Задачи М681—М685; Ф693—Ф697

20

Задачи

M681 — M685; Ф693 — Ф697

M681. a) Придумайте целые числа $a, b, c, d$ такие, что числа $a^2+b^2, a^2+b^2+c^2, a^2+b^2+c^2+d^2$ — квадраты целых чисел.
b) Существует ли последовательность, состоящая из квадратов целых чисел, такая, что при любом $n$ сумма $n$ ее первых членов — квадрат целого числа?

Г. Григорьев

M682. Внутри треугольника $\triangle$ нужно расположить треугольник $\triangle_1$ так, чтобы у каждой из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника $\triangle_1$, две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\triangle$ (рис. 1).
a) Доказите, что медианы треугольника $\triangle$ перpendикулярны сторонам треугольника $\triangle_1$.
b) Для любого ли остругольного треугольника $\triangle$ такое построение возможно?

А. Ягубянц

M683. Несоколько кругков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрывают. Доказите, что кругки можно раскрыть в четыре цвета так, что любые два касающиеся кругка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кругков, при котором трех цветов для такой раскраски недостаточно.

Г. Рингель

M684*. Двое играют в следующий вариант «морской боя». Один играк располагает на доске $n \times n$ неокоторое количество непересекающихся «кораблей» $n \times 1$ (быть может, ни одного). Второй играк наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждой поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальным количеству полей следует нанести удары, чтобы по ответам противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите три случая: a) $n=4, 6)$ $n=10$, в) $n$ — любое натуральное число.

Е. Гик

21

М685*. Два подмножества множества натуральных чисел называется из другого сдигром на целое число. (Например, множества чисел и нечетных чисел конструкты.) Можно ли разить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающийся) бесконечных конструкты?

А. Федоров

Ф693. На неподвижном клине, образующем угол α с горизонтом, лежит нерастижная неесомая вервка (рис. 2). Один из концов вервки закреплен в точке A. К нижнему концу вервки (в точке B) прикреплен небольший грузик. В некоторых момент времени клин начинает двигаться вправо с постояннымускорением a. С какимускорением движется грузик, пока он находится на клине?

С. Кротов

Ф694. По длиному прямолинейному желобу, наклоненному под углом α к горизонту, движется без трения N одинаковых шариков. Какое максимальное число соударений может произойти в системе при произвольных начальных положениях и скорости шаров? Соударения шаров считать абсолотно упругими.

E. Сурков

Ф695. В простейшей модели звезда рассматривается как газовый шар, находящийся в равновесии в собственном поле тяжесте. Считая, что газ состоит из полностью инизованных atomов водорода и геля, оценить температуру звезды. Масса звезды M, радиус r; относительное содержание водорода в газе равно n.

В. Тугущев

Ф696. Емкостьный волтметр представляет собой плоский воздушный конденсатор, одна из пластин которого закреплена неодвижно, а вторая может перемещаться поступательно в направлении, перpendикулярном плоскости пластин. К подвижной пластине прикрепленаружина жесткости k (рис. 3). Мерой приложенного напряжения служит изменение зазора между пластинами. Какое максимальное напряжение можно изменить таким прибором? Площади пластин S, зазор между пластнами при нульом напряжения d.

Д. Павлов

Ф697. Между двумя средами с показателем преломления n₀ > 1 и n₁ = 1 имеется неоднородный слой высоты h = H (1 - 1/n₀²), где H = const, внутри которого показатель преломления меняется с высотой по закону n = √1 - x/H n₀ (рис. 4). Из среды с показателем преломления n₀ в неоднородный