Воронежский государственный университет им. Ленинского комсомола

50

Воронежский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1
(mатематический факультет и факультет прикладной математики и механики)

1. Найти уравнение касательной к кривой $y = \frac{x+1}{x}$, если известно, что касательная проходит через точку $M(a, b)$. Сколько существует решений в зависимости от выбора точки $M(a, b)$? Найти эти решения.

2. Каждая из двух трех чисел $lg a, lg b, lg c$ и $lg a - lg2b, lg2b - lg3c, lg3c - lg a$ является аргументической прогрессей. Могут ли числа $a, b, c$ служить длинами сторон треугольника? Если да, то какой это будет треугольник? Найти углы этого треугольника, если он существует.

3. Решить уравнение
   $$\left(\frac{4}{9}\right)^{\sqrt{x}} = (2,25)^{\sqrt{x}-4}.$$

4. Дана прямая треугольная признама $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — правильные треугольники со стороны $b$, являющиеся соответственно нижним и верхним основаниями этой признамы. На стороне $[BC]$ взята точка $K$ так, что угол $KAC = \alpha$, $\alpha < \frac{\pi}{3}$. Знача, что площадь поверхности признамы равна $\frac{3}{2}a^2$, найти площадь треугольника $AKC_1$.

Вариант 2
(физический факультет)

1. Из города $A$ в город $B$, расстояние между корьями 120 км, на море отправился курсер. Через один час этого из $A$ на мотопикле выехал второй курсер, который, нанав первого и передав ему поручение, немедленно с той же скоростью движился обратно и возвратился в $A$ в тот момент, в которой первый доступ $B$. Какова скорость первого курсера, если скорость второго равна 50 км/ч?

2. На окружности радиуса 10 см дана точка $A$. На каком расстоянии от точки $A$ нужно проверить ходу $[BC]$ параллельно касательной в точке $A$, так, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наиболее точной.

3. Решить неравенство
   $$\log \frac{1}{3}(3x+4) > \log \frac{1}{3}(x^2+2).$$

4. Доказать то жество
   $$\frac{1}{2}(\cos t + \sqrt{3}\sin t) = \cos \left(\frac{\pi}{3} - t\right).$$

Вариант 3
(геологический факультет и отделение гидрологии географического факультета)

1. В прямогольном треугольнике $ABC$, где $\widehat{C} = 30^\circ$, из вершины прямого угла $B$ проведена медиана $[BK]$. Найти площадь треугольника $BCK$, если длина катета $[AB]$ равна 4 см.

2. Определить коэффициенты квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ так, чтобы его корни были равны $p$ и $q$.

3. Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Определить синусы и косинусы углов $AOD, DOC, COB$, если косинус угла $AOB$ равен 7/25.

4. Решить неравенство
   $$\frac{2x+3}{\varphi'(x)} > 0,$$
   где $\varphi(x) = \ln(x^2+3x-10)$.

Задание устного экзамена
Математический факультет и факультет прикладной математики и механики

1. Упростить выражение
   $$S = \log_2 3 + \log_2 3^3 + \log_2 3^5 + \ldots + \log_2 3^{801}.$$

2. Через какую точку $A$ на кривой $y = -x^2 + 2x$ должна проходить касательная к этой кривой, чтобы трапеция, образованная касательной и прямыми $x=0, y=0, x=1$, имела наименьшую площадь?

3. Пусть $f(x)$ определяна при всех $x \neq 0$ и $f(x) + 3f\left(\frac{1}{x}\right) = x^2$. Найти $f(2)$.

4. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} |x+y| = 1, \\ |x|+|y| = 1. \end{cases}$$

5. Решить неравенство
   $$\sqrt{1-x} + \sqrt{2x-3} < 5.$$

Физический факультет

6. К графику функции $y = \ln x^2$ построить касательную, параллельную прямой $y = -x$. На нее опущен перpendикляр на другой луч, из его основания опущен перpendикляр на $[AB]$ и т. д. Найти длину полученной бесконечной ломаной.