Скалярное произведение векторов в геометрических задачах. Задачи на доказательство

21

В новую программу по геометрии (для девятого класса) входит понятие скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов широко применяется при решении различных геометрических задач и доказательстве теорем. Ниже мы помещаем две заметки — Э. Готмана и Я. Понарина, и которые на несколько примерах демонстрируют применение векторного метода. От читателя требуется знакомство с простейшими операциями — сложением векторов и умножением вектора на число, а также с понятием скалярного произведения векторов.Напомним определение и некоторые свойства скалярного умножения векторов.

Скалярным произведением двух неулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длины этих векторов на косинус угла между векторами.

Обозначается скалярное произведение векторов a и b через a·b; согласно определению a·b = |a|·|b|·cos a, b). Свойства, которые обладает скалярное умножение векторов, аналогичны законом операций над числами:

1. a·b = b·a;
2. (λa)·b = λ(a·b), где λ — некоторое число;
3. a·(b+c) = a·b+a·c

(их доказательства см. в учебном пособии по геометрии для 9-го класса, с. 59).

Э. Готман

Задчи

на доказательство

Из полученного результат следует выжать все, что он может дать.

Д. Пой а. Как решать задачу.

Плоский четырехугольник

Легко видеть, что если диагонали AC и BD четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны (рис. 1), то

длины его стороны удовлетворяют соотношению

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$

А верно ли обратное: можно ли утверждать, что диагонали четырехугольника

23

нее изложеного в предыдущем пункте (с применением теоремы косинусов), а применяется его оченьНЫ: ведь теперь мы знаем, что равенство (2) справедливо для любое расположения четырех точек $A, B, C$ и $D$, а не только тогда, когда эти точки являются вершинами плоского четырехугольника.

Применя равенство (3), мы сейчас получим много новых интересных результатов.

Следствия

1. Промышленное ребра $AC$ и $BD$ метраэдра $ABCD$ перепределили моеда и молко моеда, когда суммы квадратов длины других промышленных ребер: $AB$ и $CD$, $BC$ и $AD$ — равны между собой.

В самом деле, угол между ребрами $AC$ и $BD$ может быть найден по формуле

$$\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DB}) = \frac{|AB|^2 + |CD|^2 - |BC|^2 - |AD|^2}{2|AC| \cdot |BD|}.$$

но $\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{DB}) = 0$ тогда и только тогда, когда

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$

2. Множество точки $D$ плоскости, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точки $A$ и $C$ — величины постоянная, есть прямая, перепределочная прямой $AC$.

Доказательство. Пусть эта разность равна $k^2$. Построим на рис. 3.

прямою $AC$ точку $B$ так, чтобы $|AB|^2 - |BC|^2 = k^2$. Для этого через точку $C$ проведем перепределкур к прямой $AC$ и отложим на нем отрезок $CM$ длины $k$ (рис. 2). Середний перепределкур отрезка $AM$ пересечет прямую $AC$ вискомой точке $B$.

Действительно, из прямогоного треугольника $BCM$, $|BM|^2 - |BC|^2 = |CM|^2$. Но $|BM| = |AB|$ согласно свойству середининого перепределкура, а $|CM| = k$. Следовательно, $|AB|^2 - |BC|^2 = k^2$.

Очевидно, точка $B$ всегда существует, притом единственная. Пусть теперь $D$ — точкаискомого множества. Применив к точкам $A, B, C$ и $D$ плоскости формулу (3), получим, что $|AD|^2 - |CD|^2 = |AB|^2 - |BC|^2$ тогда и только тогда, когда прямая $BD$ перепределкура прямой $AC$.

Заметание. Множество точек пространства, обладающих указанным свойствам, есть плоскость, перепределкура к прямой $AC$.

3. Если $ACBD$ — выпуклый четверехольник, промышленной стороны $AC$ и $BD$ коморого перепределкуры (рис. 3), то сумма квадратов длины его диагоналей равна сумме квадратов длины двух других его промышленных сторон.

Доказательство. Поколку $(AC) \perp (DB)$, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$, т. е. права часть равенства (3) обращается в нуль. Следовательно,

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$

24

Рис. 5.

4. Сумма квадратов длины диагоналей пррапеции равна сумме квадратов длины ее боковых сторониллюс удовеное произведение длины оснований.

Доказательство. Пусть AC и DB — основания трапеции ACBD (рис. 4). Поскольку векторы $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$ сопправлены, $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |AC| \cdot |DB|$, и равенство (3) принимает вид $|AB|^2 + |CD|^2 - |BC|^2 - |AD|^2 = 2|AC| \cdot |BD|$, т. е.

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 + 2|AC| \cdot |DB|$$

что и требовалось доказать.

5. (Известная теорема.) Сумма квадратов длины диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длины всех его сторонил.

Доказательство. Векторы AC и DB сопправлены (рис. 5), следовательно, $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |AC| \cdot |DB| = |AC|^2$, поскольку $|AC| = |DB|$.

Подставляя найденное значение $\vec{AC} \cdot \vec{DB}$ в (3), получим

$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 + 2|AC|^2 = |BC|^2 + |AD|^2 + |AC|^2 + |BD|^2$$

и теорема доказана.

Напомним, что квадрат расстояния между двумя точками равен скалярному квадрату вектора, определяемого этих точками. Решив задачу, не спешите: подумайте, нельзя ли результаты использовать для решения какой-нибудь другой задачи.

3. а) Около треугольника $ABC$ описана окружность и построена точка D, симметричная центру O относительно стороны AB. Выразите вектор $\vec{CD}$ через векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Докажите, что

$$|CD|^2 = R^2 + a^2 + b^2 - c^2,$$

где a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|, R = |OA|.

6. Докажите, что для всякого треугольника $ABC$ справедливо неравенство

$$\cos 2\hat{A} + \cos 2\hat{B} - \cos 2\hat{C} \leq \frac{3}{2}.$$

Выясните, когда имеет место равенство.

2. а) Докажите, что расстояние от центра O окружности, описанной около треугольника $ABC$, до его центроид грани ABC, M — точка, удовлетворяющая условию $|OM| = 3 |OG|$. Выразите расстояние от вершины D до точки M через длины ребер треугольника и радиус описанной около треугольника сферы.

6. Докажите, что если a, b, c — длины ребер треугольника, имеющих общую вершину, a1, b1, c1 — длины трех остальных ребер и R — радиус описанной около него сферы, то

$$a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 \leq 4R^2 + a^2 + b^2 + c^2.$$

4. Докажите, что расстояние от центра O сферы, описанной около треугольника $ABC$, до его центроид грани ABC, M — точка, удовлетворяющая условию $|OM| = 3 |OG|$. Выразите расстояние от вершины D до точки M через длины ребер треугольника, имеющих общую вершину, a1, b1, c1 — длины трех остальных ребер и R — радиус описанной около него сферы, то имеет место равенство

$$|OG|^2 = R^2 - \frac{1}{16} (a^2 + b^2 + c^2 + a_1^2 + b_1^2 + c_1^2),$$

где a, b, c, a1, b1, c1 — длины ребер треугольника, R — радиус описанной сферы.

5. Докажите, что если A, B, C, D — четырепольные точки пространства, M и N — середины отрезков AC и BD соответственно, то имеет место равенство

$$|AC|^2 + |BD|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 - 4 |MN|^2.$$

Какие следствия можно вывести из этой теоремы?

*) См. статью Э. Готмана «Пряма Эйлера» («Кваант», 1975, № 2, c. 32).