Марийский политехнический институт им. М. Горького

43

Билет 2

1. Параллелепипед; свойства его граней и диагоналей, соответствие между диагоналiales прямогольного параллелепипеда и треяя измерениями.
2. Перечисление и укажите свойства десятичных логарифмов.
3. При каких значениях $x$ трехчлен $y = 3x + 5 - 2x^2$
   a) принимает наиболее значение;
   b) обращается в нуль;
   c) положитель?
4. Решить уравнение
   $$\cos x = \cos 2x \cdot \cos 3x.$$
   Билет 3
5. Доказите теорему о свойствах средней линии треугольника.
6. Выведите формулу для sin ($\alpha \neq \beta$).
7. Решить неравенство
   $$\frac{x}{3} - \frac{4}{x} > \frac{4}{3}.$$
8. Вычислить
   $$\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x},$$
   если sin $x$ cos $x = 0,4$.

Физика

1. Освешenyю щель высотой $h=5$ см проектируют с помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=10$ см на экран, находящейся от линзы на расстоянии $f=12$ см. Найти размер изобравнения щели на экране.
2. Какой наиболее мощно установлен в конце двухпроизводной линни, имеющий сопротивление $R=10$ ом, если источник тока развивает мощность не более $P=6$ кВт при напряжении $U=1000$ В?
3. В электронском чайнике мощность 800 вм можно вскипятить $V=1,5$ л воды, имеющий температуру $t_1=20^\circ\text{C}$, за время $t=20$ мин. Найти к. п. д. чайника.

С. Жеданов. З. Филер

Марийский политехнический институт
им. М. Горького
Писменный экзамен по математике, 1975 год
Вариант 1

1. Основанием параметры служит ромб с острым углом $\alpha$. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $\varphi$. Определить объем параметра, если радиус круга, виссанного в ромб, равен $r$.
2. Решить уравнение
   $$\lg 2 + \lg (4x^2 + 9) = 1 + \lg (2x^2 + 1).$$
3. Решить уравнение
   $$\sin 3x + \sin 2x = \sin x.$$
4. Решить неравенство
   $$\frac{x^2 - 5x + 4}{x + 1} > 0.$$
5. Упростить выражение
   $$2 \left(x^2 + \sqrt{x^4 - 1}\right) \times \left[\sqrt[3]{(x^2 + 1) \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} + \sqrt[3]{(x^2 - 1) \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}\right]^{-2}.$$
   Вариант 2
6. Образующее конуса касаются шара, вписанного в конус, по параллели в $60^\circ$. Найти объем конуса, если радиус шара равен 2.
7. Решить уравнение
   $$4x^2 - 17 \cdot 2x^4 = 0.$$
8. Решить уравнение
   $$\cos 4x = -2 \cos^2 x.$$
9. Решить неравенство
   $$\lg (35 - x^3) / \lg (5 - x) > 0.$$
10. Упростить выражение
    $$\left[(a - b) \cdot \sqrt{\frac{a + b}{a - b}} + a - b\right] \times \left[(a - b) \cdot \left(\sqrt{\frac{a + b}{a - b}} - 1\right)\right].$$
    Г. Мелемьева

Ярославский политехнический институт
Подробно о Ярославском политехническом институте рассказывалось в «Кванте» № 7 за 1974 г. В 1975 году на инженерно-строительном факультете впервые проводился прием по новой специальности «гидромелорация». Приводим варианты вступительного экзамена по математике и задачи из билетов экзамена по физике в ЯПИ в 1975 году.