Киевский государственный педагогический институт им. А. М. Горького

52

5. Вычислить предел
   $$\lim_{x \to -1} \frac{2x^2 - x - 3}{2x^2 + 5x + 3}.$$

В. Попов, С. Садыхов

Киевский государственный педагогический институт им. А. М. Горького

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1
(специальность «математика» физико-математического факультета)

1. В правильную треугольную парамиду вписан конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α. Найти объем этой парамиды, если боковое ребро равно b.
2. Решить неравенство
   $$\lg (x - 1) + \lg (x - 2) < \lg 6.$$
3. Решить уравнение
   $$\cos 2x + \cos x + 1 = 0.$$
4. Найти наиболее значение функции
   $$y = (2 - x)(x + 2).$$

Вариант 2
(специальность «физика и астрономия» физико-математического факультета)

1. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая образует с плоскостью большого основания угол α и равна l. Определить площадь поверхности и объем усеченного конуса.
2. Определить площадь фигуры, ограниченной графиками функции y = 3x - x³, y = 0.
3. Решить неравенство
   $$\log \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 > 0.$$
4. Решить уравнение
   $$2 \cos^2 x + \sin^2 2x = 1 + \cos^2 2x.$$

Вариант 3
(факультет общехимических дисциплин)

1. В правильной треугольной усеченной парамиде ребра нижнего и верхнего оснований соответствующего равны a и b (a > b), двумя уголами y ребра нижнего основания равен α. Определить объем усеченной парамиды и площадь ее поверхности.
2. Решить уравнение
   $$\text{ctg} x = \cos x.$$
3. Решить неравенство
   $$\frac{2x^2 - 3x - 459}{x^2 + 1} > 1.$$
4. Вычислить предел
   $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n - 3)(n + 5)}{2n^2 + 3n - 2}.$$

Задание устного экзамена

1. Решить уравнение
   a) $$\frac{\log_5 (2x + 3)}{1 - \log_5 (2x + 3)} + \frac{3}{5 - \log_5 (2x + 3)} = 0;$$
   b) $$\sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = -\frac{1}{8}.$$
2. Решить неравенство
   a) $$\log_2 (2 + x) < 1;$$
   b) $$\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{1}{2};$$
   b) $$2x^2 - 5|x| + 3 \geq 0.$$
3. Найти предел
   a) $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + \ldots + \frac{n}{2}}{n^2 + n + 3};$$
   b) $$\lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \frac{\cos 4x}{\sin 2x - \cos 2x}.$$
4. Исследовать функцию
   a) $$y = \frac{3}{2} \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + 1;$$
   b) $$y = \frac{x^2}{x^2 + 3}$$

и построить ее график.
5. Найти область определения функции
$$y = \log_2 \sin x.$$
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² + 1 и касательными, проведенными к этому графику в точках с абсциссами x = 0 и x = 2.
7. Найти уравнение касательных к графику функции y = 2x² - 4x в точках пересечения этого графика с осью абсцисс.
8. Вычислить $$\int_0^\pi \sin x \cdot \cos 3x \, dx.$$
9. Вычислить ctg $$\frac{\alpha}{2},$$ если $$\sin \alpha = -\frac{3}{5}.$$
10. Что больше sin 1980° или cos 1980°?
11. Задать формулой функции, обратную к функции
$$y = \frac{1}{2} (3x - 3).$$
12. Какое положительное действительное число a в сумме с обратным к нему числом $$\frac{1}{a}$$ дает наименьшую сумму?
13. Морская вода содержит 5% солнца. Сколько килограммов прессов воды необходимо добавить к 80 кг морской, чтобы содержание solи в последней составляло 4%?
14. Сумма первого и пятого членов арифметической программы равна 26, а произведение второго и четвертого членов равно 160. Найти сумму шести членов программы.

Физика
Билет устного экзамена на естественных факультетах

1. Сила упругости. Закон Гука.
2. Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Превращение энергии в коле-