Блуждающие фишки

38

Ф. Бартенев

Блуждающие фишки

Мы часто заменаем, что люди провелляют больше всего изобретательности в целях, и потому математические церы заслужевают внимание не сами по себе, а потому, что развивают нахождение.

Лейбниц

Наверное, многие из читателей знакомы с игрой «уголки» на шахматной доске. Она является прообразом разнообразных игр, развлечений, задач с интересным и почительным содержанием. Далее мы рассмотрим некоторые из них.

В качестве досок мы будем рассматривать произвольные прямоугольники, разбиты на конгруэтные

Рис. 1.

Рис. 2.

ные квадратики (см. рисунки). Начальные положения фишек мы будем указывать черными кружками, конечные — пунктром.

Каждеое из полей (клеток) доски имеет свое обозначение, свой «адрес», свой «координаты», как и на шахматной доске. Например, на рисунке 1 одна из фишек стоит на поле c2. Конечно, обычно эти обозначения не пишутся на полях доски, но их нетрудно определить, поскольку на рисунке всегда указывают буквенные обозначения вертикальной и номера горизонтальной.

Теперь рассскажем о правильных перемещений фишек. Каждый фишка может ходить на любое соседнее (по горизонтали или вертикали) поле. Например, фишка, стоящая на поле c2, может ходить на одно из следующих полей: b2; d2; c3; c1. Соответствующие ходы мы будем записывать так:

c2—b2; c2—d2; c2—c3; c2—c1.

Фишка может «перерыгивать» через свою «соседку» (в одном из указанных направлений) на свободное поле. Например, на рисунке 1 возможен ход d6—d8. Одиним ходом фишка может сделать даже несколько таких пряжков, причем направления их могут быть различными. Так, на рисунке 1 фишка с поля d6 может переместиться ходом d6—f6—f8 на поле f8 или ходом d6—f6—h6 на поле h6.

Пример 1. На рисунке 2 изображена доска 1×25, задано положение трех фишек и указыно положение, в котором их нужно перевести.

Оказывается, требуемое перемещение можно осуществить за 33 хода: нужно перемещать всю конфигурацию фишек как единое целое на два поля вправа следующими треями ходами:

1. c1—d1;
2. a1—c1—e1;
3. b1—c1.

39

Рис. 3.

Так как конфигурацию нужно переместить на 22 поля впраvo, можно 11 раз применить указанный прием, затратив на все перемещениеровно 33 хода.

Задание 1. На той же доске 1×25 поставлены четыре фишки (рис. 3). Можно ли осуществить соответствующее перемещение меньше, чем за 33 хода?

Задание 2. Имеется бесконечная доска, ширина которой равна 1. Покажите, что вседа можно растать на ней n фишек (n≥3) так, что, сделав три хода, можно получить пероначально конфигурацию фишек, сdwинуто на две клетки вправо.

Мы рассмотрели несколько примеров перемещения фишек на доске, ширина которой была равна единице. Если же рассматривать перемещения фишек на доске размером $m \times n (m > 2, n > 2)$, появляется возможность применять более разнообразные приемы. Обратимся к примерам.

Задание 3. Можно ли перемещение, указанное на рисунке 4, осуществить меньше чем за 40 ходов?

Пример 2. Требуется каждую фишку переместить из центральной части доски (рис. 5) на одно из угловых полей.

Оказывается, заданное перемещение можно выполнить за 22 хода, например, следующим образом:

1. d4—d6; 7. c8—b8;
2. d5—d7; 8. b8—a8;
3. d6—d8; 9. e8—f8;
4. d8—e8; 10. f8—g8;
5. d7—d8; 11. g8—h8;
6. d8—c8; 12. e5—e3 и т. д.

Здесь мы столкнулись с необходимостью видеть шаги или этары, на которые желательно разбить процесс решения задачи. При этом мы не ставили вопрос об определенении наименьшего числа ходов, необ-