32
Играют полифигуры
В «Кваните» (1978, № 11, с. 37) уже рассматривались группы коней, живущих на (бесконечной) шахматной доске по закону взимной зашиты. Напомним, что набор коней, занимающий определенную позицию, называется активным экладроном, если, передвигая их (на каждом ходу по шахматным правилам передвигается какой-нибудь из коней набора), мы можем достичь одним из коней любого направления заанного поля, причем как в начальной момент, так и после каждого хода любой конь зашищен, по крайней мере, один конем из набора. Пример активного экладрона из пятей коней показан на рисунке 1 (доказательство — «Квант», 1978, № 12, с. 61).
Естественный обобщением активного экладрона является полифигура Π(n,k)—набор из n одинаковых фигур, передвигая которые (на каждом ходу по шахматным правилам передвигается какая-нибудь из фигур набора), мы можем достичь одной из фигур любого направления заанного поля, причем как в начальной момент, так и после каждого хода, любая фигура зашищена, по крайней мере, k фигурами из набора*). Для коней соответствующая полифигура будет называться экладроном Э(n,k) (например, активный экладрон на рисунке 1 — это Э(5,1)), для королев — кланом K(n,k), для ферзей — фраクцей Ф(n,k) и для ладей — люоЙ Л(n,k).
Задача 1. Докажите, что лиза, фраクцей, экладрон и клан возможны только при k=1, k≤3, k≤2 и k≤2 соответственно.
На рисунке 2 показаны Л(3,1), Ф(2,1), Ф(3,2),
*) При этом фигуры считаются «непрозрачными»: наprimер, две ладьи Ла2 и Ла3 зашищают ладью Ла1 не двукратно, а однократно.
Рис. 1.
Л (3,1)
Ф (3,2)
К (2,1)
Рис. 2.
К (4,2)
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
K(2,1) и K(4,2). Легко проверить, что при фиксировании k эти полифигуры минимальны по n (по количеству фигур).
На рисунке 3 показана минимальная (по n) фраクция Ф(n,3): для нее n=6.
Задача 2. Проверить, что полифигура на рисунке 3 действительное является фраクцей Ф(6,3) и доказите ее минимальность по n (при K=3).
Указание: сdwиг на одну клетку все фракиции — шестиходовка!
Описанных выше полифигурами можно играть (наprimер, на доске 8×8), если договориться о правилах; ниже мы сформулируем три правила, позволяющих ставить игровые задачи.
-
Игроки ходят поочередно, на каждом ходу переставляя одну из своих фигур на свободное поле (браться чужие фигуры нельзя) так, чтобы не испортить своих полифигур.
-
Полифигура Π(n,k) считается уничтоженной ходом полифигуры Π′(n′,k′), если у полифигуры Π этом ходом нарушено «условие к кратной зашиты». Уничтоженная полифигура с доски. (Наprimер, экладрон Э(5,1) на рисунке 4 уничтожил фракуцей Ф(6,3), разрушив взаимную зашиту двух крайних слева ферзей.)
III. Клану K(n,k) обьявлен шах (соответственно мат), если он объявлен каждому из королевы клана. (На рисунке 5 показано, как фракиция Ф(3,2) обьявила мат клану K(2,1).)
Задача 3. Поставит ли фракуцей Ф(2,1) формированный мат клану K(2,1) на доске 8×8? А фракуцей Ф(3,2) — клану K(2,1)?
При этих правилах ни клан, ни экладрон не могут быть уничтожены. Подумайте, как переделать правила II с тем, чтобы экладрон тоже можно было уничтожить.
В заключение мы предлагаем вам самостояльно поиграть в полифигурные шахматы. Если при этом возникнут интересные вопросы, напишите нам.
В. Чванов