Московский физико-технический институт

46

Московский физико-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$2 \log_4 (4-x) = 4 - \log_2 (-2-x).$$
2. В треугольнике с углом 120° длины сторон образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найдите длины сторон треугольника.
3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{7x+y} + \sqrt{x+y} = 6 \\ \sqrt{x+y} - y+x = 2. \end{cases}$$
4. Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$, вписанная в треугольник $ABD$, качает стороны $AB$ в точке $M$, а окружность радиуса $\sqrt{3}$, вписанная в треугольник $BCD$, качает стороны $BC$ в точке $N$. Известно, что $|BM| = 6$, $|BN| = 5$. Найдите длины сторон треугольника $ABC$.
5. В правильной треугольной примме $ABCA_1B_1C_1$ точка $D$ — середина ребра $A_1C_1$. Правильная треугольная парамida расположена так, что плоскость ее основания совпадает с плоскостью $ABC$, одно боковое ребро проходит через вершину $B$, другое — через точку $D$, а третье пересекает ребро $CC_1$. Найдите отношение объема парамиды к объему примы.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\text{ctg} x \cdot \left( \text{ctg} x + \frac{1}{\sin x} \right) = 1$$
2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2 \log_4 (y+1) + \log_2 y = \log_2 \left( \frac{x}{y} - 2 \right) \\ 5 + \log_2 \frac{y}{x} = \frac{6}{\log_2 \frac{x}{y}}. \end{cases}$$
3. На продолжении стороны $AB$ ромба $ABCD$ за точку $B$ взята точка $M$, причем $|MD| = |MC|$ и $\widehat{MDC} = \arctg \frac{8}{5}$. Найдите отношение длины отрезков $MA$ и $MB$.
4. Длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$. Точка $E$ и $F$ — середины ребер $BC$ и $CC_1$ соответственно. Рассматривают треугольники, вершинами которых служат точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям куба, с прямыми $A_1E, DF, AD_1$. Найдите
   a) площадь того треугольника, плоскость которого проходит через середину ребра $AA_1$;
   b) наименьшее возможное значение площади расматриваемых треугольников.
5. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 6x+y^2-z^2=6 \\ x^2-y-4z=-4 \\ 21x^2-2y^2+3y=22z^2. \end{cases}$$
   Вариант 3
6. Решите уравнение
   $$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}} + \sqrt{\frac{1+x}{x}} = \frac{5}{2}.$$
7. Решите неравенство
   $$4x+\log_2 9 > \log_2 (9 \cdot 2^{2x+1}-5).$$
8. В прямой уголом треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ длины 2 см проведены медианы $AM$ и $CN$. Okоло четырехугольника $ANMC$ можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.
9. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \cos 2y+\frac{1}{2} = \left( \cos y-\frac{1}{2} \right) (1+2 \sin 2x) \\ \sin y \cdot (\text{tg}^3 x+\text{ctg}^3 x) = 3 \text{ctg} y. \end{cases}$$
10. В основании примы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с боковым ребром длины 8 лежит трапеця с основаниями $|AD|=12, |BC|=7; B_1BC=60^\circ$. Отрезок, соединяющий вершину $B$ с центром $O$ грани $AA_1D_1D$, перпендикулярен ей; $|BO|=9$. Рассматривают цилиндры, расположенные внутри примы, с основанием в грани $BB_1C_1C$. Найдите
    a) наибольшее значение объема таких цилиндров с данной высотой $h$;

6. наибольшее значение объема среди всех расматриваемых цилиндров.

Физика

Вариант 1

1. На неподвижный невоззужdenный atom водорода налетает другой невоззужdenный atom водорода. Какова должа быть минимальная кинетическая энергия налетающего.atoma, чтобы в результате столкновения мог излучиться фотон? Энергияонизации.atoma водорода $E_n=13,6$ эВ. Частоты излучения.atoma водорода определяются формулой
   $$v = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right),$$ где $R$ — постоянная, $n$ и $m$ — целые числа.
2. Одинаковые по массе колчиства водорода ($\mu_H=2$ г/моль) и гелия ($\mu_{He}=4$ г/моль) помещили в сосуд объемом $V_1$, который отделен от пустого сосуда объемом $V_2$ полупроцессионем перегородкой, свободно пропускающее молекулы водорода и не пропускающее гелий. После установки равновесия давление в первом сосуде упало в 2 раза. Определите $V_2/V_1$. Температура постоянна.
3. В плоскей конденсатор, между пластнами которого поддержается постоянная разность потенциалов, вводится диэлектрическая пластина с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=3$. Во сколько раз изменится сила

47

Электростатическая возможность между пластинами конденсатора? Толщина диэлектрической пластины составляет половину расстояния между пластинами конденсатора.

4. Собирающая линза диаметром $D=2$ см и фокусным расстоянием $F=20$ см обеспечается шрифтом параллельным пучком света (рис. 1). За линзой стоит идеальное плоское зеркало так, что 25% светового потока, прошедшего через линзу и отразившего от зеркала, снова попадает на линзу. Найдите расстояние между линзой и зеркалом.

Вариант 2

1. В заднюю стенку базни танка, индущего со скоростью $v_T=72$ km/ч, ударяется горизонтально летящая со скоростью $v_0=750$ м/с пуля и упруго отскакивает от нее (рис. 2). С какой скоростью попает отскакивает пуля? Степка наклонена к вертикали под углом $\varphi=30^\circ$.

2. Герметичный шар-зонд, изготовленный из нерактивающегося материалов, должен поднять аппаратуру массой $M=10$ кг на высоту около 5,5 км, где плотность воздуха ($\mu_B=29$ г/mоль) вдвое меньше, чем у поверхности Земли. Шар наполняют гелем ($\mu_{\text{He}}=4$ г/mоль) при внешних условиях (температура $T=300$ K, давление $p=1$ атм). Объем шара $V=100$ м³. Определите массу квадратного метра материалов оболочки шара. Универсальная газовая постоянная $R=8,3$ Дж/(моль·К).

3. Определите разность потенциаль между электродами газорарядной трубки, заполненной гелем, при которой начинается процесс коннцации атомов электронным ударом. Известно, что распределение потенциаль (в относительных единицах) по длине трубки в этот момент имеет вид, изобразенный на рисунке 3; длина свободного пробета электронов $l=10^{-4}$ м; потенциаль атомов гелия $\varphi_h=24,5$ В.

4. Точечный источник света $S$ равномерно движется параллельно экрану, в котором имеется два маленьких ответств на расстоянии $d$ друг от друга; расстояние от источника до экрана равно $h$ (рис. 4). Приемник света $A$, расположенный на оси системы, регистрации периодических изменяющих освещность. Определите скорость движения источника $v$, если частота колебаний интенсивности $f=15$ Гц; длина волны света $\lambda=6 \cdot 10^{-7}$ м; $d=2$ мм; $h=1$ м. Во время изменения источник движения близи оси системы.

Вариант 3

1. Невесомая штангга длиной $L$ одним концом закреплена в идеальном шарнире, а другим опирается наружину жесткости $k$ (рис. 5). Определите период малых колебаний штангги в зависимости от положения $l$ на ней груза массой $m$.

2. С какой максимальной силой прижимается к телу человека банка (приемная в медицинской практике для легения), если диаметр ее отверстия $D=4$ см? В момент прикладывания банка к телу воздействи $t=80^\circ\text{C}$, а температура окружащего воздуха $t_0=20^\circ\text{C}$. Атмосферное давление $p_0=10^3$ Pa. Изменением объема воздуха в банке (из-за втяивания кожи) пребечешь.

3. Две катушки самонидукции с индуктивностями $L_1$ и $L_2$ подключены через ключи $K_1$ и $K_2$ к источнику с постоянной ЭДС $\delta$ и внутренним сопротивлением $r$ (рис. 6). В начальной момент времени оба ключа разомны. После того как ключи $K_1$ замкнуты и ток через катушки $L_1$ достигнет некоторое значение $I_0$, замключает ключи $K_2$. Определите установившееся значение токов через катушки после замкывания ключа $K_2$. Активными сопротивлениями катушек пребечешь.

4. Положение звезды, видимое с Земли, немного отличается от истинного из-за преломления лучей атмосферой. Определите ошибку при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли под углом $\alpha=45^\circ$ к вертикали. Среднее значение показателя преломления лучей атмосферой считать равным $n=1,0003$.

Публикация подготовили А. Болибрух, А. Шеронов