Квант
Информация

Новый приём на Малый мехмат

Квант 1982, №1с. 54-55Тег 90YX

54

Шнеге на территории, относительной к какому-либо филиалу ВЗМШ, посылают свои работы в соответствии с филиалю; в случае поступления они занимаются по той же программе, что и остальные школьники, принятые в ВЗМШ. Адреса филиалов можно найти в «Кванте», 1979, № 2, с. 59. Учащиеся, проживающие на остальной части СССР, присваивают свои работы в ВЗМШ по адресу: 117234, Москва, В-234, МГУ, ВЗМШ, на конкурс.

Школьники, проживающие в общей зоне действия ВЗМШ и ее филиалов с МММФ — отделением ВЗМШ при механико-mатематическом факультете МГУ (см. ниже), выбирают одну из этих школ по своему усмотрению.

Школьники, не прошедшие по конкурсу в ВЗМШ или в ее филиале, имеют возможность заниматься в группах «Коллективный ученик ВЗМШ». Каждый такая группа — это школьный математический кругок, работающий под руководством своего учитель математики по программе ВЗМШ. Прием в эти группы проводится до 20 сентября 1982 г. на два потока: для тех, кто с сентября 1982 г. начет учиться в 8 классе, и для тех, кто начет учиться в 9 классе.

Группы «Коллективный ученик» принимаются в ВЗМШ без вступительного контроля работы. Для организации группы достаточно заявления учитель математики, руководящего кругком, с указанием списка учащихся. Заявление должно быть заверено директором школы и печатью. Работа руководителя группы «Коллективный ученик ВЗМШ» может оплачивать школи по представлению ВЗМШ как факультативные занятия. Заявление следует направлять в адрес ВЗМШ.

Вступительная контрольная работа

  1. Найдите четырехзначное число вида a19ba^{19b} (с цифрами по порядку a,1,9,ba, 1, 9, b), делайте на 82.

  2. На листе бумаги вывели прямогольную систему координат XOYXOY, перегнул лист бумаги по одной оси координат, затем — по другой, и сложенный таким образом вчетверо лист разрезали ножницами по ломаной с вершинами в точках (0; 1), (1; 4), (2; 2), (4; 1), (1; 0). Нарисуйте образовательную при разворачивания листа «снежинку» и найти ее площадь.

  3. Известно, что x+y+z=0x+y+z=0, а xyz≠0xyz\neq 0. Вычислите

x2yz+y2xz+z2xy.\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy}.

  1. На сторонах BC, CA и BA равноведренного прямогольного треугольника ABC (C^=90∘\hat{C}=90^\circ) взяты точки A1,B1A_1, B_1 и C1C_1, соответственно. При этом ∣BA1∣:∣A1C∣=∣CB1∣:∣B1A∣=∣AC1∣:∣C1B∣=2:1|BA_1|:|A_1C|=|CB_1|:|B_1A|=|AC_1|:|C_1B|=2:1. Докажите, что отрезки C1CC_1C и B1A1B_1A_1 равны по длине и перпендикулярны.

  2. Имеется три сплава. Первый содержит 40% меди и 60% никеля, второй — 60% меди и 40% кальция, третьй — 60% кальция и 40% никеля. Из них необходимо изготовить новый сплав массой 1 кг, содержащий 40% кальция. Какое наименьшее содержание меди может быть в этом новом сплава?

  3. Можно ли вырезать из треугольника два прямогольника так, чтобы сумма их площадей равнялась двум треям площади треугольника?

  4. Про три числа извесно, что если кажо

дое из них складывать с квадратом суммы двух других, то каждый раз будет получаться 1/2. Какими могут быть эти числа?

  1. Квадрат со стороны длины 1 разрезают на 4 прямогольника. Какие значения может принимать сумма их перimetров?

  2. Существует ли такое натуральное число nn, что произведение 1⋅2⋅3⋅⋯⋅n1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n всех целых чисел от 1 до nn кончаетсяровно 30 нулями?

  3. Десять чисел записаны в ряд (средние них могут быть одинаковые). Затем под каждым числом пшеним, скольков в этом ряду чисел, меньших него, и таким образом получаем новый ряд из десяти чисел. может ли при этом получиться ряд: a) 9 00 2 5 3 6 3 6 6, b) 5 6 1 1 4 8 5 8 0 1?

  4. Дома Андрея и Коли соединены прямой дорогой. Андрей ходит в полтора раза быстрее, чем Коля. Каждый из них ездит на велосипеде вдвое быстрее, чем ходит, при этом Андрей может пройти от своего дома до Колиного за 1 час. В 12 часов они оба отправляются от своих домов навстречу друг другу, и у одного из них есть велосипед (который разрешается оставлять без пристора). Когда, самое ранее, будет так, что каждый из них уже прищел в дом другого?

  5. Имеется много одинаковых круглых монет. Можно ли разложить на плоскости: a) 1980, 6) 1981, в) 1982 из них так, чтобы каждая касалась трех других? г) Можно ли разложить на плоскости неокторе (конечное число одинаковых круглых монет так, чтобы каждая касалась четырех других? (В всех пунктах a) — г) монеты нельзя класть одну на другую и ставить на ребро.)

Новый прием на Малый мехмат

Для учащихся сельных классов, проживающих на территории европейской части РСФСР (кроме Северозападных областей), в Белоруссии и в Казахстане, обучается прием в Малый механико-mатематическую факультет (МММФ) — заочно математическую школе при механико-mатематическом факультете МГУ.

Программа МММФ, направлена на углубление знания по важнейшим разделам школьной программы и развивает у школьников наимость технологий занятия математической

55

матикой, составлена под руководством профессоров факультета. Эта программа учитывает особенности вступительных экзаменов на механико-математический факультет МГУ.

Занятия начнутся 1 сентября 1982 года. Обучение бесплатное. Срок обучения — три года. Лица, успешно обучающейся на Малом мехмате, могут быть приглашены на устный вступительный экзамен с целью поступления в школа-интернат № 18 при МГУ (см. «Квант», 1979, № 1). Учащиеся, успешно выполнившие все задания, получат удостоверение об окончании МММФ.

Желающие поступить на Малый мехмат должны не позднее 15 апреля выслать решение по возможности большего числа задач вступительного контролной работы МММФ, которая публикуется ниже.

Семиклассики, проживающие в Белоруссий ССР, в Астраханской, Бельгородской, Брянской, Владимирской, Волгоградской, Воронежской, Горьковской, Ивановской, Калининской, Калужской, Костромской, Куйбышевской, Курской, Липецкой, Московской, Оренбургской, Орловской, Пензенской, Пермской, Ростовской, Рязанской, Саратовской, Свердловской, Смоленской, Тамбовской, Тульской, Ульяновской, Челябинской и Ярославской области, в Башкирской, Дагестанской, Кабардино-Балкарской, Калмыцкой, Мордовской, Северо-Осетинской, Татарской, Уdmуртской, Чечено-Иггушской и Чувашской АССР, в Красноарском и Ставропольском краях, присваивают работы по адресу: 117234, Москва, В-234, МГУ, мехмат, МММФ. Школьники из Казахстана обслуживают Казахским финансовом МММФ МГУ и присваивают работы по адресу: 480012, Алма-Ата, ул. Кирова-Масанчи 47/39, Казахский университет, математический факультет, Казахский финансовом МММФ МГУ.

Вступительная контрольная работа должна быть выполнена в ученческой терради в клетку. На обложку терради наклеивается лист бумаги со следующими данными:

  1. Область (край, ресурсника)
  2. Фамилия и имя учащогося
  3. Класс и школа (полное название)
  4. Фамилия, имя и отчество учитель математики
  5. Полный почтовый адрес

Белоруссия ССР, Минская обл.
Иванов Петр
7 класс «А» школа № 13 г. Молодечно
Никаноров Владимир Алексеевич
220456, БССР, Минская обл., г. Молодечно. ул. Строитель, д. 27, кв. 171

  1. Сведения о родительях:
    отец — фамилия, имя и отчество, где и кем работает
    мать — фамилия, имя и отчество, где и кем работает

Иванов Василий Григорьевич, шофер авторомбината № 1
Иванова Мария Николаевна, медсестра поликлиники № 10

Результаты проверки

В работе включается листок 14 см × 6 см, на котором пишется домашний адрес.
Участники областьх олимпiad по математике могут быть приняты на Малый мехмат на основании заявления (содержащого данных 1—6) и документа, подтверждающего учение в олимпаде.

Для Москвыских школьников 7—10 классов на механико-математическом факультете МГУ работает Школа юного математика (справки по телефону 139-39-43).

Задание вступительного контролной работы на МММФ в 1982 году

  1. Решить неравенство
    x2x−1≥0.\frac{x^2}{x-1} \ge 0.

  2. Можно ли на окружности расставить числа 1, 2, 3, …, 11, 12 таким образом, чтобы любые два соседних числа отличались друг от друга
    a) не более, чем на единицу;
    b) не более, чем на два?

  3. Сколько нулями оказывается число 25! = 1 • 2 • 3 • … • 24 • 25?

  4. За 16 лимонов нужно запланить столько рублей, сколько можнокупить лимонов на один рубль. Сколько стоит один лимон?

  5. Доказать, что сумма длини диагоналей выпуклого четырехугольника всегда меньше периметра этого четырехугольника.

  6. Семеро гномов решили, что каждый из них подарит Белоснежке на день рождения не менее семи подснежников. Когда все цветы были вручены, Белоснежка сказал, что их число не превыходит 50. Услышав это, самый маленький из гномов сразу же заявил, что может точно назвать число подаренных подснежников. Какое количество цветов подарил Белоснежке каждый из гномов?

  7. Найти сумму всех коэффициентов многочлена, который получится после раскрытия скобок в выражении
    (x+2)(x+3)(x−5)(x−1)+4.(x+2)(x+3)(x-5)(x-1)+4.