Закон сохранения энергии для тепловых процессов

44

Закон сохранения энергии для тепловых процессов

При решении задач, связанных с рассмотрением тепловых процессов, важнейшую роль играет закон сохранения и превращения энергии, называемый термодинамики:

$$Q = \Delta U + A.$$

Здесть $Q$ — количество теплоты, переданное системе, $\Delta U$ — изменение ее внутренней энергии и $A$ — работа, совершаемая система против внешних сил. (В учебном пособии «Физика 9» эта работа обозначена $A'$, для краткости мы «штрих» будем опускать.)

Внутренняя энергия $U$ является функцией термодинамических параметров (давления $p$, объема $V$ и температуры $T$), описывающих состояние системы, но не зависит от того, каким образом это состояние возникло. Например, для одноатомного идеального газа

$$U = \frac{m}{\mu} \frac{3}{2} RT,$$

где $m$ — масса газа, $\mu$ — его молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(моль·К).

Работа $A$, совершаемая система, зависит, разумеется, от характера теплового процесса. Так, при небольшом изменении объема $\Delta V$ (когда давление можно считать постоянным)

$$A = p\Delta V.$$

Термодинамические параметры системы не являются независимыми переменными, они связаны уравнением состояния. В случае идеального газа это уравнение Менделеева — Клапейрона

$$pV = \frac{m}{\mu} RT.$$

Рассмотрим некоторые типные задачи на тепловые процессы, предлагавшие на вступительных экземпах.

Задача 1 (МЭИ, 1978 г.). Над одним молем идеально газа совершают тепловой процесс, изобразенный на рисунке 1. Как менялась температура газа на участках 1—2, 2—3, 3—1? На каких участках газ получал, а на каких отдавал тепло?

Для учаска 1—2 зависимость давления от объема — линейная: $p = \alpha V$ (α — некоторый постоянный коэффициент). Из уравнения Менделеева — Клапейрона в этом случае имеем

$$\alpha V^2 = RT.$$

Это означает, что температура газа возвращается объема и его внутренняя энергия увеличивается: $\Delta U > 0$. Кроме того, газ совершал положительный работу по расширению: $A > 0$. Из первого закона термодинамики следует, что количество теплоты

$$Q_{1-2} = \Delta U + A > 0$$

— на учаске 1—2 газ получал тепло.

На учаске 2—3 $V_2 = V_3 = const$, то есть работа газом не совершалась: $A = 0$. Давление газа падало: $p_3 < p_2$; значит, $T_3 < T_2$ и $\Delta U < 0$. Поэтому на учаске 2—3 газ отдавал тепло: $Q_{2-3} < 0$.

На учаске 3—1 $p_1 = p_3 = const$, объем газа уменьшался от $V_3$ до

46

мальных условий, переводят в состояние с вдвое большими объемом и давлением. Процесс перевода следует из двух участков — изобары и изохоры. Какое количество теплоты было подведено к газу? Телюемкость газа $C_V = 21$ Дж/(моль·К).

Изображим рассматриваемый процесс в координатах $p, V$ (рис. 3). На участке 1—2 давление остается постоянным, а объем возрастает в два раза ($V_2 = 2V_1$). Согласно закону Гей-Люссака, температура в точке 2 будет $T_2 = 2T_1$. На участке 2—3 сохраняется постоянным объем газа, но вдвое увеличается давление. По закону Шарля температура в точке 3 будет равна $T_3 = 2T_2 = 4T_1$.

Зная температуры газа в точках 1, 2, 3 (по условиям в точке 1 газ находится при нормальных условиях, то есть $T_1 = 273$ К), нетрудно найти подведенное к газу количество теплоты:

при изобарном процессе 1—2 газ получил количество теплоты

$$Q_1 = C_p(T_2 - T_1) = (C_V + R)T_1;$$

при изохорном процессе 2—3 газу сообщили количество теплоты

$$Q_2 = C_V(T_3 - T_2) = 2C_VT_1;$$

полное количество теплоты, подведенное к газу, равно

$$Q = Q_1 + Q_2 = (3C_V + R)T_1 \approx 20 \text{ кДж.}$$

Задача 4 (МЭИ, 1977 г.). Один mole газа распирается так, что его объем во время процесса пропорционален давлению: $V = \alpha p$. Давление газа увеличается от $p_1$ до $p_2$. Найдите коэффициент $\alpha$, если теплоемкость моля газа при постоянном объеме равна $C_V$ и во время

процесса газу сообщается количество теплоты $Q$.

Используя первое начало термодинамики, запишем

$$Q = \Delta U + A.$$

Изменение внутренней энергии газа

$$\Delta U = C_V \Delta T,$$

где $\Delta T$ — изменение температуры. В случае процесса, при котором $V = \alpha p$, уравнение газового состояния имеет вид $a^2 = RT$. Тогда

$$\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{\alpha}{R} (p_2^2 - p_1^2)$$

и

$$\Delta U = \frac{C_V \alpha}{R} (p_2^2 - p_1^2).$$

Для нахождения работы $A$, совершенной газом, удобно использовать графический метод (рис. 4): работа равна площади защитыхованной области, то есть

$$A = \frac{p_1 + p_2}{2} (V_2 - V_1) = \alpha \frac{p_2^2 - p_1^2}{2}.$$

Таким образом,

$$Q = \Delta U + A = \left( \frac{C_V}{R} + \frac{1}{2} \right) \alpha (p_2^2 - p_1^2).$$

Решая это уравнение относительно $\alpha$, получаем

$$\alpha = \frac{Q}{(C_V/R + 1/2) (p_2^2 - p_1^2)}.$$

Задача 5 (МФТИ, 1980 г.). При одинаковом изменении температуры коллективства теплоты, подведенные к одной и той же порции идеального газа один раз при постоянном давлении, а другой раз при постоянном объеме, отличия на $\Delta Q = 7$ Дж. Определите изменение внутренней энергии газа при этих процесах. Коэффициент пропорциональности $C_V$ между температур-

47

рой и внутренней энергии одного моля данного газа равен 20,75 Дж/(моль·К), газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль·К).

Внутренняя энергия определяенной порции идеального газа зависит только от его температуры, поэтому ее изменение в обихх процесах будет одинаковым и равным ΔU=vC_VΔT, где v — число молей газа, ΔT — изменение его температуры.

Количество теплоты, подведенное к газу при изохорном процессе, равно

$$Q_1 = vC_VΔT,$$

а количество теплоты, подведенное при изобарном процессе, равно

$$Q_2 = vC_pΔT = v(C_V + R)ΔT.$$

Значит,

$$\Delta Q = Q_2 - Q_1 = vRΔT,$$

откуда находим

$$\Delta U = \frac{\Delta Q C_V}{R} \approx 17 \text{ Дж.}$$

Циклические тепловые процессы лежат в основе работы тепловых машин, важной характеристикой которых является коэффициент полезного действия (КПД). Расмотрим задачу на расчет этой величины.

Задача 6 (физическая факультет МГУ, 1976 г.). Телловая машина имеет КПД η=40%. Каким станет КПД машины, если количество теплоты, потребляемое за цикл, увеличится на 20%, а количество теплоты, отдаваемое холодильнику, уменьшится на 10%?

По определению коэффициент полезного действия равен отношению работы A, совершаемой тепловой машиной за цикл, к величины получаемого его количество теплоты Q_n. Из закона сохранения энергии следует, что совершаемая работа равна значности получаемого количество теплоты и количество теплоты Q_от, отдаваемого тепловой машиной холодильнику. Таким образом,

$$\eta = \frac{A}{Q_n} = \frac{Q_π - Q_{от}}{Q_n} = 1 - \frac{Q_{от}}{Q_n}.$$

Отсюда нетрудно найти, что вначале, когда КПД машины составлял 40%, относение Q_{от}/Q_n было равно 0,6. Затем, по условию задачи, коэффициент полезного действия равен 20%, то есть стало равным Q’_n=1,2Q_n, а отдаваемое холодильнику количество теплоты уменьшилось на 10%, то есть стало равным Q’от=0,9Q{от}. Значит, новое значение КПД

$$\eta' = 1 - \frac{Q'_{от}}{Q'_n} = 1 - \frac{0,9Q_{от}}{1,2Q_n} = 0,55.$$

Мы нашли, таким образом, что КПД тепловой машины увеличился и стал равным 55%.

У праванения

1. В цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем находится газ при температуре t=20°C. Газ занимает объем V=1 л. При увеличении температуры газа на Δt=10°C поршень поднимается. Найдите работу A, совершенную газом. Атмосферное давление p_0=10^5 Па, треннее поршня о стенки сосуда отсутствует.

2. Какое количество теплоты необходимо подвести молю идеального газа при нагревании его на 1°C в тепловом процессе, в котором давление p и объем V связаны соотношением p=αV, где α — некоторая постоянная. Молярную тепломкость газа при постоянном объеме C_V приять равной 5/2R.

3. Некоторые масса газа имеют давление p_0, объем V_0 и температуре T_0. Затем газ при постоянном объеме нагревают до температуры T_1=2T_0, после этого происходит расширение газа при постоянном давлении до объема V_2=4V_0. Из получившегося состояния газа возвращают к начальному (p_0, V_0, T_0), причем так, что во время этого процесса pV^n = const. Определите n.

4. На рисунке 5 изображен график циклического теплового процесса в координатах p, V. Участики 2-3 и 4-1 соответствуют изотермическим процессам. Определите, как менялась температура идеального газа. На каких участиках газ отдавал, а на каких поглощал тепло?

5. Термература неокторой массы m идеального газа с молярной массой μ меняется по закону T=αV^2, где α — постоянная величина. Найдите графики работы, совершаемую газом при увеличении объема от V_1 до V_2. Поглощается или выделяется при этом тепло?