30
С. Бельй
Разноцветная математика
«Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или позта, — совокупность идеи, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике», — говорил известный английский математик Годфри Гарольд Харди:
Рис. 1.
Однако есть и более явные связи математики с живописью: математик очень часто помогает… цвет. Да, да — цвет! Наверняка не раз на уроках геометрии ваш учитель математики использовал цветные мелки, отмечая ими конгрузные отрезки, равновеликие фигуры, одинаковые углы… Взгляните, например, на рисунок 1. Там красным цветом выделен центральный прямогольный треугольник, а красной штриховкой — еще шесть ему конгрузных. Теперь нетрудно видеть, что сумма площадей двух защитыхованных зеленым квадратов равна площади квадрата, защитыхованного сним. Доказана теорема Пифагора!
Но, оказывается, раскраска может стать даже методом решения задач.
Начнем с задачи-головоломки: найдем проход к центру лабиринта, изображенное на рисунке 2. Для этого закрасим все «тупики» лабиринта, то есть те его участки, из которых нет хода (см. рис. 3). Тогда то, что останется незакрашенным, и будет искомым путем. Попробуйте испытыть этот метод на лабиринте, изображенное на рисунке 4. Укажите все пути, ведущие к центру; подсчитайте, сколько их и найдите самый короткий.
31
Следующий пример называет объект конем всего шахматную доску и вернуться на исходное поле. У нее много различных решений. А вот можно ли обойти доску другой формы? Например, прямогольную доску размером 7×9 полей? Оказывается, нельзя. И доказать это нам опять помогет «раскраска».
Раскраска доску размером 7×9 полей «в шахматном порядке», начиная с углового поля: черное поле, белое поле, черное поле, белое поле, … Тогда все угловые поля доски будут черными; более того, черных полей будут 32, а белых — 31 (по чему?). Но после каждого хода конем меняет цвет поля, на котором он стоял. Поэтому если бы конь обошел все поля доски и вернулся на исходное поле, то он побивал бы на одинаковом количестве черных и белых полей. Поскольку на нашей доске черных полей больше, чем белых, хотя бы одно черное поле остanetся непосещенным нашим конем-путешественником.
Ну, а можно ли обойти конем доску размером 4×8 полей? Оказывется, тоже нельзя. Красивое доказательство этого факта получается, если раскрасть эту доску уже не в два, а в четыре цвета — как на рисунке 5.
Заметим, что с полей синнего цвета конь может попасть только на поля желтого цвета и наоборот — на поля синнего цвета он может попасть только с полей желтого цвета. Поэтому на пути коня синее поле должен представовать желтому полю и непосредственно следовать за желтым: …ж — с — ж — с — ж… (см. рис. 6).
С полей же желтого цвета конь может перейти еще на поля зеленого цвета. С другой стороны, если конь перейдет с желтого поля на зеленое, то для того чтобы перейти на поле синнего цвета, ему предварительно придется pobывать на поле желтого цвета. Отсюда следует, что в замкнутом маршруте число желтых полей превозходит число синих (понять это вам помогет рисунок 6!). Но поскольку в действительности число желтых и синих полей одинаково,
32
полученное противоречие доказывает, что обойти конем доску размером 4×8 полей невозможно.
Еще один пример: можно ли куб размером 6×6×6 сложить из 27 «крипичей» размером 1×2×4?
Будем считать, что куб 6×6×6 составлен из 27 «блоков» размером 2×2×2, раскрашенных в синей и белый цвета и расположенных в «шахматном порядке» (рис. 7); пусть при этом будет 14 синих «блоков» и 13 белых «блоков». Тепер заметим, что как бы мы ни располагали «крипич» 1×2×4 внутри большого куба, половина составляющих его единичных кубков (1×1×1) оказется синими и половина — белыми. Поэтому если куб размером 6×6×6 можно было сложить из 27 крипичей 1×2×4, то при «шахматной укладке» этого куба «блоками» 2×2×2 в нем белых единичных кубков было бы столько же, сколько синих. На самом же деле у нас 108 белых единичных кубков и 112 — синих. Поэтому куб 6×6×6 из 27 крипичей 1×2×4 сложить нельзя.
После всего расскаzanного вы уже не удивитесь, узнать, что в математике существует много задач и теорем о различных раскрасах. Найболее знаменитая из них — проблема четырех красок*), состоявшая в том, чтобы доказать или опровергнуть следующую гипотезу:
*) О проблемы четырех красок см. «Квант»: 1972, № 4, c. 33; 1974, № 2, c. 58; 1974, № 4, c. 23 и 1977, № 1, c. 60.
Рис. 7.
«Любую карту на плоскости можно раскрасть не более чем в четыре цвета так, чтобы любые две сеседные страны были раскращены в разные цвета» (страны считаются сеседными, если они имеют общий участок границ); страны, имеющие лишь отдельные общие точки, сеседными не считаются). Впервые об этой задаче упомянут в письме к Гамильтону англійский математик Де Морган (1852 г.). Затем ее сформировал с трибуньы Британского географического общества выдающийся английский математик Артур Кэлли (1878 г.). С тех пор проблемы четырех красок «переболели»ться либителей и математиков. Почти сто лет она казалась непритупной. В результате многоолетней кропотливой работы было доказано, что любая карта, содержащая не более 41 страны, может быть раскрашена в четыре цвета требуемым образом; но это, конечно, далеко не решало все проблемы. Лишь совсем недавно, в сентябре 1976 года, в журнале Американского математического общества «Bulletin of American Mathematical Society» появилось сообщение американских математиков Апелья и Хакена, доказавших значенияго гипотезу (замечательно, что в доказательстве «принимала часть», и весма существенное, ЭВМ).
Вместе с тем еще в конце XIX века было установлено, что любую карту на плоскости можно правильно раскрасть пятью красками («правильно» означает — так, чтобы никакие две сеседные страны не были окрашены в один цвет). Попробуйте найти самостояльное доказательство этого факта. Но вначале — позкериментируйте.
- Нарисуйте карту из четырех странах, которое нельзя было правильно раскрасть двумя или трех красками.
- Проведите несколько пряных; доказите, что образуемую ими карту можно правильно раскрасть двумя красками.