Формула площади

17

Математический кругок

Н. Вагутен

Формула площади

В этой статье мы обсуждим полезную формулу, выражающую площад многоугольника через координаты его вершин. При подготовке статьи использовано А. Старцева, приспланное в «Квант» в 1970 году (когда автор был еще школьником).

Комбинации грапейций

Пусть дан многоугольник, расположенный в положительном квадрате $x > 0, y > 0$ и к тому же выпуклый. Занутерум его вершины против часовой стрелки: $A_1(x_1; y_1), A_2(x_2; y_2)$, …, как показано на рисунке 1, где число вершин $n = 5$. Опустим из всех вершин перpendикуляры $A_1H_1, A_2H_2$, …, $A_nH_n$ на ось $x$; их длины равны $y_1, y_2, ..., y_n$.

Площадь грапейции $A_kH_kH_{k+1}A_{k+1}$ равна модulo произведения $(y_k+y_{k+1})(x_k-x_{k+1})/2$. Это произведение положительное при $x_k > x_{k+1}$ и отрицательно при $x_k < x_{k+1}$ (здесь $k$ — одно из чисел 1, 2, …, $n$, причем следующий за $n$ номер $n+1$ надо заменить на 1). Замечательным образом оказывается, что сумма всех $n$ таких однотипных произведений как раз равна площади многоугольника $A_1A_2...A_n$.

Например, для пятугольника на рисунке 1 из пятги произведение

$$\frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2}, \frac{(y_2+y_3)(x_2-x_3)}{2}, \frac{(y_3+y_4)(x_3-x_4)}{2}, \frac{(y_4+y_5)(x_4-x_5)}{2}, \frac{(y_5+y_1)(x_5-x_1)}{2}$$

tri, соответствующие верхним сторонам (синние), положительные, а два, соответствующие нижним сторонам (красные), отрицательные; вычитая из суммы площад синих трапеций сумму площад красных, находим площад пятугольника.

Полученную сумму можно несколько упростить, сократив произведение $x_1y_1, x_2y_2$, ..:

$$S = \frac{(y_1+y_2)(x_1-x_2)}{2} + \frac{(y_2+y_3)(x_2-x_3)}{2} + \frac{(y_3-y_4)(x_3-x_4)}{2} + \frac{(y_4+y_5)(x_4-x_5)}{2} + \frac{(y_5+y_1)(x_5-x_1)}{2} = \frac{(x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + ... + (x_5y_1-x_1y_5)}{2}.$$

1. Выведите формулу площади выпуклого $n$-угольника при любом $n$.

Основная формула

Итак, площад $S$ выпуклого $n$-угольника с вершинами $A_k(x_k; y_k)$, $k = 1, 2, ..., n$, равна

$$\frac{1}{2} \left[ (x_1y_2-x_2y_1) + (x_2y_3-x_3y_2) + ... + (x_ny_1-x_1y_n) \right].$$

Выражение $ad-bc$ так часто встречается в математике, что для него приято специальное обозначение $|a|^2 b|^2$ и называние «определенель».

Рис. 1.

18

Рис. 2. Произведение чисел, соединенных с ним отрезком, берутся со знаком +, а красным — со знаком -.

второго порядка»; с помощью таких определителей формулу площади можно записать компактнее:

$$S = \frac{\left| x_1 x_2 \right| + \left| x_2 x_3 \right| + \ldots + \left| x_n x_1 \right|}{2}.$$

(Для заполнения формулы (1) удобен рисунок 2. Заметим, что формула (1) предполагает, что вершины занумерованы против часовой стрелки.)

2. Проверьте, что если занумеровать вершины в обратном порядке — по часовой стрелке, то каждая круглая скобка, соответствующая определенной стороне многоугольника: $A_1 A_2$, $A_2 A_3$, …, $A_n A_1$, изменит знак. Тот же эффект будет, если помещать местами привченные обозначения осей — изменить ориентацию плоскости.

Чтобы не заботиться о том или ином направлении нумерации вершин, вместе квадратных скобок в формуле (1) можно поставить знак модуля. Полученная формула

$$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{k=1}^{n} \left(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k\right) \right|$$

годится для любого случая. (Напомним еще раз, что $y_{n+1}$ и $x_{n+1}$ следует заменить на $y_1$ и $x_1$.)

Заметим, что пока мы считали все координаты вершин многоугольника положительных, а сам многоугольник — выпуклым. Было бы очень обидно и удивительно, если бы наша формула оказалась верной лишь при таком дополнительном предположении. К счастью, это не так: формула справедлива для любого многоугольника на плоскости. Как доказать ее для невпуклого многоугольника, мы обсуждим ниже — в упражнения 13 (см. также заметку С. Сефибкова на с. 20). А сейчас мы избавимся от предположения, что многоугольник расположен внутри угла $x > 0$, $y > 0$.

3. Проверьте, что права часть формулы (2) не изменится, если:

a) каждое $x_k$ заменить на $x_k + a$;
b) каждое $y_k$ заменить на $y_k + b$.

Любой многоугольник $A_1 A_2 \ldots A_n$ мы можем параллельно перевести на некоторый вектор $(a; b)$ в угол $x > 0$, $y > 0$. При этом координаты его вершин изменяются, но не меняются ни его площадь — левая часть формулы (2), ни права часть этой формулы. Поскольку для получения многоугольника с положительнымными координатами вершин равенство (2) верно, оно будет верным и для исходного многоугольника $A_1 A_2 \ldots A_n$.

4. Найдите по формуле (2) площади четырехугольников с вершинами:
   a) $(0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)$;
   b) $(0; 0), (-1; 1), (2; 3), (1; 2)$;
   b) $(0; 5), (3; 0), (0; -4), (2; 0)$. Проверьте ответ, найдя эту площадь другим способом.

5. a) Запишите формулу для площади треугольника с вершинами $(0; 0), (a; b), (c; d)$.
   b) При каком условии три точки $(x_1; y_1), (x_2; y_2)$ и $(x_3; y_3)$ лежат на одной прямой?

Комбинации треугольников
Основную формулу (2) можно вывести иначе — так, что будет ясен геометрический смысл каждой слагаемого $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ (заметим, что в него входят координаты только двух соседних точек $A_k$ и $A_{k+1}$). Мы по-прежнему можем считать, что $x_k > 0$, $y_k > 0$.

Оказывается, выражение $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ равно по модели треугольника $OA_k A_{k+1}$, причем положительное, если отрезок $OA_k+1$ составляет больший угол с осью $x$, чем $OA_k$, и отрицательно, если меньше.

6. Пусть $B(x_1; y_1)$ и $C(x_2; y_2)$ — две точки с положительным координатами, причем $y_1/x_1 < y_2/x_2$. Тогда площадь параллельграма $OBDC$ (рис. 3) равна $x_1 y_2 - x_2 y_1$.

Теперь ясно, что сумма $n$ членов $(x_k y_{k+1} - x_{k+1} y_k)/2$ дает нуждную площадь $n$-угольника (см. рис. 4): из суммы площадей сних треугольников мы вычитем сумму площадей красных — это удачное совпадение знаков уже встречалось нам в рассудении с трапециями).

7. Проверьте, что геометрический смысл выражения $x_1 y_2 - x_2 y_1$ для точек $B(x_1; y_1)$, $C(x_2; y_2)$ с координатами любого знака — это

19

Рис. 3.

ориентированная площадь параллелограмма OBDC, построенного на векторах $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$*): площадь OBDC береется со знаком «плюс», если направление $\vec{OC}$ получается из направления $\vec{OB}$ врашением против часовой стрелки (на угол не больше 180°) и «минус», если по часовой стрелке.

Дополнительные задачи и комментарии
В заключение предложаем доказать еще несколько утверждений, связанных с формулой площади многоугольника, ее доказательствами и обобщениями.

8. Для двух векторов $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$ на плоскости будем обозначать ориентированную площадь параллелограмма OBDC (упражнение 7) через $\vec{b} \wedge \vec{c}$.

Тогда для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и любого числа $\lambda$ выполнены равенства:
$$1^0. \vec{a} \wedge \vec{b} = -(\vec{b} \wedge \vec{a}).$$
$$2^0. \lambda \vec{a} \wedge \vec{b} = \vec{a} \wedge (\lambda \vec{b}) = \lambda (\vec{a} \wedge \vec{b}).$$
$$3^0. \vec{a} \wedge \vec{b} = 0$$ тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
$$4^0. \vec{a} \wedge (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c}.$$

Величину $\vec{a} \wedge \vec{b}$ называют иногда посвободным произведением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

9. Найди координаты точек $A, B$ пересечения прямой $ax + by + c = 0$ с осами координат ($a \neq 0, b \neq 0$) и площадь треугольника $ABM_0$, где $M_0(x_0; y_0)$, выведите формулу для расстояния от точки $M_0$ до данной прямой:

$$|ax_0 + by_0 + c| / \sqrt{a^2 + b^2}.$$

10. a) Пусть вершины $A_1, A_2, \dots, A_n$ многоугольника двигаются по плоскости прямой и равномерно (каждая — со своей постоянной скоростью). Докажите, что площадь многоугольника $A_1A_2\dots A_n$ меняется

$$\sum \begin{matrix} x_i x_j x_k \\ y_i y_j y_k \\ z_i z_j z_k \end{matrix} = x_1 y_2 z_3 - x_1 y_3 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_2 y_1 z_3 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1.$$

по всем его грамам $\Delta A_i A_j A_k$, где $A_i(x_i; y_i; z_i)$ — вершина многоугольника, а «определитель треугольника» вычисляется по формуле

$$\begin{matrix} x_1 x_2 x_3 \\ y_1 y_2 y_3 \\ z_1 z_2 z_3 \end{matrix} = x_1 y_2 z_3 - x_1 y_3 z_2 + x_2 y_3 z_1 - x_2 y_1 z_3 + x_3 y_1 z_2 - x_3 y_2 z_1.$$

причем выписывать каждый определитель надо, глядя на грань $A_i A_j A_k$ из точки $(0; 0; 0)$: координаты вершин видимых граней — по часовой стрелке, невидимых — против нее.

12. a) Проверьте с помощью формулы (2), что при громотении $k$ площадь увеличивается в $k^2$ раз, а при симметриях $(x; y) \rightarrow (-x; y), (x; y) \rightarrow (x; -y), (x; y) \rightarrow (-x; -y)$ она не меняется.

*) См. также статью А. Лопшица «Площади ориентированных фигур» («Квант», 1978, № 3).

2*