Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

44

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

Математика на гуманитарных факультетх

Писменный экзамен

Окончивший среднюю школа должны уметь при решении задач обединить знания различных разделов математики, то есть подходить к решению задач творческих. Практика вступительная экзамен по математике на гуманитарных факультетх показывает, что абитриенты еще недостаочно хорошо справляются с этим.

Ниже проводится подготовный разбор одного из вариантов отделения политэкономии экономического факультета с указанием типичных ошибок и неокоторой статистики: доли абитриентов (в процентах к общему числу сдавших экзамен), решивших данныеную задачу полностью и не решивных ее совсем. Другие факультеты также представлены каждой — одним вариантом, но лишь с ответами и кратками указаниями.

Отделение политического экономии экономического факультета

1. Решить уравнение
   $$\sqrt{37}-48 \text{ctg} x=8 \text{ctg} x-5.$$

Решение. Обозначим ctg x через z и решим вспомогательное уравнение
$$\sqrt{37}-48z=8z-5z.$$

Возведем обе его части в квадрат (при этом могут появиться построение корни). Решая полученное квадратное уравнение
$$16z^2-8z-3=0,$$
найдем $z_1=3/4$, $z_2=-1/4$. Корень $z_2$ является построением, так как $8z_2-5<0$, а $\sqrt{37}-48z_2>0$ (арфметическое значение корня!). Значение $z_1$, как показывает проверка, удовлетворяет уравнению. Решая уравнение ctg x=3/4, находим ответ: $x=arctg 3/4+\pi n$ ($n\in\mathbb{Z}$).

Основная ошибка при решении этой задачи — прибретение построенных корней (отсутствие проверки) при неравnocильном преобразовании (возведение обихих частей уравнения в квадрат). 44% абитриентов решили эту задачу полностью, 8% не решили ее совсем.

2. В равноведренном треугольнике ABC ($|AB|=|BC|=8$) точка E делит боковую сторону AB в отношении 3:1 (считая от вершины B). Найти угодный векторми $\vec{CE}$ и $\vec{CA}$, если $|CA|=12$.

Решение (рис. 1). Из определения скалярного произведения следует, что
$$\cos \alpha = \frac{\vec{CE} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CE}| \cdot |\vec{CA}|},$$
где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{CE}$ и $\vec{CA}$. Введем систему координат так, как указано на рисунке 1; по свойству высоты равноведренного треугольника $|OA|=|OC|$. Из $\Delta OBC$
$$|OB|=\sqrt{|BC|^2-|OC|^2}=2\sqrt{7}.$$
Поскольку $\vec{AE}=1/4\vec{AB}$, имеем $\vec{CE}=\vec{CA}+1/4\vec{AB}$. В системе координат Oxy: $\vec{CA}=(-12; 0)$, $\vec{AB}=(6; 2\sqrt{7})$, $\vec{CE}=(-21/2; 2\sqrt{7/4})$. Подставляя в выражение для cos $\alpha$, находим
$$\cos \alpha=\frac{(-12)(-21/2)}{12 \cdot \sqrt{(21/2)^2+7/4}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}.$$
Ответ. Угол между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CE}$ равен $\arccos \frac{3\sqrt{7}}{8}$.

Практические ниже абитриентов не использовали здесь координатный метод; отыскание угла $\alpha$, как правило, произвольное традиционными планиметрическими методами, в качестве ответа предлагалось выражение $\alpha=\pm\arccos \frac{3\sqrt{7}}{8}+2\pi n$ ($n\in\mathbb{Z}$), что свидетельствует о механическом применении формул, без понимания смысла задачи. 27% абитриентов решили задачу полностью, 34% не решили совсем.

3. Из сосуда, до краев наполненного чистым лциферном, отлили 2 литра лциферина, а к сставшемся лциферину долили 2 литра воды. После перемещения снова отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. Накоенц, опять, после перемещения, отлили 2 литра смеси и долили 2 литра воды. В результате этих операций объем воды в сосуда стал на 3 литра больше объема оставления в нем лциферина. Сколько литров лциферина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?

45

Решение. Если через $V$ л обозначить объем сосуда, то после первого операции (замена двух литров глицерина водой) глицерин займет $\frac{V-2}{V}$ часть сосуда. Отлив 2 литра смеси, получим $(V-2)\frac{V-2}{V}$ литров глицерина в сосуде и после доливания воды глицерин будет занимасть $\left(\frac{V-2}{V}\right)^2$ часть сосуда. После третьей операции глицерин займет $\left(\frac{V-2}{V}\right)^3$ часть сосуда, а количество глицерина в сосуде будет равно $V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3$ литров. По условию задачи воды в сосуде на 3 литра больше, то есть $V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3 + 3$. Складывая эти количество, приходим к уравнению $2V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3 + 3 = V$, открываем $V^3 - 9V^2 + 24V - 16 = 0$. Левую часть этого уравнения легко разложить на множители; уравнение примет вид

$$(V-1)(V-4)^2 = 0.$$

Отсюда следует, что $V=4$ л, так как $V=1$ л не подходит по смыслу задачи; значит, объем глицерина равен $V\left(\frac{V-2}{V}\right)^3 = 0,5$ л.

Ответ. Объем глицерина равен 0,5 л, объем воды — 3,5 л. Эта задача оказалась наиболее трудной из пятей задач, предложенных аитриентам. Хотя, как видите, она решается очень просто, лишь 7% аитриентов решили ее, а 80% не знали, что с ней делать.

4. Найти наиболее и наиболее значения функции $y = |x^2+2x-3| + \frac{3}{2}\ln x$ на отрезке [1/2; 4].

Решение. Прежде всего заметим, что один из корней квадратного трехлена $x^2+2x-3$, а именно $x=1$, принадлежит отрезку [1/2; 4]. Гогда справедлива запись

$$y = \begin{cases} -x^2-2x+3+3/2\ln x, & x \in [1/2; 1]; \\ x^2+2x-3+3/2\ln x, & x \in [1; 4]. \end{cases}$$

Производную функцию $y(x)$ можно написать в виде

$$y' = \begin{cases} -2x-2+\frac{3}{2x}, & x \in [1/2; 1]; \\ 2x+2+\frac{3}{2x}, & x \in [1; 4]. \end{cases}$$

(Обратите внимание на скобки: в точке $x=1$ производная не определена). Так как $\frac{-4x^2-4x+3}{2x} < 0$ при $x \in [1/2; 1]$ (это следует из рассмотрения корней квадратного трехлена $-4x^2-4x+3$), на отрезке [1/2; 1] функция $y(x)$ убивает. Аналогично при $x \in [1; 4]$ $y'(x) > 0$. Это означает (см. «Алгебра и начала анализа» 9) п. 54), что на отрезке [1; 4] функция $y(x)$ возрастает. Кроме того, как легко видеть, функция $y$ неверрывна при $x=1$. Значит, наименьшее значение функции на [1/2; 4] достигается при $x=1$ и равно $y(1)=0$, а наименьшее значение может достигаться только на концах отрезка [1/2; 4].

Но $y(4) = 21+3\ln 2 > y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{4} - \frac{3}{2}\ln 2$.

Ответ. Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее равно 21+3\ln 2.

Характерные ошибки: многое абитриентны не заметлики критической точки $x=1$ (где производная $y'(x)$ не существует), другие прииллим максимум функции при $x=1/2$ ($y'(1/2)=0$) за наибольшее значение (не использовав функции на другом конце отрезка). Почти никакое абитриентное не попытался нарисовать график этой функции, что избавило бы многохот от неверных ответов. 17% абитриентов справились с этой задачей, 38% не решили ее совсем.

5. Решить уравнение

$$\log_3x+7(9+12x+4x^2) + \log_2x+3(6x^2+23x+21) = 0.$$

Решение. Прежде всего заметим, что $9+12x+4x^2 = (2x+3)^2$ и $6x^2+23x+21 = (2x+3)(3x+7)$. Если обозначить $\log_3x+7(2x+3)$ через $z$, исходное уравнение можно переписать в виде $2z+1+\frac{1}{z}=4$, умножая на $z$, находим $2z^2-3z+1=0$, открывая $z_1=1/2$, $z_2=1$. Имеем $z_1=1/2 \Rightarrow \sqrt{3x+7}=2x+3$, $z_2=1 \Rightarrow 3x+7=2x+3$.

Возвода первое уравнение в квадрат, приходим к квадратному, к квадратному уравнению, корни которого $x_1=1/4$, $x_2=-2$. Корень второго уравнения $x_3=-4$. При наших преобразований множества корней могут расшириться, поэтому нужно сделать проверку; она показывает, что значения $x_2=2$ и $x_3=-4$ — построение.

Ответ. {-1/4}.

Типичные ошибки: многое запутались при попытке привести логарифмы к общему основинию, неверно преобразовали логарифмические выражения, прибрежали построение корни и затем не делали проверки. Эту задачу правильно решили 39% абитриентов. «Решения» 47% абитриентов были признаны полностью ошибочными.

Отметим, что весь вариант без ошибок решили лишь 6% абитриентов.

Отделение экономической библиотeki планирования и экономической факультета

1. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} 4\sin y - 6\sqrt{2}\cos x = 5 + 4\cos^2 y, \\ \cos 2x = 0. \end{cases}$$

2. Площадь прямоугольника $ABCD$ равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка $O$ так, что $|OB|=|OD|=13$. Найти расстояние от точки $O$ до наибольшее удаление от нее вершины прямоугольника.

3. Известно, что вклад, нахождение в банке с начала года, возвращает к концу года на определенный процент (свой для каждой банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк, а оставшуюся часть — во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной

46

670 денежным единцам, к концу следующего года — 749 денежным единцам. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во второй банк, а оставшуюся часть в первый банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 денежным единцам.

В предположении, что исходное количество денег первого первоначального целиком положено в первый банк, определять величины вклада по истечении двух лет.

4. Найти значения параметра $a$ ($a \ge 1$), при которых площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = 1$, $y = 2$ и кривыми

$$y = ax^2, \quad x \ge 0,$$

$$y = \frac{1}{2}ax^2, \quad x \ge 0,$$

будет наиболее, и найти эту площадь.

5. Решить неравенство

$$\frac{\log_5(x^2 - 4x + 11)^2 - \log_{11}(x^2 - 4x - 11)^3}{2 - 5x - 3x^2} \ge 0.$$

Факультет психологии

1. Найти все решения уравнения

$$\sqrt{2 + \sqrt{6} - (6\sqrt{2} - 2\sqrt{3})} \sin x = 2 \sin x - \sqrt{2}.$$

2. При каком значении параметра $a > 0$ площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = a\sqrt{x}$ и $y = 2 - \sqrt{x}$ и осью $OY$, будет равна числу $b$? При каких $b$ задача имеет решение?

3. Решить неравенство

$$\frac{4}{|x+1| - 2} \ge |x-1|.$$

4. Гочка $M$ равнодулена от вершин $A, B$, $C$ правильного тетраэдра $ABCD$:

$$|MA| = |MB| = |MC| = 2\sqrt{\frac{3}{2}}.$$ Известно, что отрезок $MA$ перpendикулярен высоте треугольника $BCD$, опущенной из вершины $B$. Вычислить объем тетраэдра $ABCD$.

5. Найти все точки чисел $(x; y; z)$ для которых выполяется соответствие

$$5x^2 + y^2 + 3z^2 - 2yz = 30.$$

Отделение структурной и прикладной линвистики филологического факультета

1. Даны две пересекающие окружности. К ним проведены две общие касательные, которые пересекаются в точке $A$ отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньше окружности равен $R$. Расстояние от точки $A$ до центра окружности большего радиуса равно $6R$. Гочка $A$ делит длину отрезка касательной, заключенного между точки касания, в отношении 1:3. Найти плоскольфигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

2. Решить уравнение

$$\sin \left(2x + \frac{5}{2}\pi\right) - 3 \cos \left(x - \frac{7}{2}\pi\right) = 1 + 2 \sin x.$$

3. Решить неравенство

$$\log_{1/2}(4-x) \ge \log_{1/2}2 - \log_{1/2}(x-1).$$

4. При автоматическе линни выпускают одинаковую продукцию, но имеют различную производительность. Производительность действующих линей в 1,5 раза выше производительности первого и второй линей, работающих одновременно. Сменное задание для первого линей вторая и третья линей, работа одновременно, могут выполнить на 4 часа 48 минут быстрее, чем его выполнять первая линя; это же задание вторя линя выполняет на 2 часа быстрее по сравнению с первой линей. Найти время выполнения первого линей своего сменного задания.

5. Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа, причем $\frac{m}{n}$ — правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь $\frac{3n-m}{5n+2m}$, если известно, что она сократима?

H. Болотина, B. Вильке

Физика на естественных факультах

Задачи устного экзамена

Химический факультет и отделение геофизики геологического факультета

1. Проволока изогнута так, что она состоит из двух дуг (рис. 1). Радиусы этих дуг $R_1 = 1$ и $R_2 = 2R_1$. Дуги расположены в одной вертикальной плоскости так, что их центры $O_1$ и $O_2$ лежат на одной вертикальной прямой с точки $A$ сопряжения этих дуг. На проведоку надета бусинка $B$, которая скользить по ней без треня. Бусинку помещают на небольшое по сравнению с $R_1$ расстояние от точки $A$ и отпускают. Найти время $t$, которое потребуется бусинке, чтобы достигнуть наиболее высокий сторону точки $A$.

2. Человек перемещает куб с длиной ребра $a = 1,8$ м вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 45^\circ$ с горизонтом, прикладная сили $F$ перpendикулярно грани куба и обеспечивает равномерное поступательное движение куба. На каком расстоянии $x$ от наклонной плоскости он может прикладывать силу, чтобы основание куба не отрывалось от наклонной плоскости? Козффициент треяния между поверхностями куба и наклонной плоскости $\mu = 0,2$.

3. В цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем находится газ при температуре $t = 20^\circ C$. Газ занимает объем $V = 1$ л. При увеличении температуры газа на величины $\Delta t = 10^\circ C$ поршень поднимается. Найти работу $A$, совершенную газом. Атомсферное давление $p_0 = 10^5$ Pa, трене поршня о стенки сосуда отсутствует.

Рис. 1.