О числе π

47

О числе П

Что легче, что предпочтательнее — угадать верный ответ математической задачи, потом строго доказать его или искать его в полном неведении? Предпочтательнее, разумется, первое. Догадку облегчают удачные преобразования. Забавный пример

$$S = \pi R^2$$

таких преобразований демонстрирует помещенный здесь рисунок. Представьте себе, читатель, что вы еще не знаете, как выражается площадь круга через его радиус. Пробуем угадать соответствующее формулу. Разрежем круг на дванадцать равных секторов и каждой сектор обрежем до треугольника, от

$$3R^2$$

брасывая сегменты, как обозначено на рисунке красным. Каждый четвертый из получившихся треугольников разрежем на один равносторонний и два равнобедренных треугольника, как показано на рисунке. Из получившихся треугольников сложим три квадрата со стороны, равной радиусу круга $R$. Итак, приближенно, с точностью до отброшенных сегментов, площадь круга равна $3R^2$. Учет отброшенных сегментов заставляет взять в этой формуле чуть больший коэффициент перед $R^2$. Какое число, чуть большое трех и относшее к кругу, могло бы здесь пригодиться? Конечно, $π = 3,14...$. Вот мы и угадали формулу для площади круга с радиусом $R$ — вот она: $S = πR^2$.

Строости ради этого бы оценить суммарную площадь сегментов, приближенно равную, согласно нашей договора, $0,14R^2$. Как показано на рисунке, заменим сегмент треугольником ACD. Площадь такого треугольника равна произведению $2AB \cdot BD$, сомножителя легко выражаются, через тригонометрические функции угла $α$, а их в свою очередь можно оценить, учтя, что синус малого угла приближенного равен самому углу, выраженной в радианной мере. Выкладки, приведенные рядом с рисунком, дают с точностью до двух знаков после запятой величины $0,11R^2$, весма близку к окидаемой. После этого у нас есть основания полагать, что площадь круга с радиусом $R$ действительно равна $πR^2$.

Ю. Побожий

$$π = 3,1415926535897932384626433832$$