Сложный многогранник

27

Сложный многогранник

Сложный многогранник, показанный на второй странице обложки—не что иное, как объединение десяти кубов с общим центром.

Рассажем сначала о «родственнике» этого многогранника — многогранника, составленном из пятей кубов. Он строится на основе додекаэдра. Оказывается, в додекаэдр можно пятью различными способами вписать куб. Один из таких кубов показан на рисунке 1 зеленьым цветом. На фотографии вы видите модель этого многогранника.

Семейство из 10 кубов тоже строится на основе додекаэдра. Берется пара противоположных вершин $T$, $T'$ (рис. 1) и рассматривают три (красных) отрезка $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ (как нетрудно заметить, при поворотах около оси $OT$ на углы, кратные $2\pi/3$, они переходят друг в друга). Через эти отрезки проводятся три попарно перпендикулярные плоскости, пересекающие в точке $V$ на оси $OT$ (рис. 2) и рассматривают еще три плоскости, им симметричные относительно центра $O$ додекаэдра. Эти плоскости и ограничивают наш куб.

Такой куб можно построить для каждой пары противоположных вершин додекаэдра, а так как вершин у него 20, как раз получится 10 кубов. Их объединение и изображено на обложке.

Попробуйте на обложке «увидеть целиком» один из этих кубов. Если суммеете, вам будет легко выделять и остальные; вы заметите, что у каждой куба две вершины — «изолированные» (они лежат на оси, отправляясь от которой строился этот куб), а каждая из шести остальных вершин имеет «соседа» (вершину другого куба). Эти пары «соседей» красного группыруются вокруг десятичных звезд, образованных объединением пересекающих ребер пятей кубов.

Если вы захотите по строить модель изображенного на обложке многогранника, то можете воспользоваться рисунком 3: на нем показана штриховкой, с достаточной точностью, выходающая наружу часть каждой грани каждой куба. Таких «шаблонов» нужно изготовить 60 штук; затем их нужно правильно склеить, исходя из рисунка на обложке*). Но это не просто! Красиво склеить такой многогранник сумме только трудолюбивый и квалифицированный любитель моделирования.

*) Более подробно об этом рассказано в книге В. Гамаюнова «Проектрография», М., 1976, МГПИ им. Ленина.