А как вы думаете

48

Московский
электротехнический
институт связи

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{\cos^2 2x + \sin \left(2x - \frac{3}{2} \pi\right)} + \frac{1}{4} = \cos \frac{20}{12} \pi.$$

2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 3. \end{cases}$$

3. Решите неравенство
   $$\frac{9x - 15}{19} < \int_0^x \frac{dy}{(y+1)^2} - 1.$$

4. Из двух пунктов, расстояние между которых равно 2400 км, настручу друг другую выездю от одновременного пассажирский и скорый поездда. Каждый из них идет с постоянной скоростью, и в некоторых момент времени они встречаются. Если бы она поезда шли с скоростью скорого поездда, то их встречила бы на три часа раныше фактического момента встречи. Если бы она поезда шли с скоростью пассажирского поездда, то их встречала бы на пять часов позже фактического момента встречи. Найдите скорости поездов.

5. При переoce $m$ треугольник $ABC$ отображается на треугольник $A_1B_1C_1$. Доказите, что если $A_0, B_0, C_0$ — середины сторона BC, CA и AB, то прямые $A_0A_1, B_0B_1$ и $C_0C_1$ пересекаются в одной точке.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\left(\frac{5}{8} \sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^11}} - \frac{10}{13} \sqrt[3]{x \cdot \sqrt{x^11}}\right)' = 56.$$

2. Решите уравнение
   $$\left| \mathrm{ctg} \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) \right| = \frac{1}{\cos^2 2x} - 1.$$

3. К окружности, вписанной в равновесный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найдите длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.

4. Найдите целые значения $x$, удовлетворяющие неравенству
   $$\log_{0.3} (\sqrt{x+5} - x+1) > 0.$$

5. Если пассажир выдает из $A$ в $B$ на поездде, то он прибудет в $B$ через 20 часов. Если же он должен сamlета, аждать более 5 часов, то он будет в пункте $B$ через 10 часов. Самолет договор поезда $\frac{8}{9}$ часа с момента отлета. Во сколько раз скорость сamlета превышает скорость поезда?

Физика
Задачи устного экзамена

1. Какую начальную скорость нужно сообщить сигналной пакете, выпущенной под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту, чтобы она вспыхнула в наиболее точке своей траектории, если время горения запала пакеты $\tau = 6$ с?

2. В чашечный рутный барометр попал пузиквек воздуха, следствие чего барометр показывает давление меньше истинного. При давлении $p_1 = 768$ мм рт. ст. он показывает $h_1 = 748$ мм, причем длина пуской части трубки равна $l = 80$ мм. Каково атмосферное давление $p_2$, если руть в этом барометре стоит на высоте $h_2 = 734$ мм? Плотность рутки $\rho = 13.6 \cdot 10^3$ кг/м³.

3. В поле горизонтального расположенного конденсатора, расстояние между пластнами которого $d = 2$ см, выдает электрон со скоростью $v_0 = 10^7$ м/c, направленной параллельно пластинам. Найдите разность потенциальов между пластинами, если отклонение электрона на пути $l = 5$ см вдоль пластин составило $h = 2,5$ мм. Масса электрона $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

4. Имеются 25-ваттная и 100-ваттная лампочки, соединенные последовательно и включены в сеть с напряжением, на которой расчитана какая лампочка в отдельности. В какой из них выделится больше теплла?

5. Емкость переменного конденсатора меняется от $C_1 = 56$ пФ до $C_2 = 667$ пФ. Какой комплект катушек индуктивности нужного иметь, чтобы колебательный контур можно было настраивать на радиостанции в диапазоне длины $l_1 = 40$ м до $l_2 = 2600$ м?

6. На дне сосуда с водой глубиной $h = 10$ см помещен точный источник света. Каков должен быть минимальный радиус непрозрачного диска, плавающего на воде, чтобы ни один луч не вышел из воды? Показатель предположения воды $n = 1,33$.

7. Изображение предмета, удаленного на расстояние $d = 0,4$ м, больше предмета в $\Gamma = 5$ раз. Найдите возможность значения оптимической силы линзы.

Публикация подготовили В. Рассушин, В. Славов, О. Шварцман, P. Шшикалов

А как вы думаете

Как-то раз я предложил знакомому такую задачу: «Найди на плоскости ограниченной фигуру $a^*$, который неокругный поворот $R$ (на ненулевой угол) и неокругный параллельный перенос $F$ (отличный от тождественного) переводят в одну и ту же фигуру: $R(a) = F(a)$. «Это невозможно,— сразу же ответил знакомый.— Соклько раз ни поворачивающий ограниченную фигуру вокруг заданного центра, она не выйдет за пределы некоторого круга. А при повторных переносах это случай непрерывно». А вы как думаете?

Н. Михайленко