Три точки на одной прямой

14

В этой статье мы рассмотрим несколько задач, для решения которых оказывается полезным использовать векторов. В основном, это задачи, в которых требуется доказать, что некоторые три точки лежат на одной прямой, или из того, что некоторые три точки лежат на одной прямой, вывести те или иные следствия. Главной для решения таких задач является хорошо известная теорема. Точка C в том и том в том случае принадлежит прямой AB, когда векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ коллинеарны (т. е. существует такое число $k \in R$, что $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$).

Таким образом, чтобы установить принадлежность трех точки A, B и C одной прямой, достаточно убедиться, что существует число $k$, для которого $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$. Число $k$ в соответствии $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ имеет (при $A \neq B$) простой геометрический смысл: $|k| = \frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$, причем $k > 0$, если точка C принадлежит лучу AB, и $k < 0$, если она принадлежит противоположному лучу.

Если, например, C — середина отрезка AB (рис. 1), то $\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$; отсюда для любой точки Q

$$\overrightarrow{QC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{QA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{QB}.$$

Если, далее, $B$ — середина стороны MN треугольника AMN, а $C$ — центр тяжестни (точка пересечения медиан) этого треугольника, то длина отрезка AC составляет $\frac{2}{3}$ длины отрезка AB (рис. 2): $\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$; поскольку для любой точки Q выполняется равенство $\overrightarrow{QB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{QM} + \frac{1}{2}\overrightarrow{QN}$, можно заключить, что

$$\overrightarrow{QC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{QA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{QM} + \frac{1}{3}\overrightarrow{QN}.$$

Наконец, еще одно замечание: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то из соответствия

$$\vec{ka} + \vec{lb} = \vec{ma} + \vec{nb}$$

вытекем, что $k = m$ и $l = n$. В самом деле, это равенство можно переписать в виде

$$(k - m)\vec{a} = (n - l)\vec{b};$$

если теперь $k \neq m$, то $\vec{a} = \frac{n - l}{k - m}\vec{b}$, что противоречит неcolлинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Таким образом, $k = m$ и, аналогично, $l = n$.

Вот и все «теоретическая» примерность. А теперь рассмотрим подобно четыре примера.

Пример 1. Хорошо известно, что середины оснований трапеции и точка пересечения ее диагоналей расположены на одной прямой. Доказем теперь в некоторых случаях «обратную» теорему: если точка A пересечения диагоналейчем們у

15

Рис. 2.

ника MNPQ и середины B, С его про-
тивоположных сторон MN и PQ лежат на одной прямой, то MNPQ — трапеция или параллелограмм (рис. 3).

Доказательство. Положим $\vec{a} = \vec{AM}$, $\vec{b} = \vec{AN}$. Тогда $\vec{AP} = k\vec{a}$ (так как точки A, M, P лежат на одной прямой) и, точно так же, $\vec{AQ} = l\vec{b}$. Так как B — середина отрезка MN,

$$\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AM} + \frac{1}{2}\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}.$$

Точно так же

$$\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AP} + \frac{1}{2}\vec{AQ} = \frac{k}{2}\vec{a} + \frac{l}{2}\vec{b}.$$

По условию точки A, B, C лежат на одной прямой, и потому существует такое число m, что $\vec{AC} = m\vec{AB}$, то есть

$$m\left(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{k}{2}\vec{a} + \frac{l}{2}\vec{b}.$$

В силу неоколинености векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отсюда вытекает, что $m = k = l$.

Наконец, имеем

$$\vec{MN} = \vec{b} - \vec{a}, \vec{PQ} = l\vec{b} - k\vec{a} = k(\vec{b} - \vec{a}),$$

то есть $\vec{PQ} = k\vec{MN}$. Следовательно, $(PQ) \parallel (MN)$, то есть $MNPQ$ — трапеция или параллелограмм.

Заметания. На рисунке 3 точки A, M, N, P, Q расположены так, что числа k и l отрицательны. Однако в решении этого нитле не использовалось. Поэтому приведенное рассуждение пригодно без всяких изменений и к случайю, когда числа k, l положительны. Этот случай изобранен на рисунке 4. Таким образом, мы «задаром» получили доказательство и такой теоремы: если точка A, в котором пересекаются продолжения сторон NQ и MP чемырхолника MNQP, и середины B, C сторон MN и PQ расположены на одной прямой, то чемырхолник MNQP — трапеция. Представляем читатель убедиться также, что приведенные рассуждения проходят (почти без изменений) в обратном порядке. Это дает векторное доказательство соответствующих «прямых» теореms: во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диаzoналей лежат на одной прямой; во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой (инными словами, все четые указывающие точки расположены на одной прямой).

Пример 2. На стороне ON параллелограмма AMNO и на его ди-

16

Рис. 4.

аеонали ОМ взямы также точки В и С, что $\overrightarrow{OB} = \frac{1}{n} \overrightarrow{ON}$ и $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{n+1} \overrightarrow{OM}$ (рис. 5). Доказать, что точки A, B, C лежат на одной прямой.

Решение. Положим $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{ON} = \vec{b}$. Тогда

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO} + \frac{1}{n+1} \overrightarrow{OM};$$

$$\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{OB} = \vec{a} - \frac{1}{n} \vec{b};$$

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{AO} = \vec{b} - \left( \vec{a} - \frac{1}{n} \vec{b} \right) = \frac{n+1}{n} \vec{b} - \vec{a},$$

то есть

$$\overrightarrow{AC} = \left( \vec{a} - \frac{1}{n} \vec{b} \right) + \frac{1}{n+1} \left( \frac{n+1}{n} \vec{b} - \vec{a} \right) = \frac{n}{n+1} \vec{a},$$

или $\overrightarrow{AC} = \frac{n}{n+1} \overrightarrow{AB}$. Из этого следует, что точки A, B, C лежат на одной прямой.

Замечания. В решении нигде не использовалось, что число $n$ — натуральное. Приведенное рассужdenе показывает, что здесь $n$ может быть любым действительным числом, отличным от 0 и —1 (в значенателей дробей имеются выражения $n$ и $n+1$).

На рисунке 5 изображен случай $n = 4$ (точка B отсекает четверть стороны ON, а точка C — пятую часть диагонали OM). Если же положить $n = -m-1$, то будем иметь $\frac{1}{n} = -\frac{1}{m+1}, \frac{1}{n+1} = -\frac{1}{m}$, т. е.

$$\overrightarrow{OB} = -\frac{1}{m+1} \overrightarrow{ON}, \overrightarrow{OC} = -\frac{1}{m} \overrightarrow{OM}.$$

На рисунке 6 изображен случай, когда $m = 3$ (на продолжении стороны ON от точки O отклонена четверть стороны, а на продолжении диагонали — третье четверольник MNP). На прямых MN, NP, PM взямы точки A, B и C:

$$\overrightarrow{MA} = \alpha \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{NB} = \beta \overrightarrow{BP},$$

$$\overrightarrow{PC} = \gamma \overrightarrow{CM}.$$

Доказать, что если $\alpha \beta \gamma = -1$, то точки A, B, C лежат на одной прямой (теорема Менелая).

Доказательство. Положим $\overrightarrow{AN} = \vec{a}, \overrightarrow{BP} = \vec{b}, \overrightarrow{CM} = \vec{c}$.

Тогда

$$\overrightarrow{MA} = \alpha \vec{a}, \overrightarrow{NB} = \beta \vec{b}, \overrightarrow{PC} = \gamma \vec{c}.$$

Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ легко выразить

18

Рис. 8.

Так как $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$, получаем
$$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = x(\beta \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) - y(\alpha \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}),$$
то есть
$$(x + \alpha y - 1)\overrightarrow{a} - (y + \beta x - 1)\overrightarrow{b} = 0.$$

Ввиду неоколlinearности векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$, коэффициенты в левой части последнего равенства должны быть равны нулю, то есть
$$\begin{cases} x + \alpha y = 1, \\ \beta x + y = 1. \end{cases}$$

Решая эту систему уравнения, находим ответ:
$$x = \frac{1 - \alpha}{1 - \alpha\beta}, \quad y = \frac{1 - \beta}{1 - \alpha\beta}.$$

Задание и

1. Точки $A, B, C, M$ и $N$, не лежащие на одной прямой, расположены так, что лучи $AM$ и $BN$ параллельны и противоположно направлены; $|AC| = p, |BC| = q, |AB| = p + q$. При каком соответствии между длинами отрезков $AM$ и $BN$ точки $M, N$ и $C$ расположены на одной прямой?

2. Прямы $a$ и $b$ параллельны. На прямой $a$ взяты произвольные точки $A_1, A_2, A_3$, на прямой $b$ — произвольные точки $B_1, B_2, B_3$. На отрезках $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ взяты также точки $C_1, C_2, C_3$, что $|A_1C_1| = \alpha |A_1B_1|, |A_2C_2| = \alpha |A_2B_2|, |A_3C_3| = \alpha |A_3B_3|$. Доказите, что точки $C_1, C_2, C_3$ расположены на одной прямой.

3. Точки $M, N, P$ симметрины точки $O$ относительно сторона треугольника $ABC$. Доказите, что точки $O$ и центры треугольников $ABC$ и $MNP$ лежат на одной прямой.

4. Точки $A, B, C$ — центры треугольников $OMN, ONP, OMP$. Доказите, что центры треугольников $BCD, ACD, ABD, ABC$. Доказите, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ пересекаются в одной точке $M$, причем точка $M$ отсекает от каждой из этих отрезков четвертый. Следайте чертежами для плоского и пространственного слуаев.

19

10. Рис. 10.

11. Докажите, что если точка пересечения средних линей чет孵уговольника ABCD принадлежит диагонали AC, то диагональ BD делится диагональ AC пополам. Справедлива ли обратная теорема?

12. Дан треугольник MNP. На прямых MN, NP, PM взяты также точки A, B, C, что $\overrightarrow{MA} = \alpha \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{NB} = \beta \overrightarrow{BP}, \overrightarrow{PC} = \gamma \overrightarrow{CM}$. Докажите, что если $\alpha \beta \gamma = 1$, то прямые MB, NC и PA пересекаются в одной точке (теорема Чевы).

13. Отрезки $A_1A_4$ и $D_1D_4$ (произвольно расположенные в пространстве) разделены на три конгрузные части каждой точки $A_2$, $A_3$ и соответственно, $D_2$, $D_3$ (рис. 10). Точки $B_i$ и $C_i$ делят отрезок $A_iD_i$ на три конгрузные части ($i = 1, 2, 3, 4$). Докажите, что точки $B_1, B_2, B_3, B_4$ лежат на одной прямой и точки $C_1, C_2, C_3, C_4$ лежат на одной прямой.

14. На отрезках $A_1C_1$ и $A_2C_2$ (произвольно расположенных в пространстве) взяты такие точки $B_1$ и $B_2$, что $|A_1B_1| = \alpha |A_1C_1|$, $|A_2B_2| = \alpha |A_2C_2|$. На отрезках $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ взяты такие точки $M, N, P$ (рис. 11), что $|A_1M| = \beta |A_1A_2|$, $|B_1N| = \beta |B_1B_2|$, $|C_1P| = \beta |C_1C_2|$. Докажите, что точки $M, N, P$ лежат на одной прямой.

15. Две материальные точки движутся равномерно (с ненулевыми скоростями) по двум прямым $a$ и $b$. Прямая, соединяющая движущие точки, все время проходит через неподвижную точку $O$. Доказите, что $a \parallel b$.

16. Две материальные точки движутся в пространстве прямолинейно и равномерно со скоростями $v_1$ и $v_2$. Положения движущихся точки в момент времени $t$ обозначаем через $A_t$ и $B_t$, а через $C_t$ обозначаем также точку отрезка $A_tB_t$, что $|A_tC_t| : |A_tB_t| = \alpha (0 < \alpha < 1)$. Докажите, что точка $C_t$ также движется равномерно и прямолинейно. С какой скорость?

17. Самолет, несущий яркий точчный источник света, движется над плоской поверхности равномерно и прямолинейно со скоростью $v_1$, а второй самолет — равномерно и прямолинейно со скоростью $v_2$. В некоторых моментах самолет, второй самолет и тень второго самолета находится, соответственно, в точках $A, B, C$ (рис. 12), причем $|BC| = \alpha |AC| (0 < \alpha < 1)$. При каком соответствии между скоростями самолетов тень второго самолета тоже движется равномерно и прямолинейно?

18. Три материальные точки движутся в пространстве равномерно и прямолинейно, каждая — со своей скоростью. Положения движущихся точки в момент времени $t$ обозначаем $A_t, B_t, C_t$. Докажите, что центр тяжести треугольника $A_tB_tC_t$ также движется равномерно и прямолинейно.