Погоня, столкновение, поимка

20

Математический кружок

С. Аццеллов, В. Барышеев

Погоня, столковение, попмка

Ровно в полдень часовая и минутная стрелки часов совпадают. Когда они совпадают в следующий раз? Несмотря на простоту, эта страя задача веса почительна. Решим ее.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — частоты вращения часов и минутной стрелок. Очевидно, $v_1 = \frac{1}{12} \mathrm{q}^{-1}, \quad v_2 = 1 \mathrm{q}^{-1}$.

Если $t$ — момент вращения следующего после полдня совпадения стрелок, то $v_2 t = v_1 t + 1$, либо к моменту $t$ минутная стрелка совершит на один оборот больше часов. Следовательно,

$$t = \frac{1}{v_2 - v_1} \approx 1 \text{ ч } 5 \text{ мин } 27 \text{ с}.$$

Мы видим, что величины $t$ зависит лишь от разности частот $v_2 - v_1$. Это наводит на мысль, что решение можно получить, рассуждая по-другому. За время между двумя последовательными совпадениями минутная стрелка совершает один оборот относительно часов. Поскольку частота вращения минутной стрелки относительно часов равна $v_{21} = v_2 - v_1$, может сразу заключить, что

$$t = \frac{1}{v_{21}} = \frac{1}{v_2 - v_1}.$$

Эта задача относится к задачам следующего типа. В некоторых системе отсчета заданы характеристики движения нескольких тел. Требуется найти, как положения тел меняются друг относительно друга с течение времени. На этом занятии математическое кружка мы познакомимся с нескольких таких задачами. Все они будут решены с помощью одного и того же примера: выбор подходящей системы координат.

1. Автомобили у перекрестка

Автомобили $A$ и $B$ движутся равномерно с одинаковыми скоростями по прямым дорогам 1 и 2, пересекающимся в точке $O$. Нужно определить кратчайшее расстояние между автомобилими, если известны их начальные положения ($|AO| = a, |BO| = b$) и угодл α между дорогами (рис. 1 а).

21

Рассмотрим движение авторомыя $B$ с точки зрения наблюдателя, находящшегося в авторомиле $A$. Как известно, скорость такого движения равна разности $\vec{V}_B - \vec{V}_A$ и постоянна по величины и направлению *). Это значит, что авторомыя $B$ движется относительно авторомыя $A$ по некоторой прямой 3. (На рисунке 1 б прямая 3 изображена пунктиром; она нарисована в системе отсчета, связанной с авторомим $A$.) Следовательно, авторомыя находится всего друг к другу в тот момент, когда авторомыя $B$ оказывается в точке $B'$, являющейся основанием перепределения, опущенного из точки $A$ на прямую 3. Длина отрезка $AB'$ равна искомому кратчайшейму расстоянию между авторомыми.

Чтобы изобразить положение отрезка $AB'$ в неподвижной системе отсчета, сметим его конец $B'$ параллельно дороге 1 так, чтобы он попал в точку $B_1$ на дороге 2, и проведем $[B_1A_1] \parallel [B'A]$. Точки $A_1$ и $B_1$ являются искомыми положениями авторомыя (рис. 1 б).

Очевидно, прямая 3 параллельна биссектрисе угла между дорогами. Нетрудно подчитать, что $|A_1B_1| = |AB'| = |a - b| \sin \frac{\alpha}{2}$.

2. Охотник и лиса

Лиса безщит с постоянной скоростью $\vec{V}_1$ по прямой l. Неподвижный охотник замечает лису, когда она находится в близкой оценке прямой l (на расстоянии a). Как должен движется охотник, чтобы произвести выстрел с кратчайшего расстояния, если он может.beжать со скоростью, равной по велинице $|\vec{V}_2|$? Каково это кратчайшее расстояние?

Нетрудно сообщить, что при условии $|\vec{V}_2| \leq |\vec{V}_1|$ охотник должен.beжать прямой нено. Расмотрим движение охотника в системе отсчета, связанной с лисой, т. е. движущейся со скоростью $\vec{V}_1$ (рис. 2 a). Скорость $\vec{V}_{21}$ охот-

*) «Физика 8», п. 8.

22

жат на окружности радиуса $|\vec{V}_2|$ с центром в точке $O$.

Во внешней системе отсчета пряма, по которой будет лежать охотник, должна иметь общие точки с этой окружностью и проходить как можно близке к точке $A$.

Если $|\vec{V}_2| < |\vec{V}_1|$, то этим условиям удовлетворяет касательная, проведенная из точки $B$ к окружности. В этом случае искомое направление движения охотника (угол ф; см. рис. 2 а) и кратчайшее расстояние до лисы $R_{\min}$ таковы ([AC] $\perp$ [BC]):

$$\cos \varphi = \frac{|\vec{V}_2|}{|\vec{V}_1|}, \quad R_{\min} = |AC| = a \sin \varphi.$$

Если $|\vec{V}_2| > |\vec{V}_1|$, то охотник может лежать в пределах затрихованного сектора в любом направлении, если движется прямолинейно (рис. 2 б): условия задачи не запрещают охотнику достичь какой-то точки лицевой пролывыше, чем через эту точку пробежит лиса, и в этом месте спокойно подождать лису *).

Наконец, при условии $|\vec{V}_1| = |\vec{V}_2|$, человек может сколь уголно близко подбежать к лице, выбрав соответствующий малый угол ф.

Читателью предлагается самому доказать эти утверждения и нарисовать нужные рисунки.

3. Пароход и катер

Перpendикулярно к прямолинейному берегу моря проходит канал. Вдоль берега с постоянной скоростью $\vec{V}$ плывем пароход. Катер начинает движение по каналу из точки $B$, когда пароход находится в точке $A$ — у устья канала. С какой постоянной скоростью

*) При условии $|\vec{V}_2| > |\vec{V}_1|$ возможно и кривolinейные траектории движения охотника. Семейство этих траекторий можно описать, например, следующим способом. Пусть направед заано любое положительное число $t$. Тогда в течение интервала времени от начала движения до момента $t$ охотник может лежать по любой траектории; начиная с момента $t$ охотник может двигаться по любой из бесконечного множества прямолинейных траекторий, удовлетворяющих условиям задачи.

4. Корабли в тумане

Чемыре корабля $A, B, B$ и $\Gamma$ плывут в тумане с постоянными скоростями прямолинейными курсами. Корабли $A$ и $B$ чуть не столь нульсь; назовем это событие «столкновением». Известно, что произойдет следующее столкновение: $A$ и $B, A$ и $B, A$ и $\Gamma, B$ и $B, B$ и $\Gamma$, причем в одном месте в одной и same время столкновалось не больше двух кораблей. Докажите, что если

*) Несоклько лет назад эта задача предлагалась на вступительных экзаменах по математике (письменно) на естественных факультеты Ленинградского университета. Составители вариантов предполагали, что задача будет решаться алгебраически. Решение при этом оказается громоздким. Попробуйте провести его сами.

23

Рис. 4.
скорости кораблей В и Г различны по величины, мо они также стальваются.

Рассмотрим перечисленные события с точки зрения наблюдаателя, находящогося на корабле A. В этой системе отчета траектория корабля Б — прямая, проходящая через точку A (сам корабль A в этой системе отчета неподвижен). Траектория корабля B также есть прямая, проходящая через точку A. Допустим, что траектории кораблей B и B не совпадают (изображим траекторию корабля B пунктиром; см. рис. 4).
В этом случае в точке A проинсходит стольновение сразу трех кораблей: A, B и B (инчете корабли B и B не столкнутся), что противоречит условию задачи. Следовательно, в нашей системе отчета траектории кораблей B и B совпадают, а стольновение B и B проинсходит не в точке A, а где-то в другом месте. Точно так же можно убедиться, что траектория корабля Г совпадает с траекториями кораблей B и B. Поскольку у кораблей B и Г величины скоростей по условию различны, различны и величины их скоростей в выбранной системе отчета.
Таким образом, в этой системе отчета корабли B и Г движутся по одной прямой с разными скоростями и, следовательно, неизбежно стальваются *).

5. Осторожный охотник и лиса
   Лиса бежит с постояной скоростью по прямой l. Охотник замечает лису, когда она находится на расстоянии a от него в направлении, составляющим угол α с прямой l (рис. 5 a), и начинает

*) Другой способ решения см. в книге Дж. Литт вуда «Математическая смесь» (М., «Нayka», 1965), с. 10.

Рис. 5.
наем преследование, выделяясь с моей же по величины скоростью, что и лиса. Поскольку «мактика» лисы охотнику неизвестна, он безит все время прямо за лисой. Как близко охотнику удасется подбежать к лисе *)?

Рассмотрим события в системе Oxy, где лиса неодвижна и находится в начале координат O (ось Oxy направлена вдоль лисей тропы в сторону движения лисы). Скорость охотника в этой системе $\vec{V}_{BA} = \vec{V}_B - \vec{V}_A$, где $\vec{V}_A$ и $\vec{V}_B$ — скорости лисы и охотника в неподвижной системе отчета. Пусть в некоторых моментах охотник находится в точке $B_1$ (рис. 5 б). Обозначим проекции ско-

*) Эта интересная задача однажды подробно обсуждалась в «Кванте» (1973, № 2, с. 39).

24

Рости $\vec{V}_{BA}$ охотника на направления $\vec{OB}_1$ и $\vec{Oy}$ (см. рис. 5 б) через $V_1$ и $V_2$. Если $\vec{OB}_1$ составляет с направлением $\vec{Oy}$ угол $\varphi$, то

$$V_1 = -|\vec{V}_{BA}|(1 + \cos \varphi)$$

и

$$V_2 = -|\vec{V}_{BA}|(1 + \cos \varphi),$$

то есть $V_1 = V_2$ в любой момент времени. Следовательно, в любой момент времени охотник равноудален от начала координат $O$ системы координат $Oxy$ и некоторой прямой, параллельной оси $Ox$. Найдем уравнение этой прямой. В начальной момент времени охотник удален от лисы (т. е. от начала координат) на расстояние $a$, поэтому искомая прямая отстопит от точки $B$ на расстоянии $a$ (рис. 5 б). Таким образом, уравнение этой прямой в системе координат $Oxy$ имеет вид $y = -(a - a \cos \alpha) = a(\cos \alpha - 1)$, прямая находится на расстоянии $a$ (1—cos $\alpha$) от начала координат. Поэтому близкие к лице положение охотника — это точка $C$, расположенная на оси $Oy$ на одинаковом расстоянии $a(1 - \cos \alpha)/2$ от $O$ и от найdenной прямой: $R_{\min} = a(1 - \cos \alpha)/2$; оно достигается, когда охотник на прямой $l$.

6. Грустная история зайца

По прямой с постояной скорость $\vec{V}$ безжитяц. В том момент, когда заяц находится в точке $A$, волк начинаем по его из точки $B$ с координатами $(a; \alpha)$ (рис. 6 а), дв歧ясь с постояной по величине скорость $|\vec{U}| = n|\vec{V}|(n > 1)$, направленный все время к заяцу. Будем ли заяц пойман, и если да, то коедда и еде *)?

Перейдем в систему отчета, где заяц неподвижен и находится в начале координат $O$. (Наверное, в этой системе отчета заяц очень страшно — ведь он бездействует!). Пусть ось $Oy$ направлена вдоль заяцевой тропы в сторону движения зайца. Скорость волка в этой системе $\vec{U}' = \vec{U} - \vec{V}$. Докажем прежде всего, что заяц будет пойман.

Пусть точка $B_1$ есть положение волка в какой-то момент времени и пусть $\vec{OB}_1$ составляет с осью $Oy$ угол $\varphi$ (рис. 6 б). Проекция скорости $\vec{U}'$ на направление $\vec{OB}_1$

$$U_{\vec{OB}_1} = |\vec{V}|(\sin \varphi - n).$$

По условию $n > 1$; значит, для любых $\varphi$ величины $U_{\vec{OB}_1}$ отрицательна, причем $|U_{\vec{OB}_1}| \geq |\vec{V}|(n - 1)$. Поэтому волк обязательно доходит заяца за время, не больше $\frac{a}{n - 1}$ (в начальной момент он находится я от заяца на расстоянии $a$).

Найдем теперь время, за которой волк доходит заяца. Для этого шем проекцию скорости $\vec{U}'$ на направление оси $Oy$ выбранной системы координат. Имеем (см. рис. 6 б):

$$U_{\vec{Oy}} = -|\vec{V}| + n|\vec{V}| \sin \varphi.$$

Пусть $(x; y)$ — координаты волка в системе $Oxy$. В момент времени $T$,

*) Решение этой задачи, используемые приемы высшей математики, приведено в книге «Избранные задачи» (М., «Мир», 1977)—см. задачу 154.

25

Когда заяц пойман, $x_T = y_T = 0$. В начальной момент времени $y_0 = a \cos \alpha$. Таким образом, проекция на ось $Oy$ перемещения волка за время $T$, необходимое для поимки зайца, равна $y_0 = a \cos \alpha$. Поэтому среднее значение проекции скорости волка на ось $Oy$ за время $T$

$$\bar{U}'_{\rightarrow Oy} = -y_0 / T = -a (\cos \alpha) / T.$$

Найде м теперь из (1) и (2) соответствие между $U'_{\rightarrow OB_1}$ и $U'_{\rightarrow Oy}$. Имеем:

$$U'_{\rightarrow OB_1} = U'_{\rightarrow Oy} / n + |\vec{V}| / n - n |\vec{V}|.$$

Поскольку слагаемые $|\vec{V}| / n$ и $n |\vec{V}|$ от времени не зависит, такое же соответствие справедливо и для средних значений расматриваемых проекций, то есть

$$\bar{U}'_{\rightarrow OB_1} = \bar{U}'_{\rightarrow Oy} / n + |\vec{V}| / n - n |\vec{V}| = -a (\cos \alpha) / n T + |\vec{V}| / n - n |\vec{V}|.$$

С другой стороны,

$$\bar{U}'_{\rightarrow OB_1} = -a / T.$$

Из (3) и (4) находим исключение поимки:

$$T = \frac{a}{|\vec{V}|} \cdot \frac{n}{n^2 - 1} \left(1 - \frac{\cos \alpha}{n}\right).$$

Проверим этот ответ для оценных частных случаев.

$1^\circ$ $\alpha = 0$: волк безит на встроечу зайцу. В этом случае величины относительной скорости движения волка равна $|\vec{V}| / (n + 1)$, так что он доогнит зайца за время $T_1 = \frac{a}{|\vec{V}| / (n + 1)}$.

Этот же результат получается из (5) при подстановке $\alpha = 0$.

$2^\circ$ $\alpha = \pi$: волк безит зайцем. При этом величина его относительной скорости равна $|\vec{V}| / (n - 1)$ ($n > 1$), и он доогнит зайца за время $T_2 = \frac{a}{|\vec{V}| / (n - 1)}$.

Подставляя $\alpha = \pi$ в выражение (5), получаем тот же ответ.

За время $T$ зац пробегает расстояние

$$S_3 = |\vec{V}| T = \frac{an}{n^2 - 1} \left(1 - \frac{\cos \alpha}{n}\right),$$

так что волкLOBит зайца в точке на прямой $l$, отстоящей от точки $A$ на этом расстоянии $S_3$.

Задание и

1. На луг перpendикулярно к опущке леса выходит прямолинейное шоссе.

Из леса со скоростью $\vec{V}$ выезда автобус. Из каждой части луга имеет смысл бескать, чтобы догнать автобус, если вы можете двигаться со скоростью $\vec{U} (|\vec{U}| < |\vec{V}|)$?

2. Докажите, что все четыре корабля $A, B, B$ и $\Gamma$ из задачи 5 в любой момент времени находится на одной прямой.

3. В каждой вершине правильно $n$-угольника находится по собаке. По команде все собаки одновременно начинают движение, причем каждой преследует свою близжайшую по часовой стрелке соседку. Какое время проходит до встречи собак и какое расстояние пробегает каждой из них, если они бегут со скоростью $|\vec{V}|$?

4. Квадратный огород окружен забором. В вершине $A$ забора сидит собакосторок. В противоположной вершине $B$ — дырка, достающая для зайцев, но слишком узкая для собаки. Пробравшийся в огород воришка-зац, заметив собаку, бежит к дырке по прямой со скоростью $|\vec{V}|$; собака преследует его со скоростью $n |\vec{V}|$, $n > 1$, причем всегда безит прямой зайцем. Определите (приблизительно), в какой части огорода зац может чувствовать себя в безопасности.

5. Несоколько собак окружили зайца. Скорости собак не превышает скорости зайца. Все собаки зайцу видны. Может ли заяц вырвать из окружения, и если да, то как, если собаки при преследования бегут так, что скорость каждой из них всегда направлена к той точке, где в данной момент находится зайц?