Ответ в тригонометрическом уравнении

53

Ответ
в тригонометрическом уравнении

Запись ответа тригонометрического уравнения передко связана с понятыми объедининиями и пересечениями множества. Объчно при решении таких уравнений получается серий корней, и в окончательном виде ответ записьается в виде объедининия этих серий. Но как быт, если эти серии пересекаются? Надо ли исключать повторяющиеся решения или это можно не делать?
С понятным пересечениями множества связан и еще один, видимо, самый важный вопрос: в ответе не должно быть значений переменной, при которых выражения в левой или правой части уравнения не определены. Такие значения, если они появились в процессе решения, надо исключаить. А для этого надо уметь находить пересечение различных серий.

Этим вопросам и посвящена настоящая статья.

Один пример
Рассмотрим решение следующей задачи.

Пример 1. Решить уравнение
$$\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin 2x} = \frac{1}{\sin 4x}.$$ (1)

Допустимые значения переменной определения условий: sin x ≠ 0, sin 2x ≠ 0, sin 4x ≠ 0. Это дает нам x ≠ πk, x ≠ πm/2, x ≠ πn/4 (k, m, n∈Z). Легко заметить, что эти три условия можно заменить одним: x ≠ πn/4 (n∈Z). Заметить это можно как из рассмотренного тригонометрического круга (серия x = πn/4 содержит в себе серия x = πk и x = πm/2), так и чисто алгебраически: при четных n из серия x = πn/4 получается серия x = πm/2, а при n, кратных четырём, получается серия x = πk. Можно и исключать такие k. После нее уравнение
$$\sin 2x \sin 4x - \sin x \sin 4x = \sin x \sin 2x,$$
равноскальное исходному на области допустимых значений переменной. Преобразуя это уравнение, получим:
$$\sin 2x \sin 4x = \sin x (\sin 2x + \sin 4x),$$
$$\sin 2x \sin 4x = 2 \sin x \sin 3x \cos x,$$
$$\sin 2x \sin 4x = \sin 2x \sin 3x,$$
$$\sin 2x (\sin 4x - \sin 3x) = 0,$$
$$\sin 2x \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{7x}{2} = 0.$$

Остается рассмотреть три случая:
$$\sin 2x = 0, \sin \frac{x}{2} = 0, \cos \frac{7x}{2} = 0.$$

Уравнение sin 2x = 0 не дает нам корней исходного уравнения, так как в рассматриваемой области должно быть sin 2x ≠ 0.

Уравнение sin $\frac{x}{2} = 0$ и cos $\frac{7x}{2} = 0$ дают нам соответствие серии $x_1 = 2\pi k$ и $x_2 = \frac{\pi}{7} (2k + 1) (k \in Z)$.

Остается проверить, лежат ли они в области $x \in \mathbb{R}$, x ≠ πn/4, n∈Z. Серий $x_1$ проверить легко: поскольку $x \neq \pi n/4$, а при n, кратных восмини n = 8l, получается как раз x ≠ 2πl, все серия $x_1$ исключается. Сложнее обстоит дело с серий $x_2$. Здесь нам надо выяснить, при каких целых k найдется такое n, что выполняется уравнением
$$\frac{\pi (2k + 1)}{7} = \frac{\pi n}{4},$$
и исключать такие k. После нее урав-

54

нечне приводится к виду
$$8k + 4 = 7n,$$
причем решать это уравнение надо в целях числа.

Линейные диффантовые уравнения с двумя переменными
Линейные диффантовые уравнения с двумя переменными называется уравнение вида
$$ax + by = c,$$
(2)
где $a$ и $b$ — целые числа, отличные от нуля, $c$ — произвольное целое число, причем требуется найти только целочисленные решения.
Можно считать, что числа $a, b$ и $c$ в уравнения (2) взаимно просты (мы всегда можем сократить обе части уравнения (2) на НОД $(a, b, c) \neq 1$).
Но при взаимно простых числа поарно взаимно простыми могут и не быть (пример: 6, 10, 15). Очевидно, что если числа $a$ и $b$ в уравнения (2) не взаимно просты, то целочисленные решения это уравнение не имеет. В самом деле, положив $a = ka_1$, $b = kb_1$, получим $(a_1x + b_1y) = c$, открывающий $(a_1x + b_1y = c/k)$, и если $x$ и $y$ — целые, то и $c/k$ — целое число, а это невозможно, поскольку $c$ не делится на $k$ (мы предположили, что $a, b$ и $c$ — взаимно простые числа).

Если же $a$ и $b$ в уравнения (2) — взаимно простые числа, то уравнение имеет целочисленные решения. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта, а показем лишь, как найти все решения, если известно хотя бы одно из них (его надо искать подбором).

Пусть $(x_0, y_0)$ — какое-то целочисленное решение уравнения (2):
$$ax_0 + by_0 = c.$$
Вычитем почленно это равенство из уравнения (2); получим
$$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0,$$
откуда
$$x = x_0 - \frac{b(y - y_0)}{a}.$$

Чтобы $x$, определяемое формулой (3), было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы число $\frac{b(y - y_0)}{a}$ также было целым. Но, по предположению, $a$ и $b$ взаимно просты, следовательно, целым должно быть число $\frac{y - y_0}{a}$. Обозначив отношение $\frac{y - y_0}{a}$ буквой $t$, получим:
$$x = x_0 - bt,$$
$$y = y_0 + at,$$
где $t \in \mathbb{Z}$.

Продолжение примера
Итак, нам надо решить в целях числа уравнения
$$7n - 4 = 8k.$$
Сразу видно, что $n$ должно делиться на четые; полагая $n = 4$, находим $7 \cdot 4 - 4 = 24 = 8k$, открывающий $k = 3$. Нам удалось довольно быстро найти одно решение уравнения: $k = 3$, $n = 4$. Общее решение тогда записьется в виде $k = 3 + 7t$, $n = 4 + 8t$ ($t \in \mathbb{Z}$).

Отсюда следует, что в серии $x_2$ (см. с. 53) надо исключить все $k$ вида $3 + 7t$, то есть ответ к примеру 1 можно записать в виде
$$x = \frac{\pi}{7}(2k + 1), k \neq 7t + 3, t \in \mathbb{Z}$$
или
$$\left\{\frac{\pi}{7}(2k + 1)\right| k \neq 7t + 3; k, t \in \mathbb{Z}\}.$$

Уравнение $8k + 4 = 7n$ можно решать и без использования общей теории. Из него следует, что $n = 4l$ (поскольку левая часть уравнения делится на четые). Подставляя $n = 4l$ в уравнение, получаем: $8k + 4 = 28l$, открывающий $2k + 1 = 7l$. Далее $l$ должно быть нечетно, $l = 2t + 1$; поэтому $2k + 1 = 14t + 7$, $k = 7t + 3$. Вот решение и получилось: $k = 7t + 3$, $n = 4l = 4(2t + 1) = 8t + 4$.

Запись ответа
Теперь рассмотрим еще одну задачу.
Пример 2. Решить уравнение
$$\sin^2 2x + \sin^2 3x + \sin^2 4x + \sin^2 5x = 2.$$
Пользоваться известными точек данных, получаем:
$$\frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 - \cos 6x}{2} + \frac{1 - \cos 10x}{2} = 2,$$
со $4x + \cos 6x + \cos 8x + \cos 10x = 0,$
$2 \cos 5x \cos x + 2 \cos 9x \cos x = 0,$

55

cos x (cos 5x + cos 9x) = 0,
cos x cos 2x cos 7x = 0.

Рассматривая три случая, получаем три серии корней ($k, l, m \in \mathbb{Z}$):

1. cos x = 0, $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k$;
2. cos 2x = 0, $x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi l}{2}$;
3. cos 7x = 0, $x_3 = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi m}{7}$.

Как записать ответ? Надо ли перечислять все три серии? Посмотрим, пересекаются эти серии или нет. Здесь можно действовать разными способами.

Способ геометрическойки. «Перiod» серий равен π. Расмотрим те корни из серий $x_1, x_2, x_3$, которые попадают в промежуток [0; π]. Это будет

$$x_1 : \pi/2;$$
$$x_2 : \pi/4, 3\pi/4;$$
$$x_3 : \pi/14, 3\pi/14; 5\pi/14, \pi/2, 9\pi/14, 11\pi/14, 13\pi/14.$$

Сразу видно, что серия $x_1$ содержится в серии $x_3$, а серия $x_2$ и $x_3$ не пересекаются. Значит, ответ можно записать в виде

$$\left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}.$$

Способ алгебраическойки. Общим знаменательем в сериях $x_1$ и $x_2$ будет 4:

$$x_1 = \frac{\pi(2+4k)}{4}, \quad x_2 = \frac{\pi(1+2l)}{4}.$$

Если $x_1 = x_2$, то $2+4k = 1 + 2l$, но следует четное число, а справа — нечетное. Равенство неозможно, серия $x_1$ и $x_2$ не пересекаются. Аналогично получаем, что серия $x_2$ и $x_3$ тоже не пересекаются. А вот для серий $x_1$ и $x_3$ получаются формулы

$$x_1 = \frac{\pi(7+14k)}{14}, \quad x_3 = \frac{\pi(1+2m)}{14}.$$

Из равенства 7 + 14k = 1 + 2m получаем $m = 7k + 3$. Это означает, что для всякого $k$ найдется целое $m$ такое, что будет выполнться равенство 7 + 14k = 1 + 2m, то есть всякий корень из серия $x_1$ встретился в серии $x_3$, поэтому серия $x_1$ содержится в серии $x_3$, и в ответе пincать ее не надо.

Пример 3. Решить уравнение $\cos 7x (\sin 5x - 1) = 0$.

Сразу получаем два случая ($k, n \in \mathbb{Z}$):

1. cos 7x = 0, $x_1 = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7}$;
2. sin 5x = 1, $x_2 = \frac{\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5}$.

Пересекаются ли эти серии? Посоветва

$$\frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7} = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

следует $5k = 14n + 1$. Это уравнение имеет решения. Однако из них находится подбором: $k = 3, n = 1$, а общее тогда имеет вид $k = 3 + 14t, n = 1 + 5t$.

Ответ можно записать в виде

$$\left\{ \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}; \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \mid k \neq 3 + 14t; \right.$$
$$k, n, t \in \mathbb{Z}$$

или в виде

$$\left\{ \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}; \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \mid n \neq 1 + 5t; \right.$$
$$k, n, t \in \mathbb{Z}$$.

Заметание. Иного объедининие серий выглядают довольно сложнее смисли серий. В таких случаях бывают полезно разбить эти серии на «куски». Например, объедининие серий $x_1 = \frac{\pi k}{2}$ и $x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$ можно записать в виде

$$\left\{ \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{5\pi}{6} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \right\}.$$

Системы

При решении некоторых трионометрических уравнений их заменяют системой уравнения,