Горьковский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

47

Горьковский государственный университет им. Н. И. Лобачевского

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(радиоизчисленный факультет)

1. Найти все действительные значения $x$, удовлетворяющие неравенству
   $$x - 3 < \sqrt{x^2 + 4x} - 5.$$
2. Решить уравнение
   $$\cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x.$$
3. Определить размеры цилиндра, имеющего наибольший объем, если площадь его полной поверхности равна 2π.
4. Для уборки урожая было выделено несколько одинаковых комбайнов, которые могли убрать поле за 24 часа, если бы приступили к работе одновременно. Но случайность так, что они приступали к работе один за другим через равные промежутки времени, и затем каждый работал до окончания уборки. За какое время была проведена уборка урожая, если первый комбайн работал в 5 раз больше времени, чем последний?
5. Доказать, что $53^{53} - 33^{33}$ делится на 10.

Вариант 2
(факультет вычислительной математики и кибернетики)

1. Решить уравнение
   $$\sin 2x + \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2}.$$

2. Найти все действительные значения $x$, удовлетворяющие неравенству
   $$\log_{0.25} \frac{35 - x^2}{x} \geq -\frac{1}{2}.$$

3. Сумма третьего и девягого членов арифметической прогрессии равна наименьшем значению трехлена $2x^2 - 4x + 10$. Найти сумму одинаковати первых членов этой прогрессии.

4. Вычислить площадь равноведенной трапеции, если ее высота равна $h$, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом $60^\circ$.

5. Трое рабочих участовали в соревновании. Первый из них произвели продукции в два раза больше, чем второй, а второй и третий в 3 раза больше, чем первый. Какое место занял каждый рабочий в соревновании?

Вариант 3
(механико-mатематический и физический факультет)

1. Найти все действительные значения $x$, удовлетворяющие неравенству
   $$\log_3 \log_{1/2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \geq 1.$$
2. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \cos x + \cos y = 1/2, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 7/4. \end{cases}$$
3. Динамир окружности радиуса $R$ является основанием правильного треугольника. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.
4. Найти наиболее и наиболее значения функции $y = 5 + 4 \cos x - \sin^2 x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
5. Представить число 19 в виде разности кубов натуральных чисел.

Физика
Задачи устного экзамена

1. На бруске массой $2m$ установлена неевесомая вертикальная стойка, к которой на неевесомойнители длиной $l$ подвешен шарик массой $m$ (рис. 1). Брусок без трения может скольнить по горизонтальном столу. Чему будет равна скорость бруска в момент прохождения шариком нижней точки, если первоначально брусок покопился, а шарик был отпущен из точки $A$ без начальной скорости?
2. Два тела массами $m_1 = 4$ кг и $m_2 = 8$ кг, связанные нитью, съедают по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$. Коэффициенты трения между наклонной плоскостью и телами различны: для первого тела он равен $\mu_1 = 0,1$, а для второго $\mu_2 = 0,2$. Какова сила жекленя нити, если тело массой $m_1$ двигается с горизонтальнымускорением $|\vec{a}| = g/2$.

Рис. 1.
Рис. 2.