 - 31x^2 + 184 = 0.$$

a) Решить это уравнение.

b) Вычислить с точностью 0,01 с недостатком и с избытком значения выражения $\alpha_1 - 14\alpha_2$, где $\alpha_1$ — наименьший, а $\alpha_2$ — наибольший из положительных корней уравнения.

3. Путь, по которым проехал моториклест, состоит из трех последовательных участков. При этом средняя скорость на всем пути равна скорости на втором участке, скорость на первом участке на 2 км/час