Закрученные многоугольники

Квант 1980, №3 с. 47 Тег VCR4

Узор, изобравенный на второй странице обложки, составлен из «закрученных многоугольников». Закрученный многоугольник состоит из цепочки правых многоугольников: каждый последующий многоугольник $M'$ вписан в предыдущий $M$ (вершины $M'$ лежат на стороне $M$ ), притом $M'$ подбен $M$ (коэффициент подобия фиксирован для данной цепочки).

Такие цепочки выглудят особенно эффективно, если они построены на семействе одинаковых многоугольников; покрывающих плоскость (без перекрытия и пробегов), скажем, на семействе квадратов, правых треугольников или шестиугольников.

Каким образом ЭВМ, нарисовавшая наш узор, строит закрученные многоугольники? Машина «дается» исходный многоугольник $P_1P_2...P_n$ (назовем его многоугольником первого ранга), то есть список вершин, заданных своим координатами

$P_1(x_1; y_1), P_2(x_2; y_2), ..., P_n(x_n; y_n).$

Далее, пользовясь графопостроителем, машина рисует стороны многоугольника, последовательно соединяя вершины отрезками. Затем она находит координаты вершин $P_1', P_2', ..., P_n'$ следующего многоугольника (второго ранга) по такому правилу:

$(x'_i; y'_i) = (x_i; y_{i-1}) + k(x_{i+1} - x_i; y_{i+1} - y_i)$

(мы советем читателю сделать чертеж, например, для $n=6$ , и убедиться в том, что коэффициент $k$ в пределышей формуле равен

$k = \frac{|P_i P'_i|}{|P_i P_{i+1}|}.$

Далее машина последовательно соединяет вершины $P_1', P_2', ..., P_n', P'_i$ , получая тем самым рисунок многоугольника второго ранга. Из многоугольника второго ранга ЭВМ получает многоугольник третього ранга. И так далее.

Чтобы избежать клякссы (которая получится при скоплении мелких многоугольников к центру многоугольника третього ранга), в программе число многоугольников в цепочке ограничивается.

Учащимся Заочной школе программирования мы предлагаем составить программу на Раппре (с использованием Шпаги) для построения узора такого типа и прислать ее нам в качестве необязательного задания.

В. Усов, А. Чубарев