Сечения многогранников

36

В. Вавилов

Сечения многогранников

В этой статье разбираются 10 задач о сечениях, взятые в основном изучении «Геометрия 9» и «Геометрия 10». Первочередная цель — систематизировать примы построения сечений многогранников. Здесь подбраны примы и задачи, в основе которых — построение пересечений и параллельное проектирование. К примем, связанным с перепедикулярностью, мы вернемся в другой статье.

1. Постановка задачи

Доказывая теоремы, решая stereometricские задачи, мы используем чертежи, то есть изображения на плоскости фигур, расположенных в пространстве.

«В stereometрии изображением фигуры (оригинала) будем называть любоу фигуру, подобную параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость» (IX, § 13) *).

Таким образом, для построения изображений нужно учитывать свойства параллельной проекции. В частиности (рис. 1),

1° Точка изображения точки;
2° прямая линия изображения прямой линии;
3° параллельные прямые изображения параллельными прямыми;
4° если точки M лежит на отрезке [A; B], то изображение точки M лежит на изображении отрезка [A; B] и делит изображение отрезка в том же отрезке, в каком точка M делит отрезок [A; B].

*) Ссылка «IX, § 13» отсылает к § 13, «Геометрия 9»; «X, 73, 84» ознакомает упражнения 73 и 84 из учебника «Геометрия 10».

Рис. 1.

37

нипересечения этих двух множества. При этом, как правило, изображение многограничка будет считаться заданным, а плоскость сечения будет дана трея точками (иногда — прямой и точкой) на изображении. Ползоваться можно, как обычно при геометрических построениях, только линейкой и циркулем. Задча считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость сечения пересекает грани многограничка.

Итак, пусть нам dado изображение некоторые фигур (плоскости, прямой, многограничка). Требуется на нем найти изображение некоторого геометрического объекта (точки, отрезка, многоугольника), связанного с исходными фигурами определенным образом.

На чертежах, при наших построениях, синий цвет будет соответствовать секущей плоскости, а красный — той плоскости, в которой щется линия пересечения.

2. Вспомогательные задачи

Прежде чем перейти к основной задаче, рассмотрим несколько вспомогательных приемов для определения пересечений прямых и плоскостей.

1. Пересечение двух пересекающих прямых найти легко: точка, в которой они пересекаются на чертежке, и есть изображение их точки пересечения в пространстве. Но — осторожно! Это верно лишь в предположении, что прямые на самом деле пересекаются. (А прямые в пространстве, «как правило», скрещиваются!). Не владайте в ошибку (рис. 2).

2. Пересечение прямой AB и плоскости α найти не сложно, если известны параллельные проекции A₁, B₁ точек A, B на α (рис. 3). Построение ясно из чертежа.

3. Пересечение прямой AB и плоскости α легко найти и в том случае, когда даны точки пересечения A₁, B₁ с плоскостью α для всех пересекающих через точки A, B соответственно (рис. 4).

4. Пересечение двух плоскостей α и (ABC) находится просто, если даны параллельные проекции A₁, B₁, C₁ точек A, B, C на α. Проследите за этим построением самостояльно (рис. 5).

Можно указать еще много различных ситуаций, когда удается построить пересечение двух заданных плоскостей (ABC) и α.

38

3. Построение сечения по трем заданным точкам

Здесь систематически применяются приемы, описанные в предыдущем разделе. Читатель должен самостоятельно прослеживать за ними по мультипликационнойным сериям рисунков.

5. Сечение параллеленnea плоскостью, заданной треми точками A, B, C (IX, 75, 95, 96, 145, 147)

выполнено на рисунках 8, а—е. Здесь надо построить проекции $A_1, B_1, C_1$ точек A, B, C параллельно боковым ребрам (рис. 8, 6), применить задачу 2 для построения $X_1$ (рис. 8, 8) и найти $X_2$; затем, взяв новое направление проектирования (рис. 8, 2), найти точку $X_4$ (снова задача 2) и применить задачу 1 для нахождения точек $X_6$ и $X_5$ (рис. 8, 8).

6. Сечение треугольной парамиды плоскостью ABC показано на рисунках 9, а—д (IX, 133, 135). Здесь дважды применяется задача 3.

7. Сечение треугольной признамы плоскостью ABC показано на рисунке 10,

39

4. Параллельные прямые и плоскости

Кроме ранее изученных примов, часто применяются две теоремы о параллельных плоскостях: (I) сечение двух параллельных плоскостей прямой плоскостью есть пара параллельных прямых; (II) пересечение двух плоскостей, параллельных прямой l, есть прямая, параллельная l.

8. Построение сечения треугольной парамиды плоскостью, проходящей через заданные точки C, D, параллельно ребру AB приводится на рисунках 11, а—в (IX, 53, 54, 95). Здесь точки X₂, X₃ получены как пересечение прямой, проходящей через X₁ параллельно AB, с соответствующими гранями (см. теорему II). Рекомендуем читатель решить задачу для случая, когда точки X₂, X₃ лежат не на ребрах, а на их продолжениях.

9. Сечение метраэдра плоскостью α, проходящей через точку M на высome AA₁, параллельно грани ACD, показано на рисунках 12, а—в (IX, 93, 94, 146; X, 312). Здесь дважды применяется теорема I: α || (ACD)⇒

40

Рис. 12.

Рис. 13.

$\Rightarrow (X_1X_2) \parallel (AB_1) \text{ и } \alpha \parallel (ACD) \Rightarrow (X_3X_4) \parallel (CD)$.

10. Сечение метраэдра ABCD плоскостью $\alpha$, проходящей через точку М паралелно скрещивающим ребрам AD и BC (IX; 132, 160), показано на рисунке 13, $\alpha$ — $\beta$. Здесь дважды применяется теорема II: $\alpha \parallel (AD)$ и $(AA_1D) \parallel AD \Rightarrow (MX_1) \parallel (AD)$, а затем $\alpha \parallel (BC)$ и $(BCD) \parallel (BC) \Rightarrow (X_3X_4) \parallel (BC)$.

11. Более трудные задачи

12. Докажите, что данный отрезок, не паралелный данной плоскости, можно паралелно спроектировать на отрезок любой длины на данной плоскости.

13. На какой по величины угол на данной плоскости можно паралелно спроектировать данный угол?

14. Докажите, что если для трех не лежащих на одной прямой точек плоской фигуры известны их изображения, то изображения всех точек этой фигуры выполняются.

15. Докажите, что изображением данного треугольника может служить любой треугольник *).

16. Докажите, что изображением четырехугольника может служить любой четырехугольник, у которого диагонали делятся точкой пересечения в тех же отношениях, как и у исходного.

17. Докажите, что изображением tetraэдра может служить любой четырехугольник с проведенными диагоналими.

18. Менный куб поставлен на больший куб так, что они имеют общую вершину и их грани паралелны. Построить сечение полученной фигуры плоскостью, заданной треями точками, из которых
    — все три лежат на трех скрещивающих ребрах меньше куба;
    — все три лежат внутри трех различных граней больше куба;
    — одна точка лежит на верхнем основании маленького куба, а две другие на различных ребрах больше куба.

*) Напомним, что размеры изображения полей не играют (см. п. 1), поэтому «любой треугольник» означает «любой треугольник с точностью до подобия».