Олимпиада по математике

65

ХII Всесоюзная олимпиада
ШКОЛЬНИКОВ

Н. Розов, М. Смолянский

Олимпиада
по математике

С 13 по 18 апреля в Ташкенте состоялся заключительный тур XII Всесоюзной олимпиады школьников по математике. В нем приняло участие 153 школьника: победители ресурсивикских олимпиад и ребята, получившие дипломы I и II степени на заключительном.type XI Всесоюзной олимпиады. В заключительном.type принимала также участке команда учащихся ПТУ (3 человека) — победители олимпиады профессionalно-технических училищ Ленинграда — и команда хозяйв олимпиады — школьники Ташкента (3 человека).

Всего в заключительном.type совершенствовались 38 восbmиклассников, 63 девятиклассика и 52 десятикласника.

Торжественное открытие заключительного.type пронсходило 13 апреля в актовом зале Президума Академии наук Узбекиской ССР. Председатель оргомитета заместитель минстра просвещения Узбекиской ССР. В. В. Барыльников поздравил участников заключительного.type олимпиады с началом совершенствования. С напутственным словом выступили председатель жюри олимпиады академик А. Н. Колмогоров, заместитель председателя жюри в

це-президент АН УзССР, председатель Верховного Совета УзССР академик С. Х. Сираждинов, секретарь ЦК ЛКСМ Узбекистана Ш. Н. Махмудова и другие товарищи.

Участики олимпиады возложили цветы к памятнику В. И. Ленина и могиле Нензвестного солдата. Юные математики приняли участие в традиционном коммунистическом субботнике.

Заключительный этап олимпиады проводился в два типа, которые состоялись 14 и 15 апреля.

Ниже мы приводим условия задач по математике, предлагавшихся на XII Всесоюзной олимпиаде.

Задания

1. Обозначим через $a_n$ целое число, близкой к $\sqrt{n}$. Найдите сумму

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_{1980}}.$$

2. Внутри четырехугольника $ABCD$ отчечена точка $M$ такая, что $ABMD$ — параллелограмм. Докажите, что если $CBM = CDM$, то $ACD = BCM$.

3. Докажите, что ни при каком натуральном $m$ число $1978^m$ — 1 не делится на $1000^m$ — 1.

4. На плоскости задано конечное множество точки $K_0$. К нему добавляются все точки, которые можно получить симметриным отражением одной точки этого множества относительно другой. Полученное множество обозначает через $K_1$. Аналогично, из множества $K_1$ получается $K_2$, из $K_2$ — $K_3$ и т. д.

a) Пусть множество $K_0$ состоит из двух точки $A$ и $B$ на расстоянии 1. При каком наименьшем $n$ в множестве $K_n$

66

найдется точка, находящаяся на расстоянии 1000 от точки $A$?

6. Пусть $K_0$ состоит из трех вершин правильного треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множества $K_n$ (для каждой $n = 1, 2, \dots$).

9 класс

1. См. задачу №1 для 8-го класса.
2. См. задачу №2 для 8-го класса.
3. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке $m$ спичек, в другой $n$ спичек, $m > n$. Двое игроков по очереди берут из кучки спички. За один игрок берет из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке. Выигрывает игрок, взявший последнюю спику в одной из кучек.

a) Докажите, что если $m > 2n$, то игрок, делаюший первойход, может обеспечить себе выигрыш.

6. При каких α верно следует утверждение: если $m > \alpha n$, то игрок, делаюший первойход, может обеспечить себе выигрыш?

4. Докажите, что существует бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$ такая, что для любых различных $m$ и $k$ выполнен неравенство

$$|x_m - x_k| \geq \frac{1}{|m - k|}.$$

10 класс

1. Пусть $f(x) = x^3 - x + 1$. Докажите, что для любого натурального $m > 1$ числа $m, f(m), f(f(m)), f(f(f(m))), \dots$ попарно взаннотировы.

2. Докажите, что существует такое число $A$, что в график функции $y = A \sin x$ можно вписать не менее 1978 попарно неконгрузных квадратов. (Квадрат называется вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)

3. Пусть $K_0$ — множество из четырех точек, являющихся вершинами правильного треугольника единичного объема. К множество $K_0$ добавляется все точки, которые можно получить симметриным отражением одной точки этого множества относительно другой. Полученное множество обозначает через $K_1$. Аналогично из множества $K_1$ получается множества $K_2$, из $K_2 - K_3$ и т. д.

a) Рассмотрим наименьший выпуклый многоугольник, содержащий все точки множества $K_1$. Сколько и каких граней у этого многоугольника?

6. Чему равен объем этого многоугольника?

b) Найдите объем наименьшего выпуклого многоугольника, содержащого множества $K_n$ (при каждой $n = 2, 3, \dots$).

4. См. задачу №4 для 9-го класса.

Второй день

8 класс

5. При автомате печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работают следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку $(a; b)$, выдает новую карточку $(a + 1; b + 1)$; второй, прочитав карточку $(a; b)$, выдает карточку $(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ (он работает только, когда $a$ и $b$ четные); третий автомат по двум карточкам $(a; b)$ и $(b; c)$ выдает карточку $(a; c)$.

Пусть первоначально имеется одна карточка с парой чисел (5; 19). Можно ли, используя автоматы в любом порядке, получить карточку a) (1; 50)? 6) (1; 100)?

b) Пусть первоначально имеется одна карточка $(a; b)$, $a < b$, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких $n$ это можно сделать?

6. В окружность радиуса $R$ вписан $n$-угольник площади $S$. На каждой стороне $n$-угольника отмещено по точке. Докажите, что периметр $n$-угольника с вершинами в отмещенных точках не меньше 2$S/R$.

7. Фишка стоит в углу шахматной доски размером $n \times n$ клеток. Каждый из двух играющих по очереди передгается на соседнее поле (имущее общего строения с тем, на котором стоит фишка). Второй разidity на поле, где фишка уже побливала, нельзя. Проигрывает тот, кому неекуда ходить.

a) Докажите, что если $n$ четно, то начинающий игру может добиться выигрыша, а если $n$ нечетно, то выигрывает второй.

6. Кто выиграет, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?

8. На плоскости заданного непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим проверить еще несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков, так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающую ломанную. Всегда ли это можно сделать?

9 класс

5. См. задачу №5 для 8-го класса.

6. См. задачу №6 для 8-го класса.

7. Числа $x_1, x_2, \dots, x_n$ принимают отрезку $[a; b]$, где $0 < a < b$. Докажите неравенство $(x_1 + x_2 + \dots + x_n) \times \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}\right) \leq \frac{(a + b)^2}{4ab} n^2$.

8. Дано простое число $p > 3$. Рассмотрим на координатной плоскости множества $M$, состоящее из таких точек с целыми координатами $(x; y)$, что $0 \leq x < p$, $0 \leq y < p$. Докажите, что можно отметить $p$ различных точек множества $M$ так, чтобы никакие четыре из них не лежали в вершинах параллелограмма и никакие три из них не лежали на одной прямой.

10 класс
5. См. задачу № 5 для 8-го класса.
6. Докажите, что для любого tetraэдра существует такие две плоскости, что отношение площадей проекций tetraэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$.
7. Рассмотрим $n$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Положим
$$b_k = \frac{a_1 + \dots + a_k}{k} \quad (\text{для } k = 1, 2, \dots),$$
$$C = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + \dots + (a_n - b_n)^2,$$
$$D = (a_1 - b_n)^2 + (a_2 - b_n)^2 + \dots + (a_n - b_n)^2.$$
Докажите неравенства $C \leqslant D \leqslant 2C$.
8. Рассмотрим последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждое из них приводится к виду
$$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6},$$
где $q_n, r_n, s_n, t_n$ — целые числа. Найди пределы

$$\lim_{n \to \infty} \frac{r_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{q_n}, \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{q_n}.$$
9. См. задачу № 8 для 9-го класса.

Как участики совершенняся справлись с этим задачими, видно из приведенной таблицы. К сожалению, некоторые задачи оказались довольно трудными. Так, у воспоминания № 2 справлись только два школьника, с задачей № 3 — один школьник и с задачей № 8 — четыре школьника.

Никто из девятиклассников не решил задачи № 4 и только два человека полностью решили задачу № 36.

Среди девятиклассников задачи №№ 3в и 4 полностью решили только-

Воспоминания, нагруженные Дипломами I степени (слева направо): Ю. Ткаченко, А. Балинский, А. Разборов, А. Боричев.

69

тельного этапа XII Всесоюзной олимпиады было присуждено 11 дивломов первого степени (4 дивлома по 8 классам, 4 дивлома по 9 классам и 3 дивлома по 10 классам), 32 дивлома второй степени (11 — по 8 классам, 10 — по 9 классам и 11 — по 10 классам) и 24 дивлома третьей степени (4 — по 8 классам, 9 — по 9 классам, 11 — по 10 классам); кроме того, 80 участников были нагружены пожавальными отзывами.

Имена победителей мы публикуем на с. 82.

Особо отмечая успешное выступление на олимпиаде школьников из города Ангарска, жюри присудило Ангарскому городскому отделу народного образования специальный приз.

Многие участники получили специальные prizes, установленные различными организациями и предприятиями Узбекистана.

Специальным призом журнала «Квант» был нагружен ученик 8 класса Badim Синцов (пос. Комсомольский Тюменской области).

За успехи в олимпиаде годовой подпиской на 1979 год на журнал «Квант» нагружены:

учащиеся 8 классов:

1. Братценко Светлана (Краснодарский край);

2. Лучко Юрий (Гродненская обл.);

3. Файсман Алексадр (Ташкент); учащиеся 9 классов:

4. Абдуаниеев Абдували (Ташкентская обл.);

5. Ирматов Аньар (Наманган);

6. Шербаков Сергей (Ленинград).

В этом году олимпиада была организована очень хорошо. Ребята единили на экскурсии, ходили в театры, участвовали в коммунистическом субботнике. Необходимо отметить больше уработу по организации олимпиады, проведенную работниками организаного образования и математики Узбекистана. За отличное проведение олимпиады редколлегия журнала нагradила годовой подпиской на «Квант» заметили передается журнолывы-президента АН УзССР академика С. Х. Сираждинова, ресурсиканскую школа-интернат юных математиков и физков Ташкента (директор С. А. Атаметов), заметили передается журнолывы-президента А. Б. Воронову:

Подводя итоги олимпиады, хотелось бы остановиться на некоторых вопросах, требующих своего разрешения. Представители профессионально-технических училищ зареко-