Олимпиады МФТИ

56

Олимпиды МФТИ

Различные математические конкурсы в истории математики известны с давних пор. История донецла до нас сведения о математических конкуррах, проводных еще в XIII века.

История школьных физико-mатематических олимпид начиная с 1894 года, когда в Венгрии была проведена первая математическая олимпида школьников была проведена в Ленинграде весной 1934 года. Инициаторами проведения этой олимпиды были член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне (председатель оргкомитета олимпиды) и профессор В. А. Тартаковский.

По инциативе Московского математического общества осенью 1935 года была проведена первая Московская математическая олимпида школьников. Московские математики встретили ее с большим воодушением. В оргкомитет вошли крупнейшие математики-московчи.

Вплоть до Великой Отечественной войны математические олимпиды в Москве проводились ежедневно и очень скоро завоевали всеобщие признание. Во время войны Москвы математики проводились олимпиды в Ашхабаде и Казани. После Отечественной войны проведение математических олимпидад стало традицией во многих городах Советского Союза.

Вслед за математиками свои олимпиды стали проводить физики, химики, астрономы, географы, биологии, а затем и лингвистиы.

Первые олимпиды по физике были проведены Московским университетом еще в 1938 году. С тех пор эти олимпиды стали традицией для Москвы школьников.

В дальнейшем такие олимпиды начали проводить Московский физико-технический институт (МФТИ) и другие.byзы Москвы. Почин Москвычный подхватили в других городах страны.

В febrero 1962 года состоялась первая «большая» физико-mатематическая олимпида школьников, проводная по инциативе МФТИ. В ней приняли участие свыше 6500 школьников из 58 городов Советского Союза. Она проводилась в один тур во время зимних каникул.

Интересна форма проведения олимпиды. Студенты и аспиранты института проводили ее во время зимы

*) А. П. Савин и др. «Физико-mатематические олимпиды». М., «Знание», 1977.

а затем находит пересечение множества решений. Часто эти пересечения находится легко. Но иногда для нахождения решений необходимо решать диффантов уравнения.

Пример 4. Решить уравнение
$$\cos 2x + \cos \frac{3x}{4} = 2.$$ (4)

Поскольку наиболее значение функции $y = \cos t$ равно 1, уравнение (4) равносильно системе
$$\begin{cases} \cos 2x = 1, \\ \cos \frac{3x}{4} = 1, \\ x_1 = \pi k, \\ x_2 = \frac{8\pi n}{3} \end{cases}$$

(к, $n \in \mathbb{Z}$). Решением уравнения (4) является пересечение серий $x_1$ и $x_2$, то есть нам надо решить уравнение

57

составной частью Всегоозных олимпид, а задачи, представленные в книге, отличаются высоким научным уровнем и хорошо продуманы с методической точки зрения.

Книга начинается с рассказа об истории олимпид. Авторы книги неосредственно принимали участие в проведении «больших» олимпидад, и им есть что рассказать читателям. Эта глава, написанная живо и эмпиронально, является хорошей затравкой к книге.

Вторая и третья главы содержат формулировки задач, соответствующего по математике и физике, предлагавшихся на олимпидадх МФТИ. Собранные задачи являются лишь частью того множество задач, которые за 15 лет предлагались на олимпидадх.

Следует подчернуть, что большинство задач совершенено не стандартными и в целом довольно трудны.

Многие задачи формулированы очень затейливо и пожалуйста черезцур искусственно: в формулировках участуют не только разные звери, насекомые и рыбы, но даже — …приведения. Но замысловатор формулировкой скрывается очень содержательные и трудные математические задачи. Так одна очень небольшая задача связывана с Али-бабой и… селедками. Сама по себе она очень сложна — требуется придумать стратегию, следуя которой, можно привести все селедки в одинаковое положение зафиксированное число ходов (задачу 98).

Последелить междунарной олимпидады 1975 года Боря Юсин (телер он студент МГУ) вместе с младшим братом довольно долго пытались обобщить эту задачу, когда «селедок» $n$, а смотреть и менять разрешается только $k$ из них. В конце концов они придумали даже два различных решения. Вот как Б. Юсин формулировал задачу в общем виде:

Петя и Вася играют в следующую игру. У них есть пластина в форме правильного $n$-угольника, в углах которой расположены $n$ выключателей, закрытых колпачками. Петя хочет, чтобы все выключатели были одновременно либо включены, либо выключены. Для этого он может открыть любые $k$ колпачков и поставить каждый из этих $k$ выключателей в любое положение по своему выбору, после чего он должен ответнуть, а Вася тем временем закрывает колпачки и может повернуть пластину на любой угол. Затем Петя снова может сделать то же самое и т. д. Начальное положение Пете неизвестно. Если он добавляется своего, Вася сообщает ему это, как только он ответивается. При каких $k$ и $n$ у Пети есть выигрышная стратегия?

Попробуйте и вы решить эту задачу. Ответ оказывается таким:

$$\pi k = \frac{8\pi n}{3}.$$ Из него получаем уравнение $3k = 8n$, имеющее решение $k = 8t, n = 3t$. Значит, ответ в задаче выглядит так:

$$\{8\pi t \mid t \in \mathbb{Z}\}.$$

Уражения

Решить следующие уравнения.

1. $$\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\cos x \cos 2x} = \frac{1}{\sin x} -$$

$$-\frac{1}{\cos 2x \cos 3x}.$$

2. $$\cos x \left(tg x + tg 3x\right) = 4 \sin 3x \sin 4x.$$

3. $$\cos 3x \tg 5x = \sin 7x.$$

4. $$\tg x - \text{ctg} 3x + \text{ctg} 4x = 0.$$

5. $$\cos^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{3x}{2} - \sin^2 2x - \sin^2 4x = 0.$$

6. $$1 + \sin x - \cos 5x - \sin 7x = 2 \cos^2 \frac{3}{2} x.$$

7. $$2 \cos^2 3x + \sin 5x = 1.$$

8. $$\sin x \sin 3x + \sin 6x \sin 10x = 0.$$

9. $$\cos 3x + \cos \frac{5x}{2} = 2.$$

58

час может прийти только после соответствующего практики, и этому надо учит и школьников, и студентов как можно раньше.

Вчетвертой и пятой главах приведятся решения задач, собраны в главах 2 и 3. Решение написаны достаточно подробно. Пониманию, а часть и краткости решения, очень способствует рисуни, сопровождающей формулировки и решения задачи.

Некоторые неудовлетворение остается от полиграфического оформления книги. К сожалению, значительная часть рисуни, относящихся к отдельным задачам, приводится не на тех страницах, где напечатаны сами задачи. Это затрудняет чтение книги. Досадно, что отсутствует единобразие и в наборе формул (например, по-разному набранные выражения).

В последней главе — шестой — приведятся задачи, также предлагавшиеся на олимпидах, но уже без решений. Включение такой главы в книгу чрезвычайно полезно и полезно потому, что она дает очень богатый дополнительный материал для самостоятельной работы школьник, материй для учительей и руководителей физико-mатематических кругжов, для студентов и организаторов олимпидад, который можно использовать для различных видов вnekлассной работы по физике и математике.

Эта книга, расчитанная на школьников старших классов и учительей, безусловно сыграет важную роль в пропаганде физико-mатематических знаний.

В заключение мы хотели бы привести несколько задач из этой книги:

Математика

1. Дан угол на плоскости. Найти множество окружностей, описанных вокруг круггрузов обедененных треугольников, у которых вершины при основании лежат на противоположных сторонах этого угла, а третья вершина — в данной точке А на его биссекtrice.

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABC, ABD, ACD и BCD подобен данному.

3. В основании четырехугольной прямоды — ромб с углом 60° при вершине A. Боковое ребро, выходящие из вершины A, равно стороны ромба. Доказать, что из остальных боковых ребров можно составить прямой треугольник.

4. На шахматной доске 8×8 клеток ставятся две фишки. Два игрока почередно делают ходы каждой своей фишки. Фишка первого игрока может при каждой sede передвигаться лишь на одну клетку по вертикали или горизонтали. Фишка второго — на одну клетку по вертикали или горизонтали лишь на одну клетку — по диагонали. Выигравает тот, кто поставит свою фикуку на фикуку партера. Кто выигравает при правильной игре?

5. n игроков играют в следующую игру: имеется (2n + 1) шашек, из них 2k черных, остальные белые. Играющие садятся вокруг стола и каждой из них получают по две шашки. По жеребюю один из игроков берет оставшуюся шашку. Если у него при этом три шашки оказываются одного цвета, то он выиграл, и игра прекращается, если нет, то он оставляет себе шашки одинакового цвета, а третью отдает соседу. Если у того окажутся три шашки одинакового цвета, то он выиграл, если нет, то он делает то же, что и первый, и т. д.

Доказать, что при k, не равном n, игра окончится за конечное число передач шашек (ходов). Найти максимальное число ходов в этой игре.

Физика

6. Человек идет по шалам железной дороги. Максимальная длина его шага 0,8 м. Шпалы уложены так, что на любом стометровом участкеровно 200 шал. Расстояние между шалами не меньше 0,3 м и не больше 0,6 м и может меняться в этих пределах от шалых к шале. При каждой укладке шалов на 1 км пути, а при каждой минимальное?

7. Два автономы имеют одинаковую мощность. Максимальная скорость перого v₁ km/ч, второго v₂ km/ч. Какую максимальную скорость смогут развить автоматили, если один возьмет на буксир другого?

8. Оцените минимальную допустимую продуктивность суток для плачеты с массой M и радиусом R.

9. При неправильной регуляровке двигателя внутреннего сгорания иногда вместо сравнительного медленного сгорания горючего смеси происходит так называемая «детонация», когда смесь сгорает быстро со взрывом. Почему при этом падает к.п.д. движения?

10. В кабине космического корабля имеет высокоэстоятельная пещера в условиях несовомости. Хорошо проводящий теплопалчий шар нагревается в печи токами высокой частоты и начинает плавать. Разработайте методку экспериментального определения времени полного расплавления шара. Для простоты считайте, что теллообмен шара с окружающей средой пропорционален разности их температур. Космонавт-исследователь имеет возможность наблюдать за плавленем визуально, может изменять подводимую к шару мощность и пользоваться необходимыми ему приборами и справочниками.

11. Оцените, какими должны быть размеры металлических пылинок в Солнечной системе, чтобы солнечное световое давление сообщило бы им скорость, направленную от Солнца? Светимость Солнца L = 4.10³³ эрг/с, его масса M = 2.10³³ г, гравиатционная постоянная γ = 6,67.10⁻⁸ дин.см²/г².

M. Смолянский, A. Смасенко