Заочная физико-техническая школа

59

Задание вступительного контрольной работы в ВЗМШ в 1979 году

1. Пусть точки A, B, C являются вершинами неравноведенного прямоугольного треугольника. Сколькими способами можно поставить на плоскости точку D, чтобы можноесто точек {A, B, C, D} имело: a) центр симметрины? b) ось симметрины? в) изменяется ли ответы на вопросы a) и 6), если в условиях задания заменить слова «прямоугольного» на слова «непрямоугольного»?

2. Рассмотрим всеозможноные девятизначные числа, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, …, 9 встреется по одному разу. Определите наиболее общий делитель этих чисел.

3. Можно ли на клетчатой бумаге закристь 25 клеток так, чтобы у каждой из них было нечетное число закрашенных соседей? (Клетки называются соседями, если у них общая сторона.)

4. Андрей бегает на льжах быстро Вити, но медленнее Жени. Они одновременно побежали по круговой дорогке из одного места в одном направлении и безали до тех пор, пока снова все трое не прибежали в одно место. За это время Жени обогнал Витю 13 раз. Сколько всего было за это время обгонов?

5. В одну строчку выписали 25 чисел. Сумма любых трех соседних чисел положительная. может ли при этом сумма всех 25 чисел быть отрицательной?

6. Найдите все пары целых чисел (m; n), для которых выполняется равенство $m^2+1=2^n$.

7. Рассмотрим на плоскости многоугольник, являющийся объединением трех параллелограммов: OAHB, OBKC и OCMA. a) Обязательно ли этот многоугольник выпуклый? b) Сколько сторон может иметь этот многоугольник? b) Какой перimeter может иметь этот многоугольник, если $|OA|+|OB|+|OC|=1$?

8. Загаданы два целых положительных числа. Математику A сообщена их сумма, а математику B — сумма их квадратов. Если A и B соединят свои знания, то они, конечно, определяют общая числа. Но они узнали эти числа в процессе следующего разговора:

B. — Я не знаю, какие это числа.
A. — Их сумма больше десяти.
B. — Тогда я знаю, какие это числа. Найдите и вы эти числа.

9. Можно ли нарисовать на плоскости прямоугольник ABCD и точку M так, чтобы расстояния от точки M до точки A, B, C, D были равны, соответствующим a) 1, 2, 3, 4; b) 1, 4, 8, 7?

10. Имеются два автомата. Если в первый из них бросить 5 копеек, то он умножит данные ему число на 3. Если во второй из них бросить 2 копейки, то он прибавит к данному ему числу число 4. Какую минимальную сумму денег надо иметь, чтобы с помощью этих автоматов получить из данного числа 1 число 1979?

Ж. Раббом

Заочная физико-техническая школа

Заочная физико-техническая школа (3ФТШ) при Московском ордена Трудового Красного Знамени физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся восемилетних и средних школа, расположенных на территории РСФСР, в 8, 9 и 10 классы на 1979/80 учебный год. (В отдельных случаях допускается прием из других союзных ресурсик.) Заочная обучение прививает навыки самостоятельности, учит работает с дополнительной литературой, консектировано излагать свои мысли.

ЗФТШ дает хорошие дополнительные знания по физике и математике своим выпускником, многое из которых становится студентами ведущих вызовов нашей страны.

При приеме в ЗФТШ предполагается учащимся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где помощь нашей школе особенно нужна.

Обучение в школе бесплатное.

Кроме отдельных учащихся, в ЗФТШ принимаются и физико-технические кругжи, которые могут быть организованы на месте по инциативные двух преподавателей — физики и математики. Руководители кругжи набирают и зачисляют в них учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ. Кругок принимается в ЗФТШ, если директор школа сообщит в ЗФТШ фамилии руководителя кругжи и помещеный список кружка по классам (с указанием итоговых оценок за вступительное задание).

Учащие, принять в ЗФТШ, и руководители физико-технических кругков будут регулировано получать задания по физике и математике в соответствии с программой ЗФТШ, а также рекомендуемые ЗФТШ решения этих заданий. Задания ЗФТШ содержат теоретический материал и разбор характерных заданий и примеров по теме, а также 10—14 задачи для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учащихся-зоочников проверяют в ЗФТШ или ее фильлах, а членов кругков—их руководителей.

60

Сучашимся Москвы два раза внеделю по программе ЗФТШ в вечерних консультативных пунктах (в ряде Москвыских школ) проводятся очень заняття по физике и математике. Набор в эти пункты происходит или по результатам выполнения вступительного задания ЗФТШ, или по результатамочного собеседования по физике и математике (собеседование будет проводиться в сентябре; справки по телефону 216-00-05, доб. 2-59).

Вступительная контрольную работу по физике и математике каждый ученик выполняет самостоятельную работу на русском языке и аккуратно переписать в одну школьную терраду. Порядок задачи должен быть тот же, что и в задании. Террады перешли в большом конверте просмотр балдеролью. Вместе с решением обязате выполнять справку из шкoles, в котором вы учитель, с указанием класса. Справку належит на внутреннюю сторону обложки терради. Без этой справки решение рассматривается не будет. На внешнюю сторону терради наклейте лист бумаги, заполненный по следующему образцу:

1. Область (край или АССР)
2. Фамилия, имя, отчество
3. Класс
4. Номер и адрес шкoles
5. Профессия родитель и занimaемая должность отец
6. Подробный домашний адрес

Срок отправления решения — не позднее 1 марта 1979 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обратно не высылаются.

Зачисление в школе производится приемной комиссии Московского физico-технического института. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 1979 года.

Террады с решенными задачими вступительного контрольной работы (обязательно по физике и математике) присылайте по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской области, Московский физico-технический институт, для ЗФТШ.

Учащиеся Архангельской, Вологодской, Калининской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Карельской и Коми АССР высылают работы по адресу: 198904, г. Старый Петергоф, ул. 1 Мая. д. 100, ЛГУ, фильнал ЗФТШ при МФТИ.

Учащиеся Амурской, Иркутской, Камчатской, Сахалинской, Читинской области, Красноярского, Приморского, Хабаровского краев, Бурятской, Тувинской, Якутской АССР и Чукотки высылают работы по адресу: 660607, г. Красноярск, ул. Пересона, д. 7, Пединститут, филиал ЗФТШ при МФТИ.

Ниже приводятся задачи вступительного контрольной работы по физике и математике. В задании по физике задачи 1—5 предназначены для учащихся седьмых классов, задания 5—11 — для учащихся восемьх классов и задания 7—13 — для учащихся девятых классов. Во вступительном задании по математике задачи 1—5 — для седьмых классов, 4—10 — для восемьх классов и 7—13 — для девятых классов.

Задание вступительного контрольной работы в ЗФТШ в 1979 году

Физика

1. Дорожка в саду имеет широкую 2 м. Какой длины дорогку можно покрыть слоем песка толщиной в 2 см, если песок доставлен десятитонным грузовиком, нагруженным до предела? Плотность песка определяте самостояльно.

2. Определите глубину шахты, на дне которого барометр показывает давление 860 мм рт. ст. Давление на поверхности земли принять равным 760 мм рт. ст. Плотность воздуха 1,29 кг/м³. Изменением плотности воздуха с глубиной претенбрь.

3. Разломите спичку на как можно более маленькие кусочки. Почему маленькие кусочки труднее разламывать, чем большие?

4. Какое количество древесного угля потребуется для превращения в пар 3 кг льда при нормальном давлении? Начальная температура льда — 5°С. КПД нагревателя 20%.

5. Электродвигатель, приводящий в действие насос, подключен к сети напряжением 220 В. Насос подает 500 м³ воды на высоту 20 м. Какое количество электричества протеует по обмотке электродвигателя, если КПД установки (двигается с насосом) 40%?

6. МотошикLIST проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 40 км/ч. Увеличив скорость до 80 км/ч, мотошикLIST проехал за тем расстояние вдвое меньше. Определить среднюю скорость мотошикLIST за все время движения.

7. В цилиндрическую банку налита вода. Когда в банку опустили порожнюю алюминевую чашку так, чтобы она плавала, вода поднялась на 2,7 см. На сколько изменится уровень воды в банке, если чашку утопить в ней? Плотность алюминия 2,7 г/cм³.

61

8. Человек роняет камень в глубокий колодец и слышит звук его падения через 8 с. Найти глубину колода. Ускорение свободного падения прить равным 10 m/c². Скорость звука 330 m/c.

9. Какую мощность развиает человек, взуший по горизонтальной дороге груженные саня обшей массой 40 кг? Коэффициент треня полозьев о дорогу равен 0,1. Саня тянут с постоянной скоростью 3 m/c с помощью вервки, наклоненной под углом 30° к горизонту.

10. Лыжник скатывается с трамплина высотой 50 м, имеющего у подножия закругление радиуса 10 м. Найти перегрузку, испытываемую лыжником при вызде на горизонтальной участок.

11. Воздуший шар массой $M$ парит в воздухе на высоте $H$. На лестнице, при взявании к гондоле воздушного шара, стоит человек массой $m$. На какой высоте оказывается воздушный шар, если человек поднимется по лестнице вверх на $n$ ступенек? Расстояние между ступенками $h$.

12. В комнате объемом 60 м³ испарили капельку двух, содержащую 10⁻⁴ г ароматического вещества с относительной молекулярной массой 1000. Сколько молекул ароматического вещества попадет в легкие человека при каждом вздохе? Объем легких прияты равным 2,2 л.

13. В герметическом состоянии объемом 11,2 л содержится воздуха под давлением 0,1 МПа. Какое количество теплоты необходимо сообщить воздуха, чтобы давление в сосуде увеличилось в 3 раза? Молярную теплюмость воздуха при постоянном объеме прияты равной 21 Дж/(моль·К).

Matematika

1. В классе 35 учащся. Из них 20 посещают математический кругок, 11 — физический, 10 учащся не посещают ни одного из этих кругков. Сколько учащся посещают оба кругка?

2. Для того чтобы четырехугольник $ABCD$ был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы он имел центр симметрии. Докажите.

3. Определите все значения $a$, при которых множество решений неравенства $x^2 - a (1 + a) x + a^3 < 0$ содержит отрезок [0; 1].

4. Докажите или опровергиите следующие утверждения: a) для того чтобы число $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n - 1)) - 1$ делилось на $n$, достаточно, чтобы $n$ было простым; b) для того чтобы число $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n - 1)) - 1$ делилось на $n$, необходимо, чтобы $n$ было простым.

5. Один четырехугольник расположен внутри другого четырехугольника. может ли сумма длины диагоналей внутри него четырехугольника быть больше суммы длины diagonалей внутри четырехугольника?

6. На одномиде были три задачи: $A, B, C$. 25 школьников решили хотя бы одну задачу. Среди школьников, не решивших задачу $A$, решивших задачу $B$, в два раза больше, чем решивших задачу $C$. Школьников, решивших только задачу $A$, на одного больше, чем остальных школьников, решивших задачу $A$. Сколько школьников решило только задачу $B$, если среди школьников, решивших только одну задачу, положина не решила задачу $A$?

7. Точка $D$ и $E$ служат середина стороны $[AB]$ и $[CD]$ четырехугольника $ABCD$. Докажите, что

$$\overrightarrow{DE} = \frac{\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}}{2}.$$

8. Даны два утверждения:
   a) Система
   $$\begin{cases} (a + 4) x + 3y = a + 1, \\ ax + (a - 1) y = a - 1 \end{cases}$$

имеет бесконечного много решений;

6. Прямы, заданные уравнениями $5x + 4y = 6$ и $ax + 6y = 10$, пересекаются во второй четвертой декартовой прямой системы координат.

При каких значениях $a$ одно из этих утверждения лежно, а другое — истинно?

9. Докажите, что если в произвольном четырехугольнике $ABCD$ проведится внутренние биссертрис, то четыре точки пересечения биссертрис углов $A$ и $C$ с биссертрисами углов $B$ и $D$ лежат на одной окружности.

10. Школьник переключает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист оказывается пустым. Если школьник подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у негостан 500 марок. Сколько листов в альбом?

11. На каждой из плаетей некоторых системы нахождения астроном, наблюдающий близкий ближную планету. Расстояния плаетами попарно различны. Докажите, что если плает нечетно, то какую-нибудь плаетную никто не наблюдает.

12. Данны $k$ чисел $a_1, a_2, \dots, a_k$, причем $a_1 + a_2 + \dots + a_k = 0$.

Вычислите предел последовательности $(S_n)$:

$$S_n = a_1 \sqrt{n + 1} + a_2 \sqrt{n + 2} + \dots + a_k \sqrt{n + k}.$$

13. Функции $f$ и $g$ не имеют произвольных в точке $x = x_0$. Можно ли утверждать, что функция $F_1(x) = f(x) + g(x)$ также не имеет произвольных в точке $x = x_0$?

В. Аслаянн, С. Коршунов, Т. Чугунова