Логарифмические уравнения

40

Логарифмические уравнения

На вступительных экзаменах часто встречаются уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма. Такие уравнения принято называть логарифмическими.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида $\log_a x = b$. Если $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$, оно имеет единственный корень $x = a^b$.

В дальнейшем мы часто будем пользоваться следующими свойствами логарифмов:

$$\log_a xy = \log_a x + \log_a y,$$

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,$$

$$\log_a x^\alpha = \alpha \log_a x,$$

$$\log_a x^\beta = \frac{1}{\beta} \log_a x,$$

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

(здесь всюду $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $b \neq 1$, $x > 0$, $y > 0$). Полезно также запомнить такой частный случай формулы (5):

$$\log_a x = \frac{1}{\log_x a}.$$

Рассмотрим теперь некоторые распространенные типы логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

$$\log_4 x + \log_1 x + \log_8 x^3 = 5.$$

Решение. Пользовать свойством (4), приведем все логарифмы к основанию 2; учитывая свойство (3), получим

$$\frac{1}{2} \log_2 x - \frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x = 5,$$

откуда $\frac{5}{4} \log_2 x = 5$, $\log_2 x = 4$, $x = 16$.

Ответ. {16}.

Иногда после некоторых преобразований уравнения удается привести к виду

$$f(\log_a x) = 0.$$

Решение уравнения (6) после замены $y = \log_a x$ и отыскания корней уравнения $f(y) = 0$ совпада к решению простейших уравнений $\log_a x = y$. Поэтому главная задача — найти преобразования, приводящие исходное уравнение к уравнению вида (6).

Пример 2 (МИИГАиК, 1977). Решить уравнение

$$(\log_x 9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4.$$

Решение. Переходя к логарифмам по основанию 3, получим равносильное уравнение

$$\frac{\log_3 9x^2}{\log_3 x} \cdot \log_3^2 x = 4,$$

откуда $(2 + 2 \log_3 x) \cdot \log_3 x = 4$. Полягая $y = \log_3 x$, приходим квадратному уравнению $y^2 + y - 2 = 0$, откуда либо $y = -2$, либо $y = 1$. Осталось решить простейшие уравнения $\log_3 x = -2$ и $\log_3 x = 1$.

Ответ. $\left\{ \frac{1}{9}, 3 \right\}$.

Пример 3. Решить уравнение

$$x^{\lg x} = 10^2 \lg^2 x - 3 \lg x + 2.$$

Решение. Здесь $x$ стоит под знаком логарифма, и поэтому $x > 0$. Логарифмируя левую и правую части по основанию 10, получаем равносильное уравнение

$$\lg^2 x = 2 \lg^2 x - 3 \lg x + 2.$$

Полягая $y = \lg x$, приходим квадратному уравнению $y^2 - 3y + 2 = 0$, имеющему корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.

Ответ. {10, 100}.

Довольно часто встречаются также уравнения вида

$$\log_a f(x) = g(x)$$

или уравнения, приводящие к виду (7).

Уравнение (7) равносильно (при $a > 1$, $a \neq 1$) уравнению $f(x) = a^{g(x)}$.

41

Пример 4. Решить уравнение
$$\log_3(4 \cdot 3^{x-1}-1) = 2x-1.$$
Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
$$4 \cdot 3^{x-1}-1 = 3^{2x-1}.$$
Сделав замену $y=3^x$, приdem к квадратному уравнению
$$y^2-4y+3=0;$$
решая его, находим $y_1=1, y_2=3.$
Ответ. {0,1}.
Уравнение вида
$$\log_{g(x)}f(x)=a$$
(8)
равносильно системе
$$\begin{cases} f(x)=[g(x)]^a, \\ g(x)>0, \\ g(x)\neq 1. \end{cases}$$

Пример 5 (МГУ, геолог. ф-т, 1966). Решить уравнение
$$\log_{(x+1)}(x^2+x-6)^2=4.$$
Решение. Уравнение равносильно системе
$$\begin{cases} (x^2+x-6)^2=(x+1)^4, \\ x+1>0, \\ x+1\neq 1. \end{cases}$$
Имеем $(x^2+x-6)^2-[(x+1)^2]^2=0$, откуда
$$[x^2+x-6+(x+1)^2][x^2+x-6-(x+1)^2]=0,$$
так что уравнение этой системы равносильно такому:
$$(2x^2+3x-5)(x+7)=0,$$
откуда $x_1=1, x_2=-\frac{5}{2}, x_3=-7.$
Системе удовлетворяет лишь значение $x=1$.
Ответ. {1}.
В некоторых случаях после преобразования исходное уравнение приводится к виду
$$\log_a f(x)=\log_a g(x).$$
(9)
Легко видеть, что всякий корень уравнения (9) удовлетворяет системе
$$\begin{cases} f(x)=g(x), \\ f(x)>0. \end{cases}$$

Наоборот, если $x_0$ — решение системы (9’), то $\log_a f(x_0)=\log_a g(x_0)$, так что всякое решение системы (9’) удовлетворяет и уравнению (9). Таким образом, уравнение (9) равносильно системе (9’).

Пример 6. Решить уравнение
$$\log_8(7x^2-5x-6)=2\log_4\sqrt{3x-1}.$$
Решение. Приводя логарифммы к основанию 2, получим после упрощенной равносильное уравнение
$$\log_2(7x^2-5x-6)=\log_2(3x-1),$$
которое равносильно системе
$$\begin{cases} 7x^2-5x-6=3x-1, \\ 3x-1>0. \end{cases}$$
Решая систему, получим
$$x=\frac{4+\sqrt{51}}{7}$$
($3x_2-1<0$).
Ответ. $\{\frac{4+\sqrt{51}}{7}\}$.

Отметим теперь некоторые ошибки, допускаемые уащимся при решении логарифмических уравнений.
Чаще всего эти ошибки былиют связаны с неправильными применениями формул для логарифмирования произведения, дроби и степени.
Например, решая уравнение из примера 5, неокоторые школьники пишут вот что:
«Из условия следует, что $2\log_{(x+1)}(x^2+x-6)=4$, откуда $x^2+x-6=(x+1)^2$ или $x=-7$. Но $x=-7$ не удовлетворяет исходному уравнению, и поэтому оно корней не имеет».
Причиной потери корня $x=1$ послужило применение формулы
$$\log_a x^2=2\log_a x,$$ которая верна лишь при $x>0$. В нашем же случае выражение $x^2+x-6$ при $x=1$ отличается.
Здесь следовало бы воспользоваться формулой $\log_a x^2=2\log_a|x|$, которая верна при всех $x \neq 0$.
Еще один пример. Решая уравнение
$$\log_2[(x+1)(x-3)]=2\log_4(x+8)-\log_1[(x+1)(x-5)],$$
ученик привед его к виду
$$\log_2(x+1)+\log_2(x-3)=\log_2(x+8)+\log_2(x+1)+\log_2(x-5),$$
или
$$\log_2(x-3)=\log_2[(x+8)(x-5)].$$
(10)
После этого он получил квадратное уравнение $x^2+2x-37=0$, откуда наше $x_1=-1+\sqrt{38}, x_2=-1-\sqrt{38}$.

42

Второй корень ученик отбросил как не удовлетворяющий уравнению (10) и получил ответ $x = -1 + \sqrt{38}$.

В чем здесь ошибка? Формула $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$ верна лишь при $x > 0$ и $y > 0$. Поэтому при логарифмировании произведение и произведение потеря корня $x = -1 - \sqrt{38}$, который, на самом деле, исходному уравнению удовлетворяет.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что исходное уравнение равносильно системе
$$\begin{cases} \log_2(x+1)(x-3) = \\ = \log_2(x+8)(x+1)(x-5), \\ x+8 > 0, \end{cases}$$

$$\begin{cases} (x+1)(x-3) = \\ = (x+8)(x+1)(x-5), \\ x+8 > 0, \\ (x+1)(x-3) > 0. \end{cases}$$

Решения последней системы — $\{-1 - \sqrt{38}, -1 + \sqrt{38}\}$.

Применение формул $\log_a u^2 = 2\log_a u$ и $\log_a uv = \log_a u + \log_a v$ «справа налево», вообще говоря, приводит к расширению области определения уравнения, что может повлечь за собой прибегение построенных корней. В тех случаях, когда корни полученного уравнения достаточно просты и проверка не обременителяна, вовсе не обязательно выписать системы уравнения и неравенств. Можно переодить к уравнением-clадствям и в конце решения делать проверку.

Пример 7. Решить уравнение $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) + \log_{\frac{1}{2}}(x+1) - \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}(7-x) = 1$.

Решение. Переход к логарифмам по основанию 2 и переоснащать слагаемых в правую часть, приходим к уравнению
$$2\log_2(7-x) = \\ = 1 + \log_2(x-1) + \log_2(x+1),$$
откуда получаем уравнение-clадствие
$$(7-x)^2 = 2(x^2-1),$$
или
$$x^2 + 14x - 51 = 0.$$
Корни этого квадратного уравнения $x_1 = 3, x_2 = -17$.

Второй корень, очевидно, не удовлетворяет данному уравнению. Подставляя в него значение $x = 3$, убеждаемся, что $x = 3$ — действительное его корень.

Ответ. {3}.

Наконец, приведем еще пример того, как учащиеся теряют корни при использовании формулы перехода к другому основанию.

Пример 8. Решить уравнение $\log_{2x}x + \log_{8x^2}x = 0$.

«Решение». Переход к основанию $x$, получим
$$\frac{1}{\log_x 2 + 1} + \frac{1}{2 + 3\log_x 2} = 0.$$
Положив $y = \log_x 2$, получим уравнение
$$\frac{1}{y+1} + \frac{1}{3y+2} = 0.$$
Это уравнение имеет корень $y = -\frac{3}{4}$. Поэтому $\log_x 2 = -\frac{3}{4}$, откуда
$$x_1 = 2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{2^3\sqrt{2}}.$$
Значение $x = \frac{1}{2^3\sqrt{2}}$ удовлетворяет уравнению. Однако легко видеть, что и значение $x = 1$ является его корнем. В чем же дело?

Корень $x = 1$ был потерян при переходе к основанию $x$, поскольку к основанию $x$, поскольку к основанию $x$, поскольку при остальных $x$ решать так, как это и было сделано.

Ответ. $\{1, \frac{1}{2^3\sqrt{2}}\}$.

Вообще говоря, лучше избегать переходов к основаниям, зависящим от $x$. Если же приходит переход к таким основаниям, то нужно очень внимательно следить за тем, при каких $x$ преобразование возможно, и проверять приемой подстановкой в исходное уравнение те значения $x$, при которых основание равно 1 или отрицательно.

Так, решая последнее уравнение, лучше перейти к основанию 2. В результате получим

43

$$\frac{\log_2 x}{1 + \log_2 x} + \frac{\log_2 x}{2 + 3 \log_2 x} = 0,$$
или, после замены $y = \log_2 x$,
$$\frac{y}{1 + y} + \frac{y}{2 + 3y} = 0.$$

Решая это уравнение, найдем корни $y_1 = 0, y_2 = -\frac{4}{3}$, после чего без труда получим решение этой Equation.

Теперь рассмотрим две задачи, при решении которых используются свойства monotonности неокоторых функций.

Пример 9. Решить уравнение $\log_5(x + 3) = 3 - x$.

Решение. Легко проверить, что $x = 2$ является корнем данного уравнения. Других корней оно, очевидно, не имеет, поскольку функция $\log_5(x + 3)$ возвращает во всей своей области определения, а функция $y = 3 - x$ — убивает.

Ответ. {2}.

Пример 10. Решить уравнение $(x + 1)\log_3^2 x + 4x\log_3 x - 16 = 0$.

Решение. Положим $y = \log_3 x$ и решим относительно $y$ квадратное уравнение $(x + 1)y^2 + 4xy - 16 = 0$.

Получаем $y = \frac{4}{x + 1}$, либо $y = -4$. Осталось решить два уравнения:

$$\log_3 x = \frac{4}{x + 1} \text{ и } \log_3 x = -4.$$

Второе из этих уравнений легко решается, а для решения первого достаточно заменить, что $x = 3$ удовлетворяет уравнению и функция, стоящая в левой части, возвращает при $x > 0$, а функция, стоящая в правой части, — убивает.

Ответ. $\left\{\frac{1}{81}; 3\right\}$.

В заключение рассмотрим уравнение, которое решается из других соображений.

Пример 11. Решить уравнение $3x^2 - 2x^3 = \log_2(x^2 + 1) - \log_2 x$.

Решение. Правая часть уравнения определяна при $x > 0$ и равна $\log_2\left(x + \frac{1}{x}\right)$. Поскольку $x + \frac{1}{x} \geq 2$ при $x > 0; \log_2\left(x + \frac{1}{x}\right) \geq 1$. С другой стороны, $3x^2 - 2x^3 \leq 1$ при $x > 0$ (в этом можно убедиться, например, исследовать функцию с помощью произвольной). $\log_2\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1$ при $x = 1$. Поскольку $3x^2 - 2x^3$ тоже равно 1 при $x = 1$, левая часть равна правой только при $x = 1$.

Ответ. {1}.

Упражнения
Решите уравнения:

1. $\log_4 x + \log_2 x + 2\log_16 x = 5$.
2. (МГУ, геология. Ф-т, 1974)
   $$\log_{16}(x^2 - 2x - 3)^2 - 2\log_{16}(x^2 + x - 2) = \frac{1}{2}.$$
3. (МГУ, ф-т почвоведения, 1974)
   $$\left[(\log_2 x)^2 + 2\log_1/2 \frac{1}{2\sqrt{2}}\right]\left(3\log_8 x - 1\right) = \left(\log_2 x\right)^2.$$
4. (МГУ, эконом. Ф-т, отделение политэкономии, 1979)
   $$\log_{(3 - 4x^2)}(9 - 16x^4) = 2 + \frac{1}{\log_2(3 - 4x^2)}$$
5. (МГУ, ф-т психологии, 1978)
   $$\left(\log_3 \frac{3}{x}\right)\log_2 x - \log_3 \frac{x^3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \log_2 \sqrt{x}.$$
6. (МГУ, эконом. Ф-т, отделение эконом. книберники, 1978)
   $$3 + \frac{1}{\log_3 \frac{x}{2}} = \log_2\left(\frac{75x}{4} - \frac{11}{x}\right).$$
7. (МГУ, эконом. Ф-т, отделение политэкономии, 1979)
   $$\log_{(2x + 1)}(5 + 8x - 4x^2) + \log_{(5 - 2x)}(1 + 4x + 4x^2) = 4.$$
8. (МВТУ, 1979)
   $$0,5\lg(2x - 1) + \lg\sqrt{x - 9} = 1.$$
9. (МГУ, ф-т почвоведения, 1979)
   $$x^2\log_6\sqrt{5x^2 - 2x - 3} - x\log_1/6\left(5x^2 - 2x - 3\right) = x^2 + 2x.$$
10. (МГУ, химфак, 1972)
    $$\log_{(x^2 + 6x + 8)}(\log_{(2x^2 + 2x + 3)}(x^2 - 2x)) = 0.$$
11. (МГУ, физифак, 1975)
    $$6\log_1/6\left(x + 3\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\log_4(x^2 + 5x + 12).$$
12. $\log_2^2 x + (x - 1)\log_2 x = 6 - 2x.$
13. $3^x = 10 - \log_2 x.$
14. $\log_{0,5}x^2 - 14\log_{16}x^3 + 40_4x\sqrt{x} = 0.$