[О поверхности, полученной из эллипсоидов]

16

Легкое решение трудной проблемы

В конце прошло века английский математик Дж. Сильвестр поставил следующие проблемы:

Пусть $S$ — конечное множество точек на плоскости также, что не все его точки лежат на одной прямой. Обязательно ли существует прямая, на которой лежатрово две точки множество $S$?

Более сорока лет проблема Сильвестра оставалась нерешенной, а затем около получаются считалась очень трудной задачей. Но вдруг возникла следующая проблема идея.

Проведем всевозможные прямые через пары точки множество $S$ (быть может, на некоторых из них лежит больше двух точек). Расмотрим всевозможные расстояния от точки множество $S$ до проведенных прямых. Их — конечное число. Пусть $r$ — наименьшее из этих расстояний ($r > 0$). Возьмем ту точку $P$ и ту прямую $l$, расстояние между которых равно $r$. Докажем, что на прямой $l$ лежатрово две точки множество $S$.

Предположим, что на ней лежат три или более точки множество $S$. Опустим перепределкуляр из точки $P$ на прямую $l$; пусть $A$ — основание этого перепределкира (см. рисунок). Легко видеть, что $A \notin S$. Значит, на прямой $l$ по крайней мере с одной стороны от точки $A$ лежит не менее двух точек множество $S$; обозначаем две из них через $X$ и $Y$, причем пусть $X$ лежит близке к $A$, чем $Y$. Проведем теперь прямую через точки $P$ и $Y$. Очевидно, расстояние от точки $X$ до этой прямой меньше, чем расстояние от точки $P$ до прямой $l$, что противоречит выбору $P$ и $l$.

Следовательно, на прямой $l$ лежат лишь две точки множество $S$.

На рисунке 4 изображена «звездочка», соответствующая пятуюгольнику. На второй странице обложки журнала — «звездочка», соответствующая квадрату. Желающие могут нарисовать «звездочка», соответствующие другим правильным многоугольником, при этом в качестве точки $O$ не обязательно быть верхину на биссеktrисе угла. Получающие кривые также будут кусками улитки Паскаля, но ее «зубцы» уже не будут симметричными.

Заключение от редакции

Итак, А. Бабичев частчно решил задачу Колмогорова. Однако его решение ставит новый вопрос: существуют ли вы пуклые фигуры, отличные от круга, удовлевorioщие условия задачи? (Фигуры, полученные А. Бабичевым, все невелики.) Ждем ваших писем.

Легкое решение трудной проблемы

В конце прошло века английский математик Дж. Сильвестр поставил следующие проблемы:

Пусть $S$ — конечное множество точки на плоскости также, что не все его точки лежат на одной прямой. Обязательно ли существует прямая, на которой лежатрово две точки множество $S$?

Более сорока лет problema Сильвестра оставалась нерешенной, а затем около получаются считалась трудной задачей. Но вдруг возникла следующая проблема идея.

Проведем всевозможные прямые через пары точки множество $S$ (быть может, на некоторых из них лежит больше двух точек). Расмотрим всевозможные расстояния от точки множество $S$ до проведенных прямых. Их — конечное число. Пусть $r$ — наименьшее из этих расстояний ($r > 0$). Возьмем ту точку $P$ и ту прямую $l$, расстояние между которых равно $r$. Докажем, что на прямой $l$ лежатрово две точки множество $S$.

Предположим, что на ней лежат три или более точки множество $S$. Опустим перепределкуляр из точки $P$ на прямую $l$; пусть $A$ — основание этого перепределкира (см. рисунок). Легко видеть, что $A \notin S$. Значит, на прямой $l$ по крайней мере с одной стороны от точки $A$ лежит не менее двух точек множество $S$; обозначаем две из них через $X$ и $Y$, причем пусть $X$ лежит близке к $A$, чем $Y$. Проведем теперь прямую через точки $P$ и $Y$. Очевидно, расстояние от точки $X$ до этой прямой меньше, чем расстояние от точки $P$ до прямой $l$, что противоречит выбору $P$ и $l$.

Следовательно, на прямой $l$ лежат лишь две точки множество $S$.

Наша обложка

Поверхность причудливой формы, нарисованная на первой странице обложки, получена приемом, который уже описывался на страницах нашего журнала («Квант», 1980, № 10, с. 62): левые части уравнения трех эллипсонов.

ЭВМ ЕС-1030, выполняя чертеж по уравнению, показала два семейства линей на поверхности: их отсекают плоскости, расположенные через промежутки, параллельные координатным плоскостям $Oxz$ и $Oyz$. Получившиеся кусочки поверхности машина раскрасила в шахматном порядке.

Машина считала поверхность непрозрачной. На рисунке мы видим, таким образом, «внешнюю часть» поверхности. Подумайте — а что у нее «внутри»?

18

Рис. 1. Ход луча при чертесточной развертке: 1—2 — начало нечетного полукадра; 5—6 — начало четного полукадра; 2—3, 4—5, 6—7 и 8—1 — обратный ход луча.

нельзя затенить электронный луч馏то на середине кадра, так как в этом случае просто пропадет часть изображения. Создатели телевидения были найден оригинальный выход: кадр передается не весь сразу, а полукадрами, так что электронный луч рисунет сначала нечетные, а затем четные строки изображения. При этом полукадры меняются с частотой 50 Гц, и глаз воспринимает изображение движения непрерывным. Такой способ формирования кадра на телевизionном экране получил название чертесточной развертки (рис. 1).

С телевизором в домашних условиях можно проводить ряд экспериментов, демонстрирующих строкооптический эффект.

В первом опыте попробyte посмотреть на экран телевизора через «классический» строкоскоп — врашающейся диск с ответящими. Его нетрудно изготовить из куска картона, насаженного на вал микроэлектродвигателя (рис. 2). Для регуляровки частотыращения двигателя его нужно питать от плоской батарейки (с ЭДС 4,5 В) через реостат (с полным сопротивлением 100 Ом). Расстояние от строкоскопа до экрана телевизора должно быть таким, чтобы через ответные были виден весь экран.

Наблюдаемую картину можно проанализировать с помощью графиков, изображенных на рисунке 3. Первый график (рис. 3, а) демонстрирует, как изображение заполняет экран сверху вниз (по оси ordinат отложено положение строки в кадре, по оси абсцисс — время). Пунктром показан обратный ход луча (луч в этот момент гасится). График «видности» строкоскопа (рис. 3, б) представляет собой отрезки прямых, верхняя из которых отвечает положению «видно», нижняя — «не видно». Третий и четвертый графики (рис. 3, в и 2) получены наложением первых двух при разном сдвиге фаз между ними. Они объясняют, почему мы видим (при совпадении частот, конечно) лишь половину экрана.

При небольшим изменении частотыращения диска темная полока будет пробегать вверх или вниз по экрану, в зависимости от нашего желания.

Попробyte самостоятельно объяснить, при каком соответствии частот полока будет бежать вверх, а при каком — вниз. Как будет выглядеть картина при частоте строкоскопа 100 Гц? 150 Гц? Почему по экрану телевизора, снятьго на кинопленку, пробегает темная полока? Почему иногда на кино- или телеэкране у движущого вперед авто-

Рис. 2. Схема опыта с «классическим» строкоскопом: 1 — непрозрачный экран; 2 — врашающей диск с ответящими; 3 — микроэлектродвигатель; 4 — реостат; 5 — плоская батарейка.

19

Рис. 3.

Рис. 4. На рисунке изображена только 21 строка, на самом деле в полукадре 312,5 (а в целом kadре — 625) строк.

мобиль колеса медленно врашаются назад?

Проведите еще один эксперимент. Для этого вам понадобится струна длиной 0,3—0,5 м (можно использовать резинку для авиамоделей). Как будет выглядеть вертикально расположенная колеблющая струна на фоне экрана телевизора?

Пусть в момент начала полукадра струна находится в положении равновесия. Пока луч пробежит строку, струна сместится и встретится с лучом в новом месте. В следующей строке «место встречи» опять сместится и так далее. Если период колебаний струны 20 м (частиота 50 Гц), то за это время заполняется весь полукадр, а струна вернется в исходное положение, совершив полное колебание. Многократное повторение этой ситуации приведет к тому, что tengь от струны, которое мы увидим на фоне экрана телевизора, будет иметь форму синусoidы (рис. 4).

Что вы увидите, если частота колебаний струны удвоится? утроится? Что вы увидите, если струна будет расположена по диагонали экрана? по горизонтали? Проделяйте эти опыты и попробуйте обьясить положенные результаты. Набравшись опыта, попробуйте сообщить, как будет выглядеть на фоне экрана пальочка, врашаюшая вокруг своей поперечной оси. Проверьте свои соббражения экспериментально.