Что значит «знать»?

35

$x = a_3$ функция $f$ имеет разрыв. При $x$, стремящемся к $a_4$, функция $f$ также имеет предел: $\lim_{x \to a_4} f(x) = b_4$, причем $b_4 = f(a_4)$. Говорят, что в точке $a_4$ функция $f$ непрерывна. Существует предел функции $f$ и при $x$, стремящемся к $a_5$: $\lim_{x \to a_5} f(x) = b_5$, хотя функция $f$ в этой точке не определяна, $a_5 \notin D(f)$.

Вот примерное все, что нужно знать об определении предела функции.

Теперь уже можно ответить на вопрос — что значит знать определение. Знать определение — это не только уметь правильно его формулировать, но и уметь проиллюстрировать его на рисунке или на примере, показать в работе, применить на практике. Вот с такой «меркой» к знанию определения и подходит экзаменаторы на вступительных экзаменах.

А что значит — знать теорему? Прежде всего, надо правильно ее формулировать. Далее: надо знать смысл всех терминов, встречающих в формулировке теоремы, уметь разяснить и определить их. Ведь прежде чем доказать теорему о свойств некоторых математического объекта, надо, конечно, понимать, что это объект. Например, невозможно доказать теорему о произвольной суммы двух функций, не зная определения произвольной.

Очень полезно также уметь привести пример, проверяющий утверждение, полученное из теоремы от

Рис. 4.

брасыванием какого-нибудь из ее условий.

Упражнение 1. Опровергиите теоремы:
a) если последовательность monotonна, то она имеет предел;
b) если последовательность ограничена, то она имеет предел*).

Teoreмы, содержащие необходимые и достаточно условия, надо уметь расчленять на две: чтобы одна выражала необходимость условия, а другая — его достаточно.

Упражнение 2. Проделяйте такое операцию со следующей теоремой**): функция является обратимой тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз.

*) См. теорему Вейерштрасса («Алгебра и начала анализа» 9), п. 31).
**) «Алгебра и начала анализа» 10», c. 170.

О диофантовом анализе

(Начало см. на с. 16)

Легко сообщить, что в уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$ число $x$ — нечетное, $x \ge 3$. Пусть $x = 2n + 1$ ($n \ge 1$). Тогда $2n(n + 1) = y^2$, откуда следует, что $y$ — число четное. Положим $y = 2m$ ($m \ge 1$, поскольку $y \ge 2$). Положим $n(n + 1) = 2m^2$, то есть уравнение вида $T_n = K_m$. Это означает, что уравнение $T_n = K_m$ имеет бесконечное множество решений, так как каждое решение $(x; y)$ уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$ (а их бесконечное множество) порождает решение уравнения $T_n = K_m$, получаем по формулам $n = \frac{x - 1}{2}$, $m = \frac{y}{2}$.

Задача 5. Докажите, что решения (в натуральных числах) уравнения $T_n = K_m$ могут быть описаны следующими двумя способами:

a) $n_{k+1} = 3n_k + 4m_k + 1$,
$m_{k+1} = 2n_k + 3m_k + 1$,
$n_1 = 1$, $m_1 = 1$;
b) $n_{k+2} = 6n_{k+1} - n_k$,
$m_{k+2} = 6m_{k+1} - m_k$,
$n_1 = 1$, $n_2 = 8$, $m_1 = 1$, $m_2 = 6$.