Ещё раз о пифагоровых тройках

39

Еще раз о пифагоровых тройках

Тройка натуральны х чисел (3, 4, 5) является пифадоровой: $3^2 + 4^2 = 5^2$. Как найти все пифагоровы тройки? Об этом в «Кванте» уже писали (1979, № 4, с. 40). Здесь указывается еще один способ решения этой задачи.

Очевидно, если $(a, b, c)$ — пифагова тройка, то и любая тройка $(ak, bk, ck)$, где $k$ N, пифагова. Если же какие-то два из чисел $a, b, c$ имеют общий простой делитель $p$, то и третье число делится на $p$. Поэтому достаточно перечислить пифаговы тройки с попарно взимно простыми $a, b, c$.

Итак, пусть $(a, b, c)$ — пифагова тройка и числа $a, b, c$ попарно взимно просты.

Числа $a$ и $b$ одновременно не могут быть четными. Они не могут быть одновременно и нечетными, так как в противном случае сумма их квадратов делится на 2, но не делится на четые, и, следовательно, не может быть квадратом натурального числа. Итак, одно из чисел $a$ и $b$ должно быть четным, второе нечетным; при этом число $c$ нечетно. Будем считать, что $a$ нечетно, а $b$ четно.

Нарисуем квадрат со стороны длины $c$. В его верхней левый угол впшем квадрат со стороны длины $a$, а в правый нижний угол — квадрат со стороны длины $b$ (см. рисунок). Этый квадрат пересекаются по красному квадрату, а в большом квадрате остатся непокрытыми два синх прямогольника. Из условия $a^2 + b^2 = c^2$ следует, что площадь квадрата равна сумме площадей синх прямогольников.

Длины сторон синх прямогольников равны $c - a$ и $c - b$, а длина стороны красного квадрата равна $a + b - c$. Поскольку числа $c - a$ и $a + b - c$ четные, каждый из синх прямогольников можно разделить на два одинаковых прямогольника, а красный квадрат — на четые одинаковых квадраты с целыми длинами сторон. Обозначим длины сторон защитырованного прямогольника через $k$ и $l$ ($k = c - b, 2l = c - a$), а длину стороны защитырованного квадрата — через $s$ ($2s = a + b - c$). Из равенства их площадей следует $kl = s^2$.

Из попарной взаимной простоты чисел $a, b$ и $c$ следует взаимная простота чисел $k$ и $l$. Действительно, что числа $k$ и $l$ имеют общий простой множитель $p$. Поскольку $b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a) = 2l(c + a)$, величет на $p$. Но $c = b + k$. Значит, $c$ также делится на $p$, что противоречит взаимной простоте $b$ и $c$.

Вернемся к равенству $kl = s^2$. Поскольку $k$ и $l$ взаимно просты, а произведение их — точный квадрат, каждое из этих чисел само обязано быть квадратом. Пусть $k = m^2, l = n^2$. Тогда $s = m \cdot n$.

Выразим теперь $a, b$ и $c$ через $m$ и $n$:

$$a = k + 2s = m^2 + 2mn = (m + n)^2 - n^2,$$
$$b = 2l + 2s = 2n^2 + 2mn = 2n(m + n),$$
$$c = k + 2l + 2s = m^2 + 2n^2 + 2mn = (m + n)^2 + n^2.$$

Положим $m + n = t$, получим $a = t^2 - n^2, b = 2nt, c = t^2 + n^2$.

Легко проверить, что при любых $t$ и $n$ эти формулы дают, если $t > n$, пифагову тройку. Если $t$ и $n$ — взаимно простые числа разной четности, то числа $a, b, c$ будут попарно взимно простыми.

3. Зурабивили