Построение алгебраических кривых с помощью шарнирных механизмов

30

Построение альgebraических кривых с помощью шарнирных механизмов

Эта заметка родилась из доклада, сделанного Московским школьником, учеником 9 класса Вадимом Книжником на школьной конференции. В ней расссказывает, как с помощью механизмов, состоящих из планок с прорезями и винтов, можно строить графики различных функций.

Механизмы

Шарнирным механизмом мы будем называть систему из планок с прорезями и дырками, соединенных винтими. При этом прорези и дырки располагаются строго по оси планки. При соединении винтом планки с дырками могут лишь поворачивать вокруг винта, а планки с прорезями — поворачивать и смещаться (рис. 1; сизу на рисунке приведены обозначения соединений).

Работают эти механизмы так. На плоскости закрепляются две перпендикулярные планки, образующие прямуюольную систему координат $Oxy$. К этим планкам винтими креплятся механизмы, имеющий один «вход» — дырку, перемещающегося по оси $Ox$, и один «выход» — дырку, которая все время находится на одной вертикали со входом, но на высоте, зависящей от положения входа. Если в «выход» вставить карандаш, а «вход» вести по оси $Ox$, то карандаш нарисует кривую — график некоторых.

Для дальнейшего полезно вести еще один блок «угол», состоящий из трех планок (с дырками), скрепленных винтими. Этот блок, при винченной теми же винтами к любым двум планкам с прорезями, позволяет им лишь смещаться, сохраняя между собой постоянный угол (обозначение на рисунке — угол).

Примеры

На рисунке 2, $a$ изображен механизм со входом $A$ и выходом $B$, строящий график функции $y=x$. Он основан на том, что прямогольник, диагональ которого образует угол $45^\circ$ с основанием, является квадратом. На рисунке 2, $b$ изображен механизм, строящий график постоянной $(y=c)$. Механизм, строящий график функции $f$ (рис. 2, $\theta$), мы будем обозначать на рисунке волнистой линей, соединяющей вход $A$ и выход $B$, в середине волнистой линей будем писать $f$ в кругочке, у выхода будем ставить стрелку; а в тексте мы такой механизм будет обозначать буквой $f$.

Таким образом, у нас уже есть две функции. Научимся умножать, складывать, делить функции и извлекать из функции корень.

Блоки алgebraических операций

Блок сложения. По определению, назовем блоком сложения способ скрепления механизмов $f$ и $g$, при котором точка $C$ — выход $g$,— выписывает график функции $y(x) = f(x) + g(x)$. Block сложения изображен на рисунке За. Ось абсцисс

31

механизма $g$ совпадает с осью $O'x'$ на рисунке, входом его является точка $B$ — выход механизма $f$.

Блок умножения. Это способ скрепления механизмов $f$ и $g$, при котором выход $D$ выписывает график функции $y(x) = f(x) \cdot g(x)$. Блок умножения избражен на рисунке 36. Здесь $|AM| = 1$, $(PD) \parallel (CM)$, поэтому

$$\frac{|AD|}{|AP|} = \frac{|AC|}{|AM|}.$$

Но $|AP| = |AB|$, $|AM| = 1$, отсюда $|AD| = |AC| \cdot |AB| = f(x) \times g(x)$.

Блок деления. Этот блок получается из блока умножения, если выход $f$ переместить в точку $D$; тогда в точке $C$ получится выход механизма $f/g$.

Блок извлечения корня. Этот блок получается из блока умножения, если точки $B$ и $C$ объединить, а в точку $D$ помещить выход механизма $f$, тогда в точке $C$ получится выход механизма $\sqrt{f(x)}$. Аналогично строится блок $\sqrt[n]{f(x)}$.

Графики управления

С помощью описанных механизмов и блоков можно конструкровать механизмы для построения графиков различных функций типа многочленов, алгебраических дробей и т.п. Можно сделать и механизм для построения графика управления $P(x,y) = 0$, где $P(x,y)$ — неокоторый многочлен. Для этого сначала собирается механизм, избраженный на рисунке 4. Точки $X$ и $Y$ рассматриваются как выходы для «функций» $y = x$, $y = y$. Затем собирается механизм $P(x,y)$, входы которого — $X$ и $Y$, а выход помещается в точку $C$ (то есть нахождение такое положение точки $Y$, что выход оказывается в точке $C$). После этого точка $Y$ может перемещаться только так, что для ее координат $x$, $y$ будет справедливо равенство $P(x,y) = 0$. Если встать в точку $Y$ карандаш, то он может двигаться только по графику управления $P(x,y) = 0$.