Что умеет микрокалькулятор

58

6. Даны векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$, $\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{OB}$, причем $|\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OD}|$.
   Найдите величины угла $AOB$.

7. Определите все значения параметра $a$, при которых промежуток [-1; 3] содержится в множество решений неравенства
   $$x^2 - 2ax + a + 1 > 0.$$

8. Даны два утверждения:
   a) система
   $$\begin{cases} ax + (1+a)y = a \\ 3x + (5+a)y = 2+a \end{cases}$$
   имеет бесконечно много решений;
   b) прямые, заданные уравнениями $4x + 5y = 6$ и $6x + (1+a)y = 10$, пересекаются в области $x > 0$, $y < 0$.

При каких значениях $a$ одно из этих утверждений ложно, а другое — истинно?

9. Доказите, что если стороны $a, b, c$ треугольника $ABC$ связаны зависимостью
   $$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c},$$
   то угол $B$ равен $60^\circ$. Сформируйте обратное утверждение. Верно ли оно?

Речензии, библиография

Что имеет микрокалькулятор

Карманная электронная вычислительная машина (микрокалькулятор) за последние годы все больше проникает во все отрасля человека деятельности, в том числе и в школе. С помощью микрокалькутора делаются доступными также расчеты, о которых раньше трудно было мечтать. Практические микрокалькуторы решают вычислительное задачу с той же скоростью, с которой мы ему эту задачу ставим. Однако возможности микрокалькуторов выше, чем это следует из заводских инструкций, общно чрезмерно кратких. Помочь неспециализатом овладеть всем «тайнами» этого изучительного достранения последнего десятилетия признана решением книга Г. Кройля*. Автор хорошо справился с поставленной задачей. Многочисленные примеры и задачи, решения которых приводятся в тексте, позволяют читателю научиться считать на микрокалькуляторе. Отказавшись от малоеравлной попытки попытного обяснить физические принципы и механизм работы карманной счетной машины, автор продолжно описывает, как наиболее экономно производить те или иные вычисления, какой класс микрокалькутора следует выбрать для конкретной работы инженерной, бухгалтерской, научной или учебных расчетов. Достаточно внимание уделено примем проверки точности и правильности работы микрокалькуторов.

В Советском Союзе вычисляются все основные модели микрокалькуторов, от самых простых и делевых арифметических, предназначаемых в основном для школьников и домохозяек (например, БЗ—23), до таких, как С3—15, и более дорогих, необходимых инженеру или научному работнику. Наши микрокалькуторы, разумется, отличают системой обозначений, расположением клавиши и других деталями от аналогических приборазубежных фирм. И, хотя принципи работы и устройства всех микрокалькуторов одинаковы, обучаться обращению с ними следует на тех модели, с которых придется работу.

К сожалению, изделия по наиболее простому пути — переведено книгу дословно, сохранив в ней имеющие «Кройлетроны» в качестве единственных примеров микрокалькуторов и английские обозначения на клавиатуре. Между тем, сравнительно ограниченное число отечественных моделей позволяет все их привести в тексте, соответствующей видимости, где это необходимо, решения управлений, данных в книге. Вероятно, было бы целесообразно подготовить второе, измененное в соответствии с этим пожеланиями изданы и выпустить книгу тиражом, достигателем для того, чтобы придаать ее в дополнительке к инструкции ко всем продаваемым микрокалькуторам.

А. Зайдель

59

Камушки и шахматная доска
(воспоминания о летних каникулах)

1. Выигравает второй: если первый игрок берет из какой-нибудь кучки несколько камней, то второй берет столько же камней из другой кучки. В результате в кучках снова получается одинаковое количество камней.

2. Выигравает первый: вначале он берет один камень из любой кучки, а потом оставляет противнику в одной кучке — нечетное число камней, а в другой — на единицу больше.

3. При любой игре выигравает первый игрок.

4. Выигравает первый игрок: вначале он съедает кучку с семью орехами и делит кучку с шестю орехами на две кучки по 3 ореха; противник вынужден съедать орехи в одной из одинаковых кучек и разделить кучку в 3 ореха на кучки в 1 и 2 ореха; после этого начинающий съедает кучку в 2 ореха, а затем — последний орех. Попробуйте исследовать эту игру для другого количества орехов в кучках.

Электрические цепи с нелинейными элементами

1. $I = U \left( \frac{1}{r_0 + \alpha U} + \frac{1}{R} \right)$.

2. $I = \frac{1}{2R\alpha} \left( (\alpha U + R + r_0) \pm \sqrt{(\alpha U + R + r_0)^2 - 4R\alpha U} \right)$.

3. $i(t) = \left| \mathcal{E}_M \cos \omega t \right| - 2U_0)/R = |\cos \omega t| - 0,5$ (A).

4. $U = (\mathcal{E} - 4IR)/3 = 2$ мВ. Указание. Потенциально выше потенциала катода, и через фотоэлемент идет ток $I$.

Московский физико-технический институт

Математика
Вариант 1

1. {—4}. Решение. Данное уравнение равно сльно уравнением
   $$\log_2(4-x) = 4 - \log_2(-2-x)$$
   $$\log_2(4-x) + \log_2(-2-x) = 4.$$ (1)

Поскольку тожество $\log_a(uv) = \log_a u + \log_a v$ справедливо только при $u > 0$ и $v > 0$, при переходе от суммы логарифмов в левой части уравнения (1) к логарифму произведение нужно дописать «условия» $4-x > 0$, $-2-x > 0$. Впрочем, достаточно дописать одно (любое) из этих неравенств (почему?). Таким образом, уравнение (1) равно сльно системы
$$\log_2[(4-x)(-2-x)] = 4$$
$$4-x > 0.$$

Уравнение $\log_2[(4-x)(-2-x)] = 4$ равно сльно уравнением
$$(4-x)(-2-x) = 16$$
$$x^2 - 2x - 24 = 0$$

Один из его корней является решением неравенства $4-x > 0$, другой — не является.

2. $\frac{3}{2}$ см, $\frac{5}{2}$ см, $\frac{7}{2}$ см. Решение. Если длину наименьшей стороны обозначит через $x$, то против угла $120^\circ$ будет лежать сторона длины $x+2$. По теореме косинусов
   $$(x+2)^2 = x^2 + (x+1)^2 - 2x(x+1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).$$

Это уравнение имеет корни $\frac{3}{2}$ и — 1, из которых второй не может быть длиной.

3. {(2; 2)}. Решение. Из данной системы выводными является система
   $$\begin{cases} \sqrt{7x+y} = 4 + (x-y) \\ \sqrt{x+y} = 2 - (x-y) \end{cases}$$

$$\begin{cases} 7x+y = [4+(x-y)]^2 \\ x+y = [2-(x-y)]^2 \end{cases}$$

и, далее, уравнения
$$6x = 6[2+2(x-y)]$$
$$x = 2y-2.$$ (2)

Подстановка во второе уравнение системы (1) дает квадратное уравнение с корнями 2 и 9. Из (2) получаем пары (2; 2) и (16; 9). Проверка (поскольку, в частности при возниклении в квадрат, мы переходим к выводным системам и уравнением, проверку делать обязательно) показывает, что вторая пара не является решением данной системы.

4. $|AB| = |AC| = |BC| = 8$. Указание. Если $K$ и $L$ — точки касания соответствующего первой и второй окружности с $[BD]$, а $P$ и $Q$ — их точки касания с $[AC]$, то
   $$|DQ| = |DL| = |DK| + |KL| = |DP| + |KL| + |DP| + 1.$$

Если $O_1, O_2$ — центры соответствующего первой и второй окружности, то $O_1^D O_2 = \frac{1}{2} (A D B + C D B) = 90^\circ$, $O_1^D DP = D O_2 Q$ (задание 487 из пособия «Геометрия 6-8»), $\frac{|O_1 P|}{|DP|} = \frac{|DQ|}{|O_2 Q|}$. Найди $|DP|$, воспользуйтесь далее формулой Герона и задачей 1192 из того же пособия.

5. $\frac{16}{21}$. Решение. Поскольку плоскость основания прямых совпадает с $(ABC)$ и ее боковое ребро проходит через $B, B$ является одной из вершин основания прямых. Обозначим остальные вершины основания прямых через $P$ и $Q$, вершину прямых — через $S$, точку пересечения $[SQ]$ с $[C_1 C]$ через $K$. Спроектируем ortогonalно признам и парами на $(ABC)$. Обозначим проекцию точки $D$ через $D'$, проекцию вершины $S$ — через $O$. Очевидно, $|AD'| = |D'C|$ и $[OQ]$ проекции через $C$ (рис. 1, а, б). Так как $O$ — центр

62

При 3<h≤9
|KH|>|HL₁|

Закончить решение представляем читателю.

Физика

Вариант 1

1. Известно, что при соударении двух тел максимальные потери кинетической энергии их движения происходит при абсолютоно неупругом ударе, когда тела после стольновения движются с одинаковыми скоростими. Эта часть кинетической энергии может превращаться в другие виды энергии, в частности — поейти на возбуждение одного из сталькивойших атомов. В дальнейшем, при перехождение атома из возбужденного состояния в основное, может излучиться фотон. Минимальная энергия возбуждения $E_{\text{min}}$ atoma, нахождение в основном состоянии, достигается при перехождение электрона с первого энергетического уровня на второй ($n=1$, $m=2$). Например, энергия иннзации atoma, необходимая для отрыва электрона от него, соответствует переходу с первого уровня на бесконечную удаленный ($n=1$, $m \to \infty$). Поэтому из условия задачи следует, что константа $R$ в формуле для частот излучения равна энергии иннзации $E_{\text{in}}$, деленной на постоянную Планка $h$, а минимальная энергия возбуждения atoma равна

$$E_{\text{min}} = hR \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = \frac{3}{4} E_{\text{in}}.$$

Теперь из законов сохранения энергии и импульса можно получить минимальную кинетическую энергию $mv_0^2/2$ налетающего atoma водорада:

$$\frac{mv_0^2}{2} = 2 \frac{mv^2}{2} + E_{\text{min}},$$

$$mv_0 = 2mv,$$

откуда

$$\frac{mv_0^2}{2} = 2E_{\text{min}} = \frac{3}{2} E_{\text{in}} = 20, 4 \text{эВ}.$$

При решении этой задачи многое абтуриентны сделали характерную ошибку, связанную с непоннимем физическим смыслом энергии иннзации atoma, которое они считали минимальной энергейной возбуждения atoma. Другие абтуриентны, правильно найдя минимальную величины энергии возбуждения, не учитвали закон сохранения импульса, считая, что вся кинетическая энергия налетающего atoma при стольновении превращается в энергия возбуждения и затем излучается.

2. Условием равновесия является равенство парциальных давления водорада в первом и втором сосудах. Пусть $p$ — начальное давление в первом сосудах. Она складывается из парциальных давления геля и водорада. Так как массы и температуры газов одинаковы, отношение давления геля и водорада обратно относительно их молярных масс. Таким образом,

$$p_{\text{He}} + p_{\text{H}_2} = p,$$

$$\frac{p_{\text{He}}}{p_{\text{H}_2}} = \frac{\mu_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{He}}} = \frac{1}{2},$$

откуда

$$p_{\text{He}} = \frac{p}{3}, p_{\text{H}_2} = \frac{2p}{3}.$$

Что бы суммарное давление в первом сосуде было вдвое меньше начального, парциальное давление водорада должно уменьшаться до величины $p'_{\text{H}_2} = p/6$. Посольку давление водорада обратно пропорционально объему, который он занимает, получаем

$$\frac{p_{\text{H}_2}}{p'_{\text{H}_2}} = \frac{V_1 + V_2}{V_1}, \text{ и } \frac{V_2}{V_1} = 3.$$

Характерия ошибка многохитrix абтуриентов состояния в том, что условием равновесия они считали равенство водорада во втором и водорада и геля в первом сосудах.

3. Сила взаимодействия между пластнами конденсатора в общих случаях определяется произведением напряженной поля одной из пластин на заряд другой.

В отсутствие диэлектрика поле в конденсаторе $E_1 = U/d$, а заряд на его пластинах $q_1 = \varepsilon_0 US/d$, где $d$ — расстояние между пластинами, $S$ — площадь пластин, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная. С учетом того, что поле одной пластины вдвое меньше поля в конденсаторе, для силы взаимодействия между пластинами получаем

$$F_1 = \frac{q_1 E_1}{2} = \frac{\varepsilon_0 SU^2}{2d^2}.$$

После внесения диэлектрика образовавшейся конденсатор можно рассматривать как два последовательных соединенных конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком с пропищемостюю $\varepsilon$, а расстояния между пластинами у обихх равны $d/2$. Так как напряжение оставется постоянным, изменение емкости приводит к изменению заряда на пластинах, что, в свою очередь, меняет и поле в конденсаторе. Емкость образовавшейся конденсатора $C_2 = 2\varepsilon_0 S/d$ ($1 + \varepsilon$) (это получается из равенства $1/C_2 = d/2 \varepsilon_0 S + d/2 \varepsilon_0 S$); заряд на конденсаторе $q_2 = UC_2 = 2\varepsilon_0 SU/d$ ($1 + \varepsilon$); поле $E_2 = q_2/S\varepsilon_0 = 2\varepsilon U/d$ ($1 + \varepsilon$); сила взаимодействия

$$F_2 = \frac{Q_2 E_2}{2} = \frac{2\varepsilon_0^2 SU^2}{d^2(1 + \varepsilon)^2}.$$

Отношение сил

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{4\varepsilon^2}{(1 + \varepsilon)^2} = 2,25.$$

Многие абтуриенты ошибочно рассчитывают взаимодействие пластин как взаимодействие двух точных зарядов. Некоторые также считали, что поле в близи пластин при внесении диэлектрика не меняется.

Рис. 5.

63

4. Ход лучей, прошедших линзу и отрезившихся от зеркала, показан на рисунке 5. Так как поток пропорционален квадрату линейных размеров, диаметр освещенного пятна $d_2$ вдвое большше диаметра линзы $d_1$. Если $x$ — расстояние от линзы до зеркала, то из подобных треугольников находится
   $$\frac{x + (x - F)}{F} = \frac{d_2}{d_1} = 2,$$
   откуда
   $$x = \frac{3}{2} F = 30 \text{ см.}$$
   При решении этой задачи многое абитуренты ошиблись, считая поток пропорциональным линейным размером изображения.

Вариант 2

1. Задачу удобно сначала решить в системе координат, связанной с танком, и затем перейти в неподвижную систему координат (рис. 6). Тогда по теореме косинусов скорость пули $v = \left((v_0 - v_\tau)^2 + v_\tau^2 - 2v_\tau (v_0 - v_\tau)\cos 2\varphi\right)^{1/2} \approx 720 \text{ м/c.}$
2. $m = \frac{\left((1/2\mu_B - \mu_{\text{He}}\right)pV/RT - M)}{4\pi(3V/4\pi)^{2/3}} \approx 0,3 \text{ кг/m}^2$.
3. $U \geqslant 14,7 \text{ кВ.}$ Указание. Процесс нанизации начинается на участке трубки с максимальной направленностью поля, когда на длина свободного проекта электрон набирает энергию большую, чем энергия наизназации.
4. Отверстия в экране является источником вторичных волн, регистрируемых приемником. Разность фаз $\Delta\varphi$ колбанный этих источников зависит от скорости $v$ движения первичного источника, находящегося на расстоянии $x$ от оси системы. Дейстивательно (рис. 7), разность фаз
   $$\Delta\varphi = \frac{2\pi h}{\lambda} \left(\frac{1}{\cos \varphi_2} - \frac{1}{\cos \varphi_1}\right).$$
   По условию $d \ll h$ и $x \ll h$; следовательно, углы $\varphi_1$ и $\varphi_2$ малы. Тогда
   $$\cos \varphi_1 = 1 - \varphi_1^2/2 = 1 - (d/2 - x)^2/2h^2,$$
   $$\cos \varphi_2 = 1 - \varphi_2^2/2 = 1 - (d/2 + x)^2/2h^2,$$
   $$\Delta\varphi = 2\pi dx/\lambda h.$$
   За период колбанный $1/f$ разность фаз меняется на $2\pi$, а источник проходит расстояние до оси $x = v/f$, то есть
   $$2\pi = 2\pi dv/\lambda hf.$$
   Отсюда находится источника:
   $$v = \lambda hf/d = 4,5 \cdot 10^{-3} \text{ м/c.}$$

Вариант 3

1. $T = 2\pi \frac{l}{L} \sqrt{\frac{m}{k}}$. Указание. При малых колбанях отшлешие вертикальные смесейной конца пружины и груза равно отшлеению их расстояний до шарнира.
2. $F_{\text{max}} = \pi D^2 \Delta T p_0/4 T_0 \approx 26 \text{ H.}$
3. $I_1 = (L_1 I_0 + L_2 \mathcal{E}/r) (L_1 + L_2);$
   $$I_2 = (\mathcal{E} L_1/r - L_1 I_0) (L_1 + L_2).$$
   Указание. В любой момент времени $L_1 \Delta I_1/\Delta t = L_2 \Delta I_2/\Delta t$, откуда $L_1 I_1 - L_2 I_2 = \text{const} = L_1 I_0$. Это — закон сохранения магнитного потока. Кроме того, $I_1 + I_2 = \mathcal{E}/r$.
4. Ход луче 1 в отсутствие atmosферы и луча 2 при наличии ее показан на рисунке 8. Если средний показатель преломления atmosферы записать в виде $n = 1 + \Delta n$, где $\Delta n = 3 \cdot 10^{-4}$, то по закону преломления имеем
   $$\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 1 + \Delta n = \frac{\sin (\alpha + \Delta \alpha)}{\sin \alpha}.$$
   Отсюда ошибка $\Delta\alpha$ в определении углового положения звезды равна
   $$\Delta\alpha = \Delta n \text{ tg} \alpha = \Delta n \approx 3 \cdot 10^{-4} \text{ рад.}$$

Московский электротехнический институт связи

Математика
Вариант 1

1. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in \mathbb{Z}).$
2. $\{(1; 8), (8; 1)\}$. Указание. Используйте разложения для суммы кубов и для куба суммы.
3. $] - \infty; - 1[.$
4. Скорость пассажирского поезда 60 км/ч, скорого — 100 км/ч.
5. Указание. $\frac{|OA_0|}{|OA_1|} = \frac{1}{2} (O - \text{точка пересечения прямой } A_0 A_1$ и любой из прямых $B_0 B_1, C_0 C_1)$.
   Вариант 2
6. $\{2^{10}\}.$
7. $x_1 = \frac{\pi}{2} k, x_2 = \pm \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} l (k, l \in \mathbb{Z}).$
8. 3 см.
9. $\{3\}$.
10. В 10 раз. Указание. Не войти составить систему, например, трех уравнений с четырьмя неизвестными, поскольку нанонаме.