Аэродинамическая задача Ньютона

11

В. Тихомиров

Аэродинамическая задача Ньютона

Ошибаются ли гении? Объчно, задавая такой вопрос, предполагают утвердительный ответ. В сознании, что и гениям свойственно заблудаться, есть нечто утвердительное — об ошибках гениев передко пишут с большим воодушлением. Вот пример. Перу Л. Янга — замечательного математика, внесшего немалый вклад в развитие математического анализа, принадлежит книга «Лекции до варианционному исчислению и теории оптимального управления», М., «Мир», 1974. Это очень интересная и своеобразная книга*). В ней расселяны фilosофские рассуждения автора, обращенные ко многим, иногда удаленным от математики, темам. На вопрос «ошибаются ли гении?» Янг ответает с запальчивой утвердительной ответ на Ньютона. На с. 42 упомянутой книги он пишет: «Ньютон формулировал варизионную задачу о теле врашения, испытывающим наименьшее сопротивление в газе. Приятный им закон сопротивления физических абсурден, в результате чего поставленная им задача не имеет решения (чем более зарубрен профиль, тем меньше сопротивление)… Если бы выводы Ньютона были хотя бы приблизительно верны, то мы не нуждались бы сегония в дорогостях экспериментах в аэродинамических трубах».

Что же это за задача, и насколько справедливы приведенные выше слова? Об этом и будет рассказано далее.

Аэродинамическая задача Ньютона

В 1687 году выши «Matематические начала натуральной физики» Ньютона. Вряд ли какое-либо произведение научной литературы может быть сопоставлено с этой книгой — в ней Ньютону было сужено открыть систему мира. Лагранж назвал это сочинение «вели-

*) Не предназначаенная, размещется, для школьников. (Прим. ред.)

12

чайшим из произведений человекаского ума».
Обсуждая вопросы, связанные с сопротивлением, оказываемым материалным темам средой, в котором они движутся, Ньюотон, как бы минимом, бросил следующее фразу: «Когда же фигура DNFG будет кривой такого рода, что если из любой ее точки N опустить на ось перепределилуар NM и из заданной точки G проведи прямую GR, параллельную касательной к кривой в точке N и пересекающий ось в точке R, то имеет место пропорция MN:GR=GR²:(4BR·GB²), тогда тело, образущееся при обращении этой кривой около оси AB, при движении в вышепомянутой редкой среде в направлении от A к B будет испытывать меньше сопротивление, нежели всякое иное тело врашения, описанное на той же линии и ширине»*) (рис. 1).

Фраза Ньюотона привлекла к себе внимание современников лишь после того, как в 1696 году И. Бернулли поставил свою знаменитую задачу о брахистохроне (см. например «Квант», 1975, № 12 или книгу Г. Н. Бермана «Циклонда», М., «Наука», 1980). Задание о брахистохроне, а не задание Ньюотона, служено было стать родоначальней нового направления в математике, воспользуется названного вариантом исчисления.

В связи брахистохроны задача Ньюотона заняла положение несчастной Золушки: ее как-то избегали, вспоминали о ней редко, да и то, как правило, чтобы поведать о заблужdenии гения. Но, как и для Золушки, для задачи Ньюотона настоял свой черд.

*) Подлинный текст Ньюотона воспроизведен в книге В. М. Алексеева, В. М. Тихомирова, С. В. Фомина «Оптимальное управление». (М., «Наука», 1979). Перевод «Математических называл» опубликован в собрании сочинений академы А. Н. Крылова. (М. — Л., Изд. АН СССР, 1937, т. 7). Цитируемое место содержится на с. 430. Мы чут подкорректировали его. Рисунок 1 — копия рисунка из «Математических называл». Правда, мы расположили его «сверху вниз», а не «слева направо»; кроме того, на рисунке 1 имеются дополнительные краские линии и буквы, нанесенные нами, они попадаются нам в дальнейшем.

Рис. 1.

Попробуем вникнуть в замысл Ньюотона.

При конструкровании кораблей, снарядов, торпед или ракет естественно возникнет стремление придаить им текую форму, чтобы они испытывали возможность меньше сопротивление при своем движении. Ньюотон пишет: «Можно сравнивать сопротивление тел между собой и находить те, которые наиболее присоединены к продолжению своего движения в сопротивляющей среде». Но, если, скажем, корабль не может иметь слишком большой симметричной своего корпуса, то головки ракет, снарядов и торпед естественно делать круглыми в поперечном сечении; иными словами, им резонно придавать форму тел врашения. Но какую именно — сферическую, кончесскую, вертенообразную или еще какую-нибудь? На такой вопрос нельзя ответить без вычисления, без решения неокоторой математической задачи на максимум и минимум. Именно такую задачу ставит ( и решает в приведенной выше фразе) Ньюотон.

В самом первом приближении задача ставится так.

Задча. Найти тело врашения заданной длины и заданной ширины, испытывшее наименование сопротивления при движении в некоторой среде.

Пояснения. Каждый из терминов, участвующий в формировке (длина, ширина, движения и сред

13

да), требует полного описания. Ньютоон представляет себе тело вращения одинаковым сзади и спереди, то есть симметричный относительно плоскости, проходящей через середину оси вращения и перпендикулярной этой оси. Таким образом, диинана тела — это его длина по оси вращения, а радиус среднего сечения — это ширина тела. Следовательно, при всех расстояниях можно ограничиться лишь половинкой тела, что мы и делаем дальше. Будем считать, следдая Ньютооном, что движение, совершаемое телом, — это равномерное движение с постоянной скоростью $v$.

Теперь — о среде — это наиболее тонкий и принимающий во-просс. Среда, описанная Ньютооном, несколько необъчана, он называет ее редкой. Ньютоон представляет себе редкую среду «состоящий из равных части, свободно расположенных на равных друг от друга расстояниях». Неподвижные частицы имеют фиксированную массу $m$ и являются абсолотно упругими шарами. Само тело Ньютоон считает также абсолотно упругим, так что каждой шарики, столкнувшись с движущим телом, отскакивает от него по-закону «угол padения равен углу отражения».

После приведенных пояснений можно было бы сразу точно поставить и начать решать общую задачу, но мы сначала изучим более простую. С этой более простой задачи, кстати говоря, начинает и сам Ньютоон.

Задача об успешном конце. При данном основании и высоте успешного конуса найти тот, который испытает наименьшее сопротивление при движении в редкой среде.

Формализация задачи об успешном конце

Только что задача была формулрованна словесно, без формул. Намнадлежит сейчас осуществить ее переод с общного языка на язык математики. Такой переод называется формализцией.

Итак, пусть успешный конус имеет высоту, равную $H$, и радиус

Рис. 2.

верхнего основания $R$ (рис. 2)*.

Ньютоон пишет: «Так как действие среды на тело то же самое… движется ли тело в покоящей среде или же частицы среды ударят с той же скоростью на покоящей тела, то будем рассматривать тело в покое». Поступит также и мы: оставив конус неодвижным, мы будем считать, что на него снизуверх «надвигается» среда со скоростью $v$.

Поверхность конуса, испытывшая столкновения с шариками среды, состоит из его нижнего основания и боковой поверхности. Сначала вычислим сопротивление, испытывшее нижним основанием. Обозначим его радиус через $x$. За единичное время с этим основанием столкнутся шарики, которые первоначально находились в цилиндре с основанием, равным нижнему основанию, и высотой, равной $v$. Объем этого цилиндра $V_0$ равен $\pi x^2 v$. Пусть $q$ — плотность среды. Тогда число частиц, ударившихся о нижне основании за единичное время, будет равно $N_0 = \frac{\rho}{m} V_0 = \frac{\rho}{m} \pi x^2 v$. Каждый частица после удаля о нижне основании сменит свою скорость на противоположную, то есть получит приращение имплуса, равное —2mv. По третьему закону Ньютона конус получит противоположное приращение

*) Частый рисунка 2, выполненная в черном цвете, содержится в «Математических началах».

15

пробуем теперь отыскать нужные $m$ и $\hat{z}$. Если имеет место неравенство $az^2+2bz+c \geq 0$ для всех $\hat{z}$ и при этом $\hat{a}^2+2b\hat{z}+c=0$, то отсюда следует, что $D=b^2-ac=0$ и $z=-b/a$ (продумайте это!). У нас $a=(1-m)$, $b=-H$, $c=H^2+R^2(1-m)$. Уравнение $D=0$ приводит к соответствии
$$D=H^2-(1-m)(H^2+R^2(1-m)) \Rightarrow (R^2m^2-(2R^2+H^2)m+R^2)=0,$$
откуда
$$m=\frac{2R^2+H^2-H\sqrt{4R^2+H^2}}{2R^2}.$$
Знак + был отброшен, либо то $m$, которое мы ищем, должно быть, как это было установлено, меньше единицы. Далее,
$$\hat{z}=-b/a=H/(1-m) = \sqrt{R^2+(H/2)^2}+H/2(>H).$$
(5)
В итоге нашлись такие $m<1$ и $\hat{z}>H$, что дискриминант уравнения $z^2(1-m)-2zH+H^2+R^2(1-m)=0$ равен нулю, и оно имеет единственный корень $\hat{z} \geq H$, то есть $h(z) \geq m, h(\hat{z})=m$. Задча 1’ решения.
Приведем ответ задачи об усеченном конусе в той форме, который придал ему Ньюотон: «Если на круговом основании CEBH (рис. 2), описанном из центра $O$ радиусом $OC$, требуется построить такой усеченный конус CBFG с высотой $OD$, което сопротивление было бы меньше сопротивления всякого другого усеченного конуса, построенного на том же основании и высоте и движущgosся по оси $OD$ в сторону $D$, то разделив высоту $OD$ в точке $Q$ пополам, продолжи $OQ$ до $S$ так, чтобы было $QS=QC$. $S$ и будет вершиной искомого конуса, который усекается».
Легко убедиться, что геометрическая форма, приданная ответу Ньюотон в точности соответствует аналогичной форме, заключенной в формуле (5).
Обсуждение. Получилось, что конус наименьшего сопротивления на самом деле усеченный, затупленный, а не заостренный. Ньюотон при этом идет еще дальше. Он устремляет высоту $H$ к нулю. При этом $\hat{z}$ устремляется к $R$ и угол при усечении конуса устремляется к $45^\circ$.

Основываясь на этом, Ньюотон делает замечание, что овальное тело следует заменять затуплением, то есть делать спереди плоскую круглую площадку, образующего угол с прямых коилюшей к площадке поверхностью, равный $135^\circ$. «Я считаю, что это замечание,— говорит Ньюотон,— может быть небесполезно при построении судов».

Задча Ньюотона для ломаной
Сделаем еще один, предпоследний шаг к решению обшей задачи Ньюотона. Будем рассматривать не любые кривые выражения, а лишь ломаны. Для этого разделим отрезок $[0, R]$ оси $Ox$ на $N$ равных частей точками деления
$$x_0=0, x_1=\frac{R}{N}, x_2=\frac{2R}{N}, \dots, x_N=R$$
и обозначим ordinateты соответствующих вершин ломаной через $y_0, y_1, \dots, y_N$ (рис. 4). Будем предложать, что ломана начинается в точке $(x_0, y_0)=(0,0)$, затем может идти по оси $Ox$ (то есть $y_0=y_1=\dots=y_s=0$ для некоторого $s$, $0 \leq s \leq N$), затем монотонно поднимается вверх
$$y_s<y_s+1 \leq y_s+2 \leq \dots \leq y_N$$
и приходит в точку $(x_N, y_N)=(R, H)$. Ломаны, удовлетворяющие этим требованиям, называются допустимыми.
Посящим, почему потребовалось условия монотности (6). При его нарушении в поверхности выражения образуют «выемки», от которых неокторы шарики будут многократно отражаться, увеличивая силу сопротивления (и безнедежно усечняя ее подсчет).
Найдем теперь силу сопротивления среды $F$ для поверхности, об-

16

разованной врашением допустимойломаной. Для этого, применяя формулу (1) к каждому ее звену, выразим cosφк через координаты вершин (xk,yk), (xk+1,yk+1) (см. рис. 4) и просуммируем. Получается

$$F_{\pi} = 2K \sum_{k=1}^{N-1} \frac{x_k+x_{k+1}}{2} \cdot \frac{\Delta x_k}{1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2},$$

где мы обозначили $K = 2\pi qv^2$, $\Delta y_k = y_{k+1} - y_k$ и $\Delta x_k = x_{k+1} - x_k = \frac{R}{N}$.

Мы не будем решать задачу минимизации ссыла (7), хотя для этого требуется лишь известные вам средства дифференциального исчисления — решение технически сложное, а нам для дальнейшего важна лишь постановка задачи и сама формула (7).

Формализация задачи Ньютона

Тепер мы можем подойти к задаче Ньютона в общем случае, когда поверхность врашения образована не отрезком, не ломаной, а кривой $y=f(x)$. Какие кривы мы можем рассматривать? Конечно, кривая должна начинаться в точке (0,0), затем может идти по оси $Ox$ до некоторой точки (b, 0) (где $b \geq 0$), затем поднимается монотно вверх и кончается в точке (R, H). Кроме того, мы потребем, чтобы функция $f$ была дифференцируемая во всех точках $x \in [0,R]$, кроме точки $b$, где угол примыкания кривой к горизонтальном участку должен быть равен $135^\circ$ (вспомним замечание Ньютона «небесполезное при построении судов»). Тогда условие монотности может быть записано в виде

$$f'(x) \geq 0 \quad x \in [0,R], \quad x \neq b.$$

Кривы $y=f(x)$, удовлетворяющие этим условиям, мы будем называть допустимыми.

Найдем силу сопротивления среды для тела, полученного врашением допустимой кривой $y=f(x)$ около оси $Oy$. Возьмем достаточно больше числа $N$ и построим допустимую ломаную, положив $y_k=f(x_k)$. Эта ломаная будет мало отличаться от нашей кривой, поэтому исключаем использование $F$ будет мало отличаться от найденной ранее ссыла $F_\pi$ (см. (7)).

Вспомним теперь интегральной суммы и заметив, что $\Delta y_k / \Delta x_k \approx f'(x_k)$, нетрудно поверить, что при неограниченном увеличении числа $N$ сумма (7) стремится к интегралу

$$2K \int_0^R \frac{xdx}{1 + (f'(x))^2} = F,$$

который и выражает искому силу сопротивления. Так, мы пришли к формулизации общей задачи Ньютона:

Средди всех допустимых функций $y=f(x)$ найти ту, для которой интеграл

$$\int_0^R \frac{xdx}{1 + u^2}$$

(minimalen, если $u = f'(x) \geq 0$).

Решение задачи Ньютона

Подабных задач, конечно, вы в школьном учебнике не встречали. Мы начнем, поэтому, с более простой вспомогательной задачи:

Средди всех допустимых функций $y=f(x)$ найти ту, для которой выражение

$$\frac{x}{1 + u^2} + 2cu$$

(minimalно (для всех $x \in [0,R]$), если $u = f'(x)$ и $c > 0$ — константа).

Зачем решать эту задачу? А вот зачем: если найдено ее решение $y=f(x)$, $\bar{u} = f'(x)$, то для любой другой допустимой функции $y=f(x)$ выполняется неравенство (при всех $x \in [0,R]$)

$$\frac{x}{1 + u^2} + 2cu \geq \frac{x}{1 + \bar{u}^2} + 2c\bar{u},$$

проинтегрировав короче на $[0,R]$ учитывая, что $u = f'(x)$, получим

$$\int_0^R udx = \int_0^R \bar{u} dx = H,$$

откуда

$$\int_0^R \frac{xdx}{1 + u^2} \geq \int_0^R \frac{xdx}{1 + \bar{u}^2};$$

а это значит, что $\bar{f}(x)$ (решение вспомогательной задачи (9)) является также и решением задачи Ньютона (8)!

А вспомогательную задачу, как вы наверное договорались, решить не так уж трудно. Ответом будет линия, идушая по оси $Ox$ до точки излома $b=4c$ и далее по кривой, точки $(x; y)$ которой выражается по формулу

18

Рис. 6.

время считалось, что к варианционному исчислению: например, А. Н. Крылов, приведя прочитрованную вначале фразу Ньютона, сопровождает ее таким словами: «Это утверждение Ньютона всегда относится к варианционному исчислению». Далее он формализует задачу Ньютона (чуть иначе, чем мы — у него только движется выбор, как у Ньютона, у нас — вниз) и приходит (если в его выражении заменить $y$ на $x$ и $x$ на $y$) к задаче о минимизации интеграла

$$\int_0^R \frac{xdx}{1 + (f'(x))^2}$$

при само собой разумению начальных условий $f(0) = 0$, $f(R) = H$. Минимизация такого интеграла, действительно, относится к варианционному исчислению, но без дополнительного условия $f'(x) \geq 0$ минимизировать этот интегральное значение. Это отметил Лежандр спустя 100 лет после выхода «Начал». Действительно, выберем в качестве $f$ ломанную, составленную из очень крупных звеньев (по типу той, которая изображена на рисунке 6). Тогда $(f'(x))^2$ будет очень велико, а интеграл (13) мал; его вообще можно сделать сколь угодно малым. Получается, действительно, как по Янгу: «чем зарубреннее профиль, тем меньше сопротивление!» Но мы отмечали уже, что при ньютоновской постановке задачи необходимо требовать, чтобы $f$ была монотной, то есть чтобы выполнялось соответствие $f'(x) \geq 0$.

Минимизация интеграла (13) при условии (14) не относится к варианционному исчислению. Ограничения типа (14), наложенные на задание о минимизации интегралов типа (13), были охвачены теории лишь в середине XX века.

Итак, задача Ньютона, не является первой заданной выраженной исчисления, оказывается первой заданной нового раздела математики — теории оптимального управления.

4. Критика и аполюция Ньютона. Мы определили уже два обвининия в адрес Ньютона: неверно, что задача Ньютона не имеет решения (онo было им найдено), неверно, что «чем зарубреннее профиль, тем меньше сопротивление» — этот фактник не следует из ньютоновских допущений. Но, может быть, все-таки верно, что «приятый им закон физических абсурден?» Что это за редкая среда? Бывает ли такая среда? Не является ли абсурдным то обстоятельство, что тело наименшего сопротивления затупленно? Кто это видывал торпеды или пакеты с затупленными головками?

Справедливости ради надо сказать, что ни вода, ни окружающий нас воздуха, ни какая-либо иная привычная нам газообразная или жидкая среда не обладают свойствами редкой среды Ньютона. Однако физические допущения Ньютона и сама его аэродинамическая задача оказались на самом передом крае современной науки в середине пятыдевых годов, когда настала эра сверхзвуковых и сверхвысотных летательных аппаратов. «Там вверху», среда оказалась «редкой». И заменение Ньютона о затупленных конах оказалось так «небесполезным» при построении судов, а именно — космических судов. наконец,

5. Ошибаются ли генius? Конечно, ошибаются. Но, найдесь, я сумел убедить вас в том, что постановка и решение аэродинамической задачи были не заблужdenем гения, а произенем его, позволившим ему прикоснуть через три века к нашей жизни и нашим проблемам. Над этим стоит призадаться.

Словом, не будем торговли: может статья, что мысл Гения, кажушаяся нам его заблужdenем, несет в себе отпечаток истинны, еще не открывшейся нам.