Приближённые вычисления при решении задач по физике

40

Приближенные вычисления при решении задач по физике

Приступая к решению любой физической задачи, прежде всего надо выяснить, какие явления или процессы играют существенно роль, а какие — неисуществую. Пренебрежение несуществ缚ными явлениями неминуемо ведет к пренебрежению относительно малыми величиными, то есть к приближенным вычислениям. Знание формул для приближенных вычислений и умение им们 пользоваться часто очень упрощают расчеты.

Из курса математики известно, что выражение $(1+x)^n$ при $|x|<1$ можно представить в виде

$$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \dots$$

Здесь $n$ — любое действительное число. При натуральном $n$ эта сумма обращается на член $n$-й степени; полученная формула называется формулой Ньютона.

Пусть имеется выражение $(a+b)^n$, тогда из (1)

$$(a+b)^n = a^n \left(1 + \frac{b}{a}\right)^n = a^n \left(1 + n \frac{b}{a} + \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \left(\frac{b}{a}\right)^2 + \dots\right).$$

Если $|b| \ll |a|$, слагаемыеми, содержащими отношение $b/a$ во второй степени и выше, можно пребрежить и ограничиться только первыми двумя слагаемыми:

$$(a+b)^n = a^n \left(1 + \frac{b}{a}\right)^n \approx a^n \left(1 + n \frac{b}{a}\right).$$

Какая ошибка возникнет при использовании этой приближенной формулы? Для оценки волне можно считать, что ошибка равна третьему слагаемому в разложении:

$$\Delta y = a^n \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \left(\frac{b}{a}\right)^2.$$

При решении физических задач часто волне допустимы расчета с точностью до одного процента. Из выражения (3) можно найти максимальное значение величины $b/a$, при котором точность расчета не выходит за допустимые размеры.

Очень просты и удобны формулы для приближенного вычисления значений тригонометрических функций. Если угол $α$, выраженный в радиах, достаточно мал, можно принять

$$\sin α \approx α,$$

$$tg α \approx α,$$

$$\cos α \approx 1.$$

Расчеты показывают, что ошибка не превышает одного процента, если угол $α$ удовлетворяет условиям

$$α \leq 23° \approx 4.0 \cdot 10^{-1}$$

рад для sin $α$,

$$α \leq 18° \approx 3.1 \cdot 10^{-1}$$

рад для tg $α$,

$$α \leq 8° \approx 1.4 \cdot 10^{-1}$$

рад для cos $α$.

(Это можно проверить, воспользоваться например, таблицами Брадиса.)

В физике довольно часто встречается показательная функция $y=a^x$. При малых значениях $x$ выполняется приближенное равенство

$$a^x \approx 1 + \frac{\lg a}{0.43} x.$$

Рассмотрим теперь несколько конкретных задач.

Задание 1. Сопротивление $R$ проводника изменяет с помощью амperметра и волтметра по схеме, изображенной на рисунке 1. Сопротивление волтметра $R_V \gg R$. Определите ошибку, которое допускают,

41

вычисляя сопротивление проводника без учета тока, текущей через волтметр.

Сопротивление проводника, расчитанное по показаниям амператора и волтметра, без учета сопротивления волтметра, равно

$$R' = \frac{U}{I},$$

где $U$ — напряжение на волтметре, $I$ — ток, текущий через амператор.

Истинное сопротивление равно

$$R = \frac{U}{I - I_V} = \frac{U}{I - U/R_V}.$$

Искомая ошибка

$$\Delta R = R - R' = \frac{U}{I - U/R_V} - \frac{U}{I} = \frac{U}{I} \left( \left( 1 - \frac{U/R_V}{I} \right)^{-1} - 1 \right).$$

Так как $R_V \gg R$, то $U/R_V \ll I$. Применяя формулу (2), получаем

$$\Delta R = R - R' \approx \frac{U}{I} \left( 1 + \frac{U/R_V}{I} - 1 \right) \approx \frac{U^2}{I^2 R_V}.$$

Задание 2. На какую долю изменится сила тяжеста при подъеме на высоту $h = 1$ км над поверхностью Земли? Радиус Земли считать равным $R = 6400$ км.

Сила тяжеста тела массой $m$ у поверхности Земли равна

$$F_0 = G \frac{mM}{R^2},$$

где $G$ — gravitationная постоянная, $M$ — масса Земли.

По мере удаления от поверхности Земли сила тяжеста уменьшается, и на высоте $h$ она равна

$$F_1 = G \frac{mM}{(R+h)^2}.$$

Из выражений для $F_0$ и $F_1$ найдем

$$\frac{F_0 - F_1}{F_0} = 1 - \frac{F_1}{F_0} = 1 - \frac{R^2}{(R+h)^2} = 1 - \frac{1}{(1+h/R)^2} = 1 - \left( 1 + \frac{h}{R} \right)^{-2}.$$

Поскольку $h \ll R$, то есть $h/R \ll 1$, используя формулу (2), получаем

$$\frac{F_0 - F_1}{F_0} \approx 1 - \left( 1 - 2 \frac{h}{R} \right) = 2 \frac{h}{R} \approx 3 \cdot 10^{-4}.$$

Задание 3. В теории относительной энергии ана-

стицы $E_k$ подсчитывают по формуле $E_k = E - E_0$, где $E$ — энергия двинкушейся частицы, а $E_0$ — энергия покояющей частицы. Покажите, что при скорости частицы $v \ll c$ (с скорость света) кинетическая энергия приближенного равна $m_0 v^2/2$, где $m_0$ — масса покояющей частицы.

Согласно теории относительной энергии

$$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$$ и $E_0 = m_0 c^2.$

Отсюда

$$E_k = E - E_0 = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - 1 \right) = m_0 c^2 \left( \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} - 1 \right).$$

Так как $v \ll c$, то есть $v/c \ll 1$, а значит, и $v^2/c^2 \ll 1$, применяя формулу (2), найдем

$$E_k \approx m_0 c^2 \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} - 1 \right) = \frac{m_0 v^2}{2}.$$

Задание 4. Тело сскальзывает с наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha = 7^\circ$ с горизонтом. Найчите ускорение тела, если коэффициент треня тела о плоскости $\mu = 3 \cdot 10^{-2}$.

На тело, движущемся по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжеста $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила тяжеста $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная вверх по наклонной плоскости, и сила нормальной реакции $\vec{R}$, перpendикулярная к наклонной плоскости. Спроектируем силы на оси координат $OX$ и $OY$, как показано на рисунке 2, и запишем уравнение движения:

$$mg \sin \alpha - F_{\text{тр}} = ma,$$

$$R - mg \cos \alpha = 0.$$

Учитывая, что

$$F_{\text{тр}} = \mu R,$$

42

из уравнения движения найдем модуль ускорения тела:
$$a = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha).$$

Так как угол $\alpha < 8^\circ$, можно воспользоваться формулами (4) и (6) и считать, что $\cos \alpha \approx 1$ и $\sin \alpha \approx \alpha$ (угол $\alpha$ должен быть выражен в радианах). Подставляя значения $\cos \alpha \approx 1$ и $\sin \alpha \approx 1,2 \cdot 10^{-1}$, получаем $a \approx g(1,2 \cdot 10^{-1} - 3 \cdot 10^{-2}) = 8,8 \cdot 10^{-1}$ м/с$^2$.

Задача 5. Сколько атомов распадается за время $t = 1$ с одной грамме радия? Перiod полураспада радия $T = 1600$ лет. В грамме радия содержится $N_0 = 2,6 \cdot 10^{21}$ атомов.

Если число радиоактивных атомов в начальной момент времени равно $N_0$, то, согласно закону радиоактивного распада, по истечении времени $t$ число $N$ нерасплавшихся атомов равно

$$N = N_0 2^{-t}.$$

Отсюда можно найти исключение число $n$ распавшихся атомов:

$$n = N_0 - N = N_0 (1 - 2^{-t}).$$

Поскольку $t/T \ll 1$, применив формулу (7), получим

$$n \approx N_0 \left(1 - 1 + \frac{\lg 2}{0,43} \frac{t}{T}\right) \approx 3,7 \cdot 10^{10}.$$

Заметим, что активность радиоактивного превращата, в котором за 1 с распадается $3,7 \cdot 10^{10}$ атомов, принимают за единицу активности и называют 1 кюри.

В заключение несколько слов о численных расчетах при решении задачи. Записья краткое условие задачи, разумно все числовые значения представить в виде $a \cdot 10^n$ (где $1 \leq a < 10$), причем с одинаковой степенью точности. В подавляющем большинстве случае в deve значшие цифры. Тогда получившийся результат следует округлить тоже до двух значших цифр (см., например, решение задачи 4).

Упражнения

1. Подсчитайте максимальные значения $a$, при которых погрешности формул $(1+a)^3 \approx 1+3a$ и $\sqrt{1-a} \approx 1 - \frac{1}{2}a$ не превышает 0,01.

2. Козффициент линейного распределения латунии $a = 2 \cdot 10^{-5} \text{K}^{-1}$. На сколько отсталут чисцы с латунным магнитком за сутки вседействие повышения температуры на $\Delta T = 10$ К?

3. Определите ускорение свободного падения на высоте 10 км от Земли, если у поверхности оно равно 981 cm/$^2$. Радиус Земли $R = 6400$ км.

4. Определите направленность поля системы точных зарядов $+q$ и $-q$ в точке $B$ (рис. 3), если $l \ll L$.

5. Автомашина массой $m = 2 \cdot 10^3$ кг трояется с места и идет в гору, наклон копей $a = 0,02$. Пройдя расстояние $s = 100$ м, она развивает скорость $v = 32,4$ км/ч. Козффициент сопротивления движения $k = 0,05$. Определите среднюю мощность, развиваемого мощом автоматны при этом движении.

Малый интеркосмос

(Начало см. на с. 8)

Коллективы школ, внешкольных учрежений, научно-технических объединений учрежних, принявшие наиболее активное и плотное учятие в конкурсе, а также подзаделения и коллективы предприятый, учрежний, вузов, оказавшие действенную помощь в работе юным техническим и исследователям, будут нагружены почетными дипломами, а преподаватели, руководители кружков, консультанты из числа ученных и специалистов, под руководством которых выполнен работы, победившие на конкурсе, — дипломами и значками.

По всем вопросам организации и проведении конкурса следует обращаться в ЦК ВЛКСМ (Москва, Новая площадь 6/8, тел. 206-84-70, 206-89-92), на Центральную станцию юных технических просвещения РСФСР (тел. 289-75-44), в Московский городской Дворец пиноеров (тел. 139-89-54, 139-84-88).