Задачи М666—М670; Ф678—Ф682

22

Задачи

M666—M670; Ф678—Ф682

M666. Докажите, что наименьшее общее кратное $n$ натуральных чисел $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ не меньше $na_1$.

A. Разборов

M667. Постройте треугольник $ABC$, если заданы его наименьший угол $\widehat{A}$ и отрезки длины $d = |AB| - |BC|$ и $e = |AC| - |BC|$.

H. Васильев

M668*. Последовательность $(x_i)$ определяется условиями

$$x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 2, x_{n+1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}$$

Докажите, что для любого натурального $m$ найдется два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на $m$.

G. Козлов

M669. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажите, что

a) отрезок, соединяющий середины угла $AB$ и $CD$, перpendикулярен отрезку, соединяющий угол $BC$ и $AD$;

b) центры окружностей, вписанных в треугольники $ABC, BCD, CDA$ и $DAB$, являются вершинами прямогоугольника.

K. Малхасян, И. Герман

M670*. а) Дано несколько точек, неоторные пары которых соединены линями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальной момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту проискодит одновременное перекрашивание точки по следующему правилу: каждая точка, у которой большество соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняет.

Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точки нет неудет меняться, а у некоторых точки такая же变化.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагается, что у каждой точки число соседей нечетно?

O. Козлов