Как вы думаете: сколько правильных многоугольников, вписанных в окружность единчного радиуса, имеют площадь, величины которой выражается разциональным числом? Оказывается, всего для в — квадрат и двенадцатугольник; их площади равны, соответственно, двум и трех. Очень красивое доказательство того, что площадь правильного двенадцатугольника, вписанного в единничную окружность, равна тем, принадлежит венгерскому математике, активному организатору венгерских математических олимпийд для школьников Я. Кю рш а ку (1864—1933). Доказательство следует из приводного рисунка, где квадрат со стороны 2 так разбит на правильные треугольники и равнобедренные треугольники с углами 15°, 15° и 150°, что часть из них заменивает площадь правильного двенадцатугольника, а с другой стороны, тот же набор треугольников заменяет три квадрата единничной площади. Это доказательство также является красивой демонстрацией теоремы Болья и — Гервина о том, что любые два равновелих многоугольника можно разбить на попарно конгрунтные части.
А. П.